第4章 专题2 对数、对数函数-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

6.解析:∵y=ax 的图象过点(2,4),∴a2=4,a=±2. 又∵a>0,∴a=2. 答案:2 7.解析:因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以 f(0)=0,即 130+1 +a=0,所以a=-12. 答案:-12 8.解析:由图象呈下降趋势可知0<a<1,由图象与y 轴的交点的纵坐标小于1可知a-b<1,即-b>0, 所以b<0. 答案:③④ 9.解:(1)因为1.7>1,所以y=1.7x 在(-∞,+∞) 上是增函数, 因为-2.5>-3,所以1.7-2.5>1.7-3. (2)因为y=0.8x 在R上是减函数,-0.1>-0.2, 所以0.8-0.1<0.8-0.2. (3) 14 0.8 =(12 )1.6,y= 12 x 在R上是减函数, 1.6<1.8, 所以 14 0.8 > 12 1.8 . 10.解:(1)原 不 等 式⇔2-2x+1≤2⇔-2x+1≤1 ⇔x≥0, 故原不等式的解集为[0,+∞). (2)因为f(x)=ax(a>1)是 R 上的增函数,且 a-3x>ax+4, 所以-3x>x+4,即x<-1,故x 的取值范围是 x<-1. 专题二 对数、对数函数 考点整合 考点一 一、 1.以a为底N 的对数 x=logaN 对数的底数 真数 2.常用对数 lgN 3.lnN 4.(1)负数和零 (2)loga1=0 (3)loga =1 二、 1.(1)logaM+logaN logaN1+logaN2+…+logaNk (2)logaM-logaN 2. logcb logca 考点二 一、 1.y=logax(a>0,且a≠1) (0,+∞) 2.0 1 1 二、 (0,+∞) (1,0) 应考训练 1.B 把对数式化为指数式为x2=16,并且x>0, 所以x=4. 2.D a=log32∈(0,1).由函数y=x 1 3在R上为增函 数知1<b=2 1 3<c=3 1 3,故a<b<c.故选D. 3.B f(x)=logax 的图象恒过定点(1,0),则y=1+ logax 的图象恒过定点(1,1),故选B. 4.A 因为a>1,所以函数f(x)=logax 在区间[a, 2a]上是增函数,所以f(x)max=f(2a)=loga(2a) =1+loga2,f(x)min=f(a)=loga =1, 所以1+loga2-1= 1 2 ,所以a=4. 5.B 结合二次函数y=2x2+x 的图象(如图所示), 复合函数的单调性及f(x)的定义域可知f(x)的 单调递增区间为 -∞,-12 . 6.解析:因为18b=5,所以b=log185,log189=a, 而 log45 36 = log1836 log1845 = log18(18×2) log18(9×5) = log1818+log182 log189+log185 = 1+log18 18 9 a+b = 1+log1818-log189 a+b =2-aa+b. 答案:2-a a+b 7.解析:由已知可得log2(9+a)=1,所以9+a=2,a =-7. 答案:-7 8.解析:当x+3=1,即x=-2时,对任意的a>0,且 a≠1都有y=loga1- 8 9=0- 8 9=- 8 9 , 所以函数y=loga(x+3)- 8 9 的图象恒过定点 A -2,-89 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —001— 若点A 也在函数f(x)=3x+b的图象上,则-89 =3-2+b,所以b=-1. 答案:-1 9.解:(1)原式 =log29-log2 63 8+log27-2 =log2(9× 8 63×7 )-2=3-2=1. (2)原 式=12log3 +lg (25×4)-2=12+2-2 =12. 10.解:(1)由 f(1)=1, f(2)=log212, 得 log2(a-b)=1, log2(a2-b2)=log212, 所以 a-b=2, a2-b2=12, 即 a-b=2,a+b=6, 所以a=4,b=2. (2)由(1)知f(x)=log2(4x-2x), 设t=2x,因为x∈[1,3], 所以t∈[2,8]. 令u=4x-2x=t2-t= t-12 2 -14 , 所以当t=8,即x=3时,umax=56. 故f(x)的最大值为log256. 专题三 函数的应用(二) 考点整合 考点 一、 1.f(x)=0的实数x 2.x轴 零点 3.f(a)·f(b)<0 f(c)=0 二、 1.f(a)·f(b)<0 一分为二 逐步逼近零点 近 似解 2.(1)f(a)·f(b)<0 (2)c (3)f(c)=0 (a,c) (c,b) (4)|a-b|<ε 应考训练 1.A 根 据 函 数 f(x)=lnx+2x-6可 判 断 在 (0,+∞)上单调递增,∵f(1)=-4, f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,所以根据函数 的零点判断方法可得:零点在(2,3)内,方程lnx+ 2x-6=0的近似解在区间(2,3)内. 2.B 因 为f 12 = 12 1 2 -1-log2 1 2= 12 1 2 >0, f(1)=12-1-log21=- 1 2<0 ,所以x0∈ 12, 1 .故选B. 3.B f(1)=-1<0,f(2)=ln2>0,则f(1)·f(2) <0,∴函数f(x)=lnx+x-2的零点在(1,2)内, 故选B. 4.C f 14 ·f 12 = π4+log2 14 · π2+log2 1 2 = π4-2 π2-1 <0,所以函数f(x)的零点 所在区间为 1 4 ,1 2 . 5.B 方程xlg(x+2)=1⇔lg(x+2)=1x. 在同一直角坐标系中画出函数y=lg(x+2)与y= 1 x 的图象,可得两函数图象有两个交点,故所求方 程有两个不同的实数根. 6.解析:令f(x)=x3-2x-5,则f(2)=-1<0, f(3)=16>0,f(2.5)=15.625-10=5.625>0. 因为f(2)·f(2.5)<0,所以下一个有根的区间为 [2,2.5). 答案:[2,2.5) 7.