第3章 专题3 幂函数、函数的应用(一)-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

专题三 幂函数、函数的应用(一) 学考考点 􀀋幂函数 􀀌函数的应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点一 幂函数 幂函数的概念及性质 1.幂函数的概念 一般地,函数y=xα(α∈R)叫做幂函数,其 中 是自变量,α是 . 2.幂函数的图象与性质 (1)五个常见幂函数的图象如图: (2)五个常见幂函数的性质: 函数 性质 y=x y=x 1 2 y=x2 y=x3 y=x-1 定义域 R R R 值域 R [0,+∞) R (-∞,0)∪ (0,+∞) 奇偶性 奇 非奇非偶 奇 单调性 R上 [0,+∞) 上 (-∞,0) 上 [0,+∞) 上 R上 (-∞,0) 上 (0,+∞) 上 公共点 (1,1) 考点二 函数的应用 考点一 幂函数 (2024·湖南合格考真题)已知幂函数y =xα 的图像经过点(2,4),则α= ( ) A.2 B.-2 C.12 D.- 1 2 【解析】 将(2,4)代入y=xα 得:4=2α,解 得:α=2.故选A. 【答案】 A 考点二 函数的应用 (2023·湖南合格考真题)为了预防流感, 某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已 知在药熏过程中,室内每立方米空气中的含 药量y(单位:mg)与时间t(单位:h)的关系 如 图 所 示,函 数 关 系 式 为 y = 10t,0≤t≤0.1, 116 t-a ,t>0.1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (a为常数).据测定,当室 内每立方米空气中的含药量降到0.25mg 以下时,学生方可进教室.从药熏开始,至少 经过t0 小时后,学生才能回到教室,则 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —81— A.a=0.2,t0=0.6 B.a=0.2,t0=0.5 C.a=0.1,t0=0.6 D.a=0.1,t0=0.5 【解析】 t=0.1时,y=1.代入解析式得: 116 0.1-a =1,解得a=0.1.令 116 t-0.1 = 0.25=14. 解得t=0.6.故a=0.1,t0=0.6. 故选C. 【答案】 C 一、选择题 1.给出四个说法: ①当α=0时,y=xα 的图象是一个点; ②幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1); ③幂函数的图象不可能出现在第四象限; ④幂函数y=xα 在第一象限为减函数,则 α<0. 其中,正确的说法个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是 ( ) A.y=x 1 3 B.y=x- 1 2 C.y=x 5 3 D.y=x 2 3 3.已知幂函数y=f(x)的图象经过点 4,12 , 则f(2)= ( ) A.14 B.4 C.22 D.2 4.函数y=x 1 3的图象是 ( ) 5.某自行车存车处在某一天总共存放车辆 4000辆次,存车费为:电动自行车0.3元/辆, 普通自行车0.2元/辆.若该天普通自行车 存放x辆次,存车费总收入为y元,则y与 x 的函数关系式为 ( ) A.y=0.2x(0≤x≤4000) B.y=0.5x(0≤x≤4000) C.y=-0.1x+1200(0≤x≤4000) D.y=0.1x+1200(0≤x≤4000) 二、填空题 6.(2022·湖南合格考真题)求值:8 1 3 = . 7.幂 函 数 f(x)=(m2-2m-2)xm+ 1 2m 2 在 (0,+∞)上是减函数,则m= . 8.已知幂函数f(x)=xα 的部分对应值如表: x 1 12 f(x) 1 22 则不等式f(|x|)≤2的解集是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —91— 三、解答题 9.已知f(x)=(m2+2m)xm 2 +m-1,m 为何值 时,f(x)是 (1)正比例函数. (2)反比例函数. (3)二次函数. (4)幂函数. 10.A,B 两城相距100km,在两城之间距 A 城xkm处的D 地建一核电站给A,B 两城 供电,为保证城市安全,核电站距城市距离 不得少于10km.已知每个城市的供电费用 与供电距离的平方和供电量之积成正比,比 例系数λ=0.25.A 城供电量为20亿度/月, B 城为10亿度/月. (1)把A,B 两城月供电总费用y(万元)表 示成x(km)的函数,并求定义域. (2)核电站建在距A 城多远,才能使供电 总费用最小. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —02— 应考训练 1.A 结合图象可知函数f(x)在[-1,2]上是“上升” 的,故A正确. 2.B 因为函数y=-x2+2x-2的开口向下,且对 称轴为x=1,所以函数y=-x2+2x-2的单调递 减区间是[1,+∞). 3.C y= x-5x-a-2=1+ a-3 x-(a+2). 需 a-3<0, a+2≤-1, 即 a<3 , a≤-3, 所以a≤-3. 4.D 由题意结合一次函数的图象可知k+2>0, 即k>-2. 5.C ∵k∈Z,∴2k为偶数,2k+1为奇数,由图象可 知A、B正确.∵对∀x∈R,f(1+x)=f(1-x),函 数图象对称轴为x=1,D正确,由图象知周期T= 2,C错误,故选C. 6.解析:当k=0时,满足题意. 当k≠0时,f(x)=k x-2k 2 -4k-8 , 因为f(x)在[2,10]上有单调性,所以2k≥10 或2 k ≤2, 所以0<k≤15 或k≥1或k<0. 综上,k≥1或k≤15. 答案:k≥1或k≤15 7.