第4章 专题1 指数、指数函数-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

第四章 指数函数与对数函数 专题一 指数、指数函数 学考考点 􀀋指数 􀀌指数函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点一 指数 一、根式 1.n次方根 定 义 一般地,如果xn=a,那么x叫作a 的 ,其中n>1,且n∈N* 次 数 n是 奇数 a>0 a<0 x>0 x<0 x仅有一个值, 记为na n是 偶数 a>0 x 有两个值,且互为相 反数,记为±na a<0 x不存在 【归纳总结】 (1)任何实数均有奇次方根, 仅有非负数才有偶次方根,负数没有偶次 方根. (2)n0=0(n>1,且n∈N*). 2.根式的概念与性质 (1)定义:式子 叫做根式,这里n叫 作 ,a叫作 . (2)性质:(n>1,且n∈N*) ①(na)n=a.② n an= a,n为奇数, |a|,n为偶数. 二、指数 1.分数指数幂的意义 分 数 指 数 幂 正分数 指数幂 规定:a m n = (a>0, m,n∈N*,且n>1) 负分数 指数幂 规定:a- m n = = 1n am (a>0,m,n∈N*,且n>1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于 , 0的负分数指数幂 2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras= (a>0,r,s∈Q). (2)(ar)s= (a>0,r,s∈Q). (3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈Q). (说明:当r,s∈R时,上式仍成立) 考点二 指数函数 一、指数函数的概念 1.正整数指数函数的图象特点 前面我们学习过的一次函数与二次函数,它 们的图象是连续不间断的,而正整数指数函 数的图象是在第一象限内的一群 的点. 2.指数函数的定义 函数 叫做指数函数,其中 , 定义域为 ,值域为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —12— 3.指数函数y=2x 和y= 12 x 的图象与性质 两个函数图象的相同点:都位于 的 上方,都过点 ;不同点:函数y=2x 的图象是 ;函数y= 12 x 的图象 是 . 二、指数函数的图象与性质 由y= 12 x 与y=2x 归纳出y=ax 的性 质,如下表. a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 值域 过定点 单调性 在R上是 在R上是 考点一 指数 用分数指数幂表示下列各式: (1)a3· 3 a2. (2) b 3 a · a 2 b6 (a>0,b>0). (3)a-4b2 3 ab2(a>0,b>0). 【解】 (1)a3· 3 a2=a3·a 2 3=a3+ 2 3=a 11 3. (2)因为a>0,b>0, 所以 b 3 a · a 2 b6 = (a-1b3) 1 2·(a2b-6) 1 2 = (a- 1 2b 3 2)·(ab-3) = a 1 2b- 3 2 =(a 1 2b- 3 2) 1 2 =a 1 4b- 3 4. (3)因为a>0,b>0, 所以 a-4b2 3 ab2 = a-4b2a 1 3b 2 3 = a- 11 3·b 8 3 =(a- 11 3·b 8 3) 1 2 =a- 11 6b 4 3. 考点二 指数函数 (2024·湖南合格考真题)函数y=3x 的 图像大致是 ( ) A B C D 【解析】 函 数 y=3x 单 调 递 增,且 过 点 (0,1),B选项满足条件.故选B. 【答案】 B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —22— 一、选择题 1.下列式子中正确的是 ( ) A. 6(-3)2= 3 -3 B. 4 a4=a C. 6 22= 3 2 D.a0=1 2.下列各式正确的是 ( ) A. 3 m2+n2=(m+n) 2 3 B. ba 2 =a 1 2b 1 2 C. 6(-3)2=(-3) 1 3 D.34=2 1 3 3.方程42x-1=16的解是 ( ) A.x=-32 B.x= 3 2 C.x=1 D.x=2 4.若指数函数f(x)=ax 的图象过点(2,4),则 满足a2x+1<a3-2x的x 的取值范围是( ) A.x<12 B.x> 1 2 C.x>2 D.x<2 5.设y1=40.9,y2=80.48,y3= 12 -1.5 ,则 ( ) A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2 二、填空题 6.(2023·湖南合格考真题)已知函数y=ax (a>0,且a≠1)的图象过点(2,4),则a= . 7.已 知 函 数 f(x)= 13x+1 +a 为 奇 函 数, 则a= . 8.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b 为常数,则下列结论正确的是 . ①a>1 ②b>0 ③0<a<1 ④b<0 三、解答题 9.比较下列各题中两个值的大小: (1)1.7-2.5,1.7-3. (2)0.8-0.1,0.8-0.2. (3) 14 0.8 , 12 1.8 . 10.(1)解不等式 12 2x-1 ≤2. (2)若a-3x>ax+4(a>1),求 x 的 取 值 范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —32— 5.C 由题意知,普通自行车存放x 辆次时,电动自 行车存放(4000-x)辆次,则y=(4000-x)×0.3 +0.2x=-0.1x+1200,0≤x≤4000. 6.解析:8 1 3=(23) 1 3=2. 答案:2 7.解析:因为幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm+ 1 2m 2 在 (0,+∞)上是减函数,所以 m2-2m-2=1, 1 2m 2+m<0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以 m=-1. 