解析:由题意f(k)f(k+1)=(2k-3)(2k-1)<0, 解得1 2<k< 3 2. 又因为k为整数,故k=1. 答案:1 8.解析:由题意可得g(x)=f(x)-1= -2x,x<0, 2x-2,0≤x<2, 3 x-1-1 ,x≥2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —101— 专题二 对数、对数函数 学考考点 􀀋对数的概念 􀀌对数的运算 􀀍对数函数的概念 􀀎对数函数的图象与性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点一 对数 一、对数的概念 1.对数的概念 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫作 ,记作 ,其中a叫作 ,N 叫作 . 2.常用对数 将以10为底的对数叫作 ,log10N 可简记为 . 3.自然对数 以e为底的对数叫作自然对数,记为: . 4.对数的性质 (1) 没有对数,即logaN 中N 必须大于零. (2)1的对数为0,即 . (3)底数的对数为1,即 . 5.对数恒等式是alogaN=N(a>0,a≠1). 二、对数的运算 1.对数的运算法则 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)= . loga(N1N2…Nk)= (Ni >0,i=1,2,…,k). (2)loga M N= . (3)logaMn=nlogaM(n∈R). 2.换底公式 logab= .(a>0,a≠1,b>0,c>0, c≠1) 特别地,logab·logba=1. 考点二 对数函数 一、对数函数 1.对数函数的概念 函数 叫作对数函数,其中x是自变 量,函数的定义域是 . 2.提醒:对数函数的形式是唯一的,自变量x 的指数、系数均为1.对数函数的底数是大 于 且不等于 的常数.对数 式的系数也是 . 二、对数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 定义域 值域 R 性质 过定点 ,即x=1时,y=0 减函数 增函数 考点一 对数的运算 (1)lg25-lg14+9 lg1+log2(log216). (2)log2.56.25+lg 1 100+ln (e e) +log2(log216). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —42— 【解】 (1)原式=lg25+lg4+1+log24 =lg100+1+log24 =2+1+2 =5. (2)原 式 =log2.52.52+lg10-2+lne 3 2 + log24=2-2+ 3 2+2= 7 2. 考点二 对数函数 比较下列各组数中两个值的大小: (1)log23.4,log28.5. (2)log0.31.8,log0.32.7. (3)loga5.1,loga5.9(a>0,且a≠1). 【解】 (1)考察对数函数y=log2x, 因为它的底数2>1,所以它在(0,+∞)上 是增函数, 又3.4<8.5,于是log23.4<log28.5. (2)考察对数函数y=log0.3x, 因为它 的 底 数0<0.3<1,所 以 它 在(0, +∞)上是减函数, 又1.8<2.7,于是log0.31.8>log0.32.7. (3)当a>1时y=logax 在(0,+∞)上是增 函数, 又5.1<5.9,于是loga5.1<loga5.9. 当0<a<1时,y=logax 在(0,+∞)上是减 函数, 又5.1<5.9,于是loga5.1>loga5.9. 综上,当a>1时,loga5.1<loga5.9, 当0<a<1时,loga5.1>loga5.9. 考点三 对数函数的图象与性质 已知函数f(x)=loga x+1 x-1 (a>0,且a≠1). (1)求f(x)的定义域. (2)判断函数的奇偶性. 【解】 (1)要使函数有意义,则有x+1x-1>0 , 即 x+1>0 x-1>0 ,或 x+1<0, x-1<0, 解得x>1或x<-1, 此函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞), 关于原点对称. (2)f(-x)=loga -x+1 -x-1=loga x-1 x+1= -loga x+1 x-1=-f (x). 所以f(x)为奇函数. 一、选择题 1.已知logx16=2,则x等于 ( ) A.±4 B.4 C.256 D.2 2.(2023·湖南合格考真题)设a=log32,b= 2 1 3,c=3 1 3,则 ( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 3.(2022·湖南合格考真题)函数y=1+logax (a>0且a≠1)的图象恒过定点 ( ) A.(1,0) B.(1,1) C.(1,2) D.(2,1) 4.设a>1,函数f(x)=logax 在区间[a,2a] 上的最大值与最小值之差为1 2 ,则a等于 ( ) A.4 B.2 2 C.2 D.2 5.已知函数f(x)=log13(2x 2+x),则f(x)的 单调递增区间为 ( ) A. -∞,-14 B. -∞,-12 C.(0,+∞) D. -14,+∞ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —52— 二、填空题 6.已知log189=a,18b=5,则log4536= . 7.已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1, 则a= . 8.已知函数y=loga(x+3)- 8 9 (a>0,a≠1) 的图象恒过定点A,若点A 也在函数f(x) =3x+b的图象上,则b= . 三、解答题 9.计算下列各式的值. (1)2log23-log2 63 8+log27-7 log72. (2)log3 3+lg25+lg4-log2(log216). 10.设函数f(x)=log2(ax-bx),且f(1)=1, f(2)=log212. (1)求a,b的值. (2)当x∈[1,3]时,求f(x)的最大值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —62—