解析:由题意得x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒 成立, 令g(x)=x2-3x+1-m= x-32 2 -54-m , 其对称轴为x=32 ,所以g(x)在区间[-1,1]上单 调递减, 所以g(x)min=g(1)=1-3+1-m>0, 所以m<-1. 答案:(-∞,-1) 8.解析:由题意知,圆心在坐标原点时,“完美函数”一 定为奇函数.∴符合题意的函数可以为y=sinx,y =2x… 答案:y=sinx(y=2x…,答案不唯一) 9.解析:设-1<x1<x2<1,f(x)=a x-1+1x-1 =a 1+ 1x-1 , f(x1)-f(x2)=a 1+ 1x1-1 -a 1+ 1x2-1 =a x2-x1(x1-1)(x2-1) . 当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递减; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递增. 10.解析:(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x) 在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在 [0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图 所示. (2)由图象知,使函数值f(x)<0的x 的取值集 合为(-2,0)∪(2,5). 专题三 幂函数、函数的应用(一) 考点整合 考点 1.x 常数 2.(2)[0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) [0,+∞) 偶 奇 增 增 减 增 增 减 减 应考训练 1.B 当α=0时,函数y=xα 的定义域为{x|x≠0, x∈R},故①不正确;当α<0时,函数y=xα 的图象 不过(0,0)点,故②不正确;③④正确. 2.D A中定义域和值域都是 R;B中定义域和值域 都是(0,+∞);C中定义域和值域都是 R;D中定 义域为R,值域为[0,+∞). 3.C 设幂函数为y=xα.因为幂函数的图象经过点 4,12 ,所以12=4α,所以α=-12,所以y=x- 1 2, 所以f(2)=2- 1 2= 22. 4.B 显然有“-f(x)=f(-x)”,说明函数是奇函 数.同时当0<x<1时,x 1 3>x,x>1时,x 1 3<x. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —89— 5.C 由题意知,普通自行车存放x 辆次时,电动自 行车存放(4000-x)辆次,则y=(4000-x)×0.3 +0.2x=-0.1x+1200,0≤x≤4000. 6.解析:8 1 3=(23) 1 3=2. 答案:2 7.解析:因为幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm+ 1 2m 2 在 (0,+∞)上是减函数,所以 m2-2m-2=1, 1 2m 2+m<0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以 m=-1. 答案:-1 8.解析:由表中数据知 22= 12 α ,所以α=12 , 所以f(x)=x 1 2,所以|x| 1 2≤2, 即|x|≤4,故-4≤x≤4. 所以不等式f(|x|)≤2的解集是{x|-4≤x≤4}. 答案:{x|-4≤x≤4} 9.解:(1)若f(x)为正比例函数, 则 m2+m-1=1, m2+2m≠0, ⇒m=1. (2)若f(x)为反比例函数, 则 m2+m-1=-1, m2+2m≠0 ⇒m=-1. (3)若f(x)为 二 次 函 数,则 m2+m-1=2, m2+2m≠0 ⇒m =-1± 132 . (4)若f(x)为幂函数,则m2+2m=1,所以m=-1 ± 2. 10.解:(1)由题意,设甲城的月供电费用为y1, 则y1=λ×20x2. 设乙城的月供电费用为y2,则y2=λ×10×(100 -x)2, 所以甲、乙两城月供电总费用y=λ×20x2+λ×10 ×(100-x)2. 因为λ=0.25, 所以y=152x 2-500x+25000(10≤x≤90). (2)y=152x 2-500x+25000 =152 x-1003 +500003 , 则当x=1003 时,y最小. 故当核电站建在距A 城1003 km 处时,才能使供电 总费用最小. 第四章 指数函数与对数函数 专题一 指数、指数函数 考点整合 考点一 一、 1.n次方根 2.(1) n a 根指数 被开方数 二、 1. n am 1 a m n 0 不存在 2.(1)ar+s (2)ars (3)arbr 考点二 一、 1.孤立 2.y=ax a>0且a≠1 R (0,+∞) 3.x轴 (0,1) 上升的 下降的 二、 R (0,+∞) (0,1) 增函数 减函数 应考训练 1.C 6(-3)2= 6 32= 3 3, 4 a4=|a|,a0=1(a≠0), 故A、B、D错误. 2.D A.(m+n) 2 3= 3(m+n)2,因此不正确; B. ba 2 =b2·a-2,因此不正确; C. 6(-3)2= 6 32=3 1 3,因此不正确; D. 3 4=2 2 3× 1 2=2 1 3,正确. 3.B 42x-1=42,所以2x-1=2,x=32. 4.A 因为f(2)=4,所以a2=4,所以a=2(a=-2 舍), 所 以 22x+1 <23-2x,所 以 2x+1<3-2x,所 以x<12. 5.D 因为y1=40.9=21.8,y2=21.44,y3=21.5, 且y=2x 在R上是增函数,所以y1>y3>y2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —99—