第4章 专题3 函数的应用(二)-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

专题三 函数的应用(二) 学考考点 􀀋函数的零点与方程的解 􀀌用二分法求函数的零点 􀀍函数模型的应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点 函数的应用(二) 一、函数的零点与方程的解 1.函数零点的定义 对于函数y=f(x),使 叫作函数y =f(x)的零点. 2.函数零点的意义 方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的 图象与 有交点⇔函数y=f(x)有 . 3.函数零点存在定理 一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上 的图象是一条连续不断的曲线,且有 ,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至 少有一个零点,即存在c∈(a,b)使 ,这个c也就是方程f(x)=0的解. 二、用二分法求函数的零点 1.二分法的概念 对于在区间[a,b]上图象连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x) 的零点所在的区间 ,使区间的两个 端点 ,进而得到零点近似值的方法 叫作二分法,由函数的零点与相应方程根的 关系,可用二分法来求方程的 . 2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 (1)确定零点x0 的初始区间[a,b],验证 . (2)求区间(a,b)的中点 . (3)计算f(c). ①若 ,则c就是函数的零点. ②若f(a)·f(c)<0[此时零点x0∈ ],则令b=c. ③若f(c)·f(b)<0[此时零点x0∈ ], 则令a=c. (4)判断是否达到精确度ε:即若 ,则 得到零点近似值a(或b);否则重复(2)~(4). 考点一 函数的零点与方程的解 (2024·湖南合格考真题)函数f(x)= lg(x-1)的零点是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 令f(x)=lg(x-1)=0,解得x= 2,则其零点为2.故选C. 【答案】 C 考点二 用二分法求函数的零点 若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正 数零点附近的函数值用二分法计算,其参考 数据如下: f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)= -0.984 f(1.375)= 0.260 f(1.4375)= 0.162 f(1.40625)= -0.054 那么函数零点的一个近似解(精确度为0.1) 为 ( ) A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —72— 【解析】 由参考数据可知,函数f(x)的零 点 在 区 间 (1.25,1.375),(1.375, 1.40625),(1.40625,1.4375)内,由 于 1.375-1.25=0.125>0.1,1.40625- 1.375=0.03125<0.1,1.4375-1.40625 =0.03125<0.1.故函数的零点可以在区 间(1.40625,1.4375)中取.故选项C符合. 【答案】 C 考点三 函数模型的应用 某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4 个月的产量分别为1万双、1.2万双、1.3万 双、1.37万双.由于产品质量好、款式新颖, 前几个月的销售情况良好.为了推销员在推 销产品时,接受订单不至于过多或过少,需 要估计以后几个月的产量.厂里分析,产量 的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产 流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长,就月份x,产量y 给出三种 函数模型:y=ax+b,y=ax2+bx+c,y= abx+c,你将利用哪一种模型去估算以后几 个月的产量? 【解】 由题意知,将产量随时间变化的离散 量分别 抽 象 为 A(1,1),B(2,1.2),C(3, 1.3),D(4,1.37)这4个数据. (1)设模拟函数为y=ax+b时,将B,C 两 点的 坐 标 代 入 函 数 式,得 3a+b=1.3, 2a+b=1.2, 解 得 a=0.1, b=1. 所以有关系式y=0.1x+1. 由此可得结论为:在不增加工人和设备的条 件下,产量会每月上升1000双,这是不太 可能的. (2)设模拟函数为y=ax2+bx+c时,将A, B,C三点的坐标代入函数式, 得 a+b+c=1, 4a+2b+c=1.2, 9a+3b+c=1.3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 解得 a=-0.05, b=0.35, c=0.7, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 所以有关系式y=-0.05x2+0.35x+0.7. 