第5章 专题2 诱导公式-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

专题二 诱导公式 学考考点 诱导公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点 诱导公式 一、诱导公式(二~四) 1.诱导公式 诱 导 公 式 公式二 sin(π+α)= cos(π+α)= tan(π+α)= 公式三 sin(-α)= cos(-α)= tan(-α)= 公式四 sin(π-α)= cos(π-α)= tan(π-α)= 2.公式一~四的应用 任意负角的 三角函数 用公式一或三 → 任意正角的 三角函数 用 公 式 一↓ 锐角三 角函数 用公式二或四 ← 0~2π的角的 三角函数 二、诱导公式(五~六) 1.诱导公式五 sin π2-α = cos π2-α = 2.诱导公式六 sin π2+α = cos π2+α = 考点一 利用诱导公式化简与求值 已知α是第三象限角, f(α)= sin(π-α)cos(2π-α)tan -α+3π2 cos(-α-π) . (1)若cos α-3π2 =15,求f(α)的值. (2)若α=-1920°,求f(α)的值. 【解】 f(α)=sinα·cos(-α)· sin 3π2-α cos 3π2-α · 1 cos(α+π) = sinα·cosα·-cosα-sinα -cosα =-cosα. (1)因为cos α-3π2 =-sinα=15, 所以sinα=-15 , 因为α为第三象限角,所以cosα=-2 65 , 所以f(α)=-cosα=2 65 . (2)因为-1920°=-5×360°-120°, 所以 f(-1920°)= -cos(-5×360° -120°)=-cos120°=cos60°=12. 考点二 利用诱导公式证明三角恒等式 求证: 2sin θ-32π cos θ+π2 -1 1-2sin2(π+θ) = tan(9π+θ)+1 tan(π+θ)-1. 【证明】 左边 = -2sin 32π-θ ·(-sinθ)-1 1-2sin2θ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —43— = 2sinπ+ π2-θ 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 sinθ-1 1-2sin2θ = -2sin π2-θ sinθ-1 1-2sin2θ = -2cosθsinθ-1 cos2θ+sin2θ-2sin2θ = (sinθ+cosθ)2 sin2θ-cos2θ =sinθ+cosθsinθ-cosθ. 右边=tan (9π+θ)+1 tan(π+θ)-1= tanθ+1 tanθ-1 =sinθ+cosθsinθ-cosθ. 所以左边=右边,故原式得证. 一、选择题 1.已知tanα=4,则tan(π-α)等于 ( ) A.π-4 B.4 C.-4 D.4-π 2.(2022·湖南合格考真题)已知sinα=45 ,则 sin(π-α)= ( ) A.-35 B.- 4 5 C. 3 5 D. 4 5 3.已知sin π4+α = 32,则sin 3π4-α 的值为 ( ) A.12 B.- 1 2 C.32 D.- 3 2 4.已知f(x)=sinx,下列式子中成立的是 ( ) A.f(x+π)=sinx B.f(2π-x)=sinx C.f x-π2 =-cosxD.f(π-x)=-f(x) 5.已知sinα=513 ,则cos π2+α 等于 ( ) A.513 B. 12 13 C.-513 D.- 12 13 二、填空题 6.如果α+β= π 2 且sinα=15 ,则cosβ= . 7.已知α是第四象限角,且cosα=12 ,则cos(α +90°)= . 8.已知α∈ 0,π2 ,tan(π-α)=-34,则sinα = . 三、解答题 9.(1)已知cos(π+α)=-12 ,α为第一象限角, 求cos π2+α 的值. (2)已知sin π3-α =12,求cos π6+α 的值. 10.化简: sin(4π-α)cos 9π2+α sin 11π2 +α cos(2π-α) - tan(5π-α) sin(3π-α)sin π2-α . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —53— 参考答案 8.解析:原式-sin3x+co +cos t+1--1+o sin(2-x)=-sinx,/(-)-sin(-) -1+1--1. -cosx.f(π-x)-sin(-x)-sinx=f(x). 答案:-1 cos(+a)--sina-- 5 5.C ## 0.① 又sina+cos*a-1.② 又a是第三象限角, 所以cosa-- 7.解析;由诱导公式六知cos(a十90{})一一sina 3sin“1 10.解:(1)原式-cos3tana+13×3+1 sin-2 tana-2 3-2 所以sina=-1-cosa- cos -10. 为以o(0)一 (2)原式- sina十cosa #2tan{a-tana+1 tan'a十1 [sina3. 9十1 sina+cos{a-1. - 又a(o). -1 专题二 诱导公式 考点整合 答案:} 考点 _→, 9.解:(1)因为cos(n十a)一-cosa= 1.-sina -cosa tana -sina cosa 一tan 所以cosa= sin -cosa -tana 二. 又a为第一象限角。 1. cosa sina 则cos(+a)--sina--1-cos a -sina 2. cos - 应考练 1.C tan(n-a)--tana--4. #。# 2. D sin(n-a)-sina- (2)cos(+e) 3.C 因为(π十。)+(3-)-#. -co[一(一] 所以sin(3-a)-sin [π-(+a)] sin{)-# #-sin(-。o) ## 4.C f(x+)=sin(x+π)=-sinx,f(2π-x)= 103 _南省普通高中学业水平合格性考试·数学 10.解:法一:cos(-+a)-cos 4x十(+a)] Z [2k,2kπ+],k7 6.(1) 2kr(ke2z) -cos({+a)-sina sin(11)-nA+()]-sin({+) (2) 2k()+2(-) 二、 -sin[+(+a] (xlxR,且x哥十kn,k乙) Bπ 奇函数 --sin(十) 应考训练 ) =-cos. tan(5π-a)=tan(r-a)--tana. sin(3r-a)-sin(π-a)-sina. 2.C 当x一时,y一0,排除A、B、D. 所以原式--cosacosa sin acosa sinasina_ -tana (0.0 sinx<1. 3.D -sin1 二 2sinx.-1<sinx<0. cosa cosa 1-sing 因此函数的值域为[-2,0]. cos{a 4.C 最小正周期为T-π-π cos。 cosa $$.B 由f(x)--tan(--),可令 ---π -1. #<&-+,解得 n-<<x+3#,k#乙. 法二,奇变偶不变,符号看象限 原式-sin(-a)(-sina)-tan a 6.解析:因为2_n(o→),所以2-_-.即a=2. (-cos a)cos(-a) sin acosa sin1 答案:2 -cosa cos'a 7.解析:y-sinx-cos r-1-cos x-cosr,令cosx -1-sin]a =,则 [-1,1],y=--1+1,因此y= cosa ()}(一1<(<1),所以当1-- -1. 专题三 三角函数的图象与性质 考点整合 #是[-1.#.# 考点 答案:[一1. 2.左 {1 8.解析 xe[0 ]+[]. 二、 sin(a+)### 1.非零 f(x十T)-f(r) 2.最小 最小 则2sin(c+)[/3,21. 3.2kr 2π 4.奇 偶 答案:③,2] 5.-+2k+2k 乙[-π+2,2k], 104