答案:-1 8.解析:由表中数据知 22= 12 α ,所以α=12 , 所以f(x)=x 1 2,所以|x| 1 2≤2, 即|x|≤4,故-4≤x≤4. 所以不等式f(|x|)≤2的解集是{x|-4≤x≤4}. 答案:{x|-4≤x≤4} 9.解:(1)若f(x)为正比例函数, 则 m2+m-1=1, m2+2m≠0, ⇒m=1. (2)若f(x)为反比例函数, 则 m2+m-1=-1, m2+2m≠0 ⇒m=-1. (3)若f(x)为 二 次 函 数,则 m2+m-1=2, m2+2m≠0 ⇒m =-1± 132 . (4)若f(x)为幂函数,则m2+2m=1,所以m=-1 ± 2. 10.解:(1)由题意,设甲城的月供电费用为y1, 则y1=λ×20x2. 设乙城的月供电费用为y2,则y2=λ×10×(100 -x)2, 所以甲、乙两城月供电总费用y=λ×20x2+λ×10 ×(100-x)2. 因为λ=0.25, 所以y=152x 2-500x+25000(10≤x≤90). (2)y=152x 2-500x+25000 =152 x-1003 +500003 , 则当x=1003 时,y最小. 故当核电站建在距A 城1003 km 处时,才能使供电 总费用最小. 第四章 指数函数与对数函数 专题一 指数、指数函数 考点整合 考点一 一、 1.n次方根 2.(1) n a 根指数 被开方数 二、 1. n am 1 a m n 0 不存在 2.(1)ar+s (2)ars (3)arbr 考点二 一、 1.孤立 2.y=ax a>0且a≠1 R (0,+∞) 3.x轴 (0,1) 上升的 下降的 二、 R (0,+∞) (0,1) 增函数 减函数 应考训练 1.C 6(-3)2= 6 32= 3 3, 4 a4=|a|,a0=1(a≠0), 故A、B、D错误. 2.D A.(m+n) 2 3= 3(m+n)2,因此不正确; B. ba 2 =b2·a-2,因此不正确; C. 6(-3)2= 6 32=3 1 3,因此不正确; D. 3 4=2 2 3× 1 2=2 1 3,正确. 3.B 42x-1=42,所以2x-1=2,x=32. 4.A 因为f(2)=4,所以a2=4,所以a=2(a=-2 舍), 所 以 22x+1 <23-2x,所 以 2x+1<3-2x,所 以x<12. 5.D 因为y1=40.9=21.8,y2=21.44,y3=21.5, 且y=2x 在R上是增函数,所以y1>y3>y2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —99— 6.解析:∵y=ax 的图象过点(2,4),∴a2=4,a=±2. 又∵a>0,∴a=2. 答案:2 7.解析:因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以 f(0)=0,即 130+1 +a=0,所以a=-12. 答案:-12 8.解析:由图象呈下降趋势可知0<a<1,由图象与y 轴的交点的纵坐标小于1可知a-b<1,即-b>0, 所以b<0. 答案:③④ 9.解:(1)因为1.7>1,所以y=1.7x 在(-∞,+∞) 上是增函数, 因为-2.5>-3,所以1.7-2.5>1.7-3. (2)因为y=0.8x 在R上是减函数,-0.1>-0.2, 所以0.8-0.1<0.8-0.2. (3) 14 0.8 =(12 )1.6,y= 12 x 在R上是减函数, 1.6<1.8, 所以 14 0.8 > 12 1.8 . 10.解:(1)原 不 等 式⇔2-2x+1≤2⇔-2x+1≤1 ⇔x≥0, 故原不等式的解集为[0,+∞). (2)因为f(x)=ax(a>1)是 R 上的增函数,且 a-3x>ax+4, 所以-3x>x+4,即x<-1,故x 的取值范围是 x<-1. 专题二 对数、对数函数 考点整合 考点一 一、 1.以a为底N 的对数 x=logaN 对数的底数 真数 2.常用对数 lgN 3.lnN 4.(1)负数和零 (2)loga1=0 (3)loga =1 二、 1.(1)logaM+logaN logaN1+logaN2+…+logaNk (2)logaM-logaN 2. logcb logca 考点二 一、 1.y=logax(a>0,且a≠1) (0,+∞) 2.0 1 1 二、 (0,+∞) (1,0) 应考训练 1.B 把对数式化为指数式为x2=16,并且x>0, 所以x=4. 2.D a=log32∈(0,1).由函数y=x 1 3在R上为增函 数知1<b=2 1 3<c=3 1 3,故a<b<c.故选D. 3.B f(x)=logax 的图象恒过定点(1,0),则y=1+ logax 的图象恒过定点(1,1),故选B. 4.A 因为a>1,所以函数f(x)=logax 在区间[a, 2a]上是增函数,所以f(x)max=f(2a)=loga(2a) =1+loga2,f(x)min=f(a)=loga =1, 所以1+loga2-1= 1 2 ,所以a=4. 5.B 结合二次函数y=2x2+x 的图象(如图所示), 复合函数的单调性及f(x)的定义域可知f(x)的 单调递增区间为 -∞,-12 . 6.解析:因为18b=5,所以b=log185,log189=a, 而 log45 36 = log1836 log1845 = log18(18×2) log18(9×5) = log1818+log182 log189+log185 = 1+log18 18 9 a+b = 1+log1818-log189 a+b =2-aa+b. 答案:2-a a+b 7.解析:由已知可得log2(9+a)=1,所以9+a=2,a =-7. 答案:-7 8.解析:当x+3=1,即x=-2时,对任意的a>0,且 a≠1都有y=loga1- 8 9=0- 8 9=- 8 9 , 所以函数y=loga(x+3)- 8 9 的图象恒过定点 A -2,-89 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —001—