据此函数模型计算4月份的产量为1.3万 双,比实际产量少700双,且自4月份开始 产量每月下降,不符合实际. (3)当函数为y=abx+c时,把A、B、C 三点 坐标代入得 ab+c=1, ab2+c=1.2, ab3+c=1.3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 解得 a=-0.8, b=0.5, c=1.4. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 即y=-0.8×0.5x+1.4. 当x=4时,y=1.35,比较以上三个函数,指数 型函数y=-0.8×0.5x+1.4比较接近实际. 一、选择题 1.用“二分法”求解函数f(x)=lnx+2x-6 的近似解时,能确定为解所在的初始区间的 是 ( ) A.(2,3) B.(0,2) C.(1,2) D.(0,+∞) 2.已知函数f(x)= 12 x -1-log2x,若x0 是 方程f(x)=0的根,则x0∈ ( ) A. 0,12 B. 12,1 C. 1,32 D. 32,2 3.(2022·湖南合格考真题)函数f(x)=lnx +x-2的零点所在的大致区间为 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —82— 4.函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为 ( ) A.0,18 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 B.18 ,1 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 C.14 ,1 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 D.12 ,1􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 5.方程xlg(x+2)=1的实数根的个数为 ( ) A.1 B.2 C.0 D.不确定 二、填空题 6.用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间 [2,3]内的实根,取区间中点为x0=2.5,那 么下一个有根的区间是 . 7.函数f(x)=2x-3的零点在区间(k,k+1) 内,则整数k的值为 . 8.已知函数f(x)= |2x-1|,x<2, 3 x-1 ,x≥2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 则函数 g(x)=f(x)-1的零点个数为 . 三、解答题 9.求下列函数的零点. (1)f(x)=x3+8. (2)f(x)= (x+2)lnx x-3 . (3)f(x)= x2-x-2,x≥2或x≤-1, 2x-1,-1<x<2. 10.当a取何值时,方程ax2-2x+1=0一个 根在(0,1)上,另一个根在(1,2)上. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —92— 若点A 也在函数f(x)=3x+b的图象上,则-89 =3-2+b,所以b=-1. 答案:-1 9.解:(1)原式 =log29-log2 63 8+log27-2 =log2(9× 8 63×7 )-2=3-2=1. (2)原 式=12log3 +lg (25×4)-2=12+2-2 =12. 10.解:(1)由 f(1)=1, f(2)=log212, 得 log2(a-b)=1, log2(a2-b2)=log212, 所以 a-b=2, a2-b2=12, 即 a-b=2,a+b=6, 所以a=4,b=2. (2)由(1)知f(x)=log2(4x-2x), 设t=2x,因为x∈[1,3], 所以t∈[2,8]. 令u=4x-2x=t2-t= t-12 2 -14 , 所以当t=8,即x=3时,umax=56. 故f(x)的最大值为log256. 专题三 函数的应用(二) 考点整合 考点 一、 1.f(x)=0的实数x 2.x轴 零点 3.f(a)·f(b)<0 f(c)=0 二、 1.f(a)·f(b)<0 一分为二 逐步逼近零点 近 似解 2.(1)f(a)·f(b)<0 (2)c (3)f(c)=0 (a,c) (c,b) (4)|a-b|<ε 应考训练 1.A 根 据 函 数 f(x)=lnx+2x-6可 判 断 在 (0,+∞)上单调递增,∵f(1)=-4, f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,所以根据函数 的零点判断方法可得:零点在(2,3)内,方程lnx+ 2x-6=0的近似解在区间(2,3)内. 2.B 因 为f 12 = 12 1 2 -1-log2 1 2= 12 1 2 >0, f(1)=12-1-log21=- 1 2<0 ,所以x0∈ 12, 1 .故选B. 3.B f(1)=-1<0,f(2)=ln2>0,则f(1)·f(2) <0,∴函数f(x)=lnx+x-2的零点在(1,2)内, 故选B. 4.C f 14 ·f 12 = π4+log2 14 · π2+log2 1 2 = π4-2 π2-1 <0,所以函数f(x)的零点 所在区间为 1 4 ,1 2 . 5.B 方程xlg(x+2)=1⇔lg(x+2)=1x. 在同一直角坐标系中画出函数y=lg(x+2)与y= 1 x 的图象,可得两函数图象有两个交点,故所求方 程有两个不同的实数根. 6.解析:令f(x)=x3-2x-5,则f(2)=-1<0, f(3)=16>0,f(2.5)=15.625-10=5.625>0. 因为f(2)·f(2.5)<0,所以下一个有根的区间为 [2,2.5). 答案:[2,2.5) 7.解析:由题意f(k)f(k+1)=(2k-3)(2k-1)<0, 解得1 2<k< 3 2. 又因为k为整数,故k=1. 答案:1 8.解析:由题意可得g(x)=f(x)-1= -2x,x<0, 2x-2,0≤x<2, 3 x-1-1 ,x≥2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —101— 当x<0时,g(x)=-2x<0恒成立,无零点;当0≤ x<2时,令g(x)=2x-2=0得x=1,即1为其零 点;当x≥2时,令g(x)= 3x-1-1=0 得x=4,即 4为其零点. 综上可得函数的零点个数为2个. 答案:2 9.解:(1)令x3+8=0,得x=-2, 所以函数f(x)=x3+8的零点为-2. (2)函数f(x)= (x+2)lnx x-3 的定义域为(0,3)∪ (3,+∞),令 (x+2)lnx x-3 =0 , 得x+2=0或lnx=0,所以x=-2(舍去)或x =1, 所以函数f(x)= (x+2)lnx x-3 的零点为1. (3)当x≥2或x≤-1时, 令x2-x-2=0,得x=2或-1; 当-1<x<2时, 令2x-1=0,得2x=1,所以x=0. 所以函数的零点为2,-1,0. 10.解:(1)当a=0时,方程即为-2x+1=0,只有一 根,不符合题意. (2)当a>0时,设f(x)=ax2-2x+1, 因为方程的根分别在区间(0,1),(1,2)上, 所以 f(0)>0, f(1)<0, f(2)>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即 1>0, a-2+1<0, 4a-4+1>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得3 4<a<1. (3)当a<0时,设方程的两根为x1,x2, 则x1·x2= 1 a<0 ,x1,x2 一正一负不符合题意. 综上,a的取值范围为 34,1 . 第五章 三角函数 专题一 任意角和弧度制 三角函数的概念 考点整合 考点一 一、 1.(1)一条射线 端点 (2)逆时针方向旋转 顺时 针方向旋转 任何旋转 2.(1)OA OB 终边 (2)α+(-β) 3.α+k·360° 二、 1.(1)度 (2)半径长 弧度 正数 负数 零 2.2π 360° π 180° 3.αR 12lR 考点二 一、 1.单位圆 (1)纵坐标y sinα (2)横坐标x cosα (3)比值yx tanα 2.三角函数 y=sinx,x∈R y=cosx,x∈R y=tanx,x≠π2+kπ (k∈Z) 3.一、二 三、四 一、四 二、三 一、三 二、四 4.(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等 (2)sin(α+k·2π)=sinα cos(α+k·2π)=cosα tan(α+k·2π)=tanα 二、 1.1 tanα 2.平方和 商 应考训练 1.D 分针旋转的角为负角,其值为-(360°+180°) =-540°. 2.C 8π5= 8π 5× 180π °=288°. 3.D 56°15'=56.25°=2254 × π 180= 5π 16. 4.B 由题设cosθ<0,sinθ>0,故角θ的终边在第二 象限. 5.A 利用同角三角函数基本关系式中的平方关系 计 算.因 为 α 为 第 二 象 限 角,所 以 cosα= - 1-sin2α=-1213. 6.解析:因为sinα+cosα=12 ,所以(sinα+cosα)2 =14. 所 以sin2α+2sinαcosα+cos2α=14. 所 以 1+2sinαcosα=14. 所以sinαcosα=-38. 答案:-38 7.解析:由题意知tanα<0,cosα<0,所以α是第二 象限角. 答案:二 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —201—