第3章 专题2 函数的基本性质-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

二、 不同取值区间 不同的对应关系 应考训练 1.C 由函数定义可知,任意作一条直线x=a,则与 函数的图象至多有一个交点,结合选项可知C中图 象不表示y是x 的函数. 2.A 对于A,因为g(x)= x2=|x|,f(x)=|x|, 所以两函数为同一函数; 对于B,f(x)=x2 和g(x)=(x+1)2 的对应关系 不同,不是同一函数; 对于C,函数f(x)的定义域为{x|x≠1},而函数 g(x)的定义域为 R,两函数定义域不同,所以两函 数为不同函数; 对于D,函数f(x)的定义域为{x|x≥1},而函数 g(x)的定义域为{x|x≤-1或x≥1},两函数定义 域不同,所以两函数为不同函数. 3.D 对A选项,其定义域为(-∞,-2)∪(-2,+ ∞),故A错误;对B选项,其定义域为[0,+∞), 故B错误;对C选项,由题意得x+1>0,解得x> -1,则其定义域为(-1,+∞),故C错误;对D选 项,显然其定义域为R,故D正确.故选D. 4.D 设f(x)=kx (k≠0),则k3=-6 ,k=-18. 所以f(x)=-18x. 5.B 由题意,此户居民这一年应缴纳的燃气费为 3.2×300+3.6×(500-300)=960+720=1680 元.故选B. 6.解析:因为f(x)=-x2-2x-5 =-(x+1)2-4, 所以当x=-1时,f(x)取得最大值-4. 所以函数f(x)=-x2-2x-5的值域是(-∞,-4]. 答案:(-∞,-4] 7.解析:若x≤1,由x+1=-3得x=-4. 若x>1,由1-x2=-3得x2=4, 解得x=2或x=-2(舍去). 综上可得所求x的值为-4或2. 答案:-4或2 8.解析:由题意可知,f(0)=2,f(2)=4+2a. 又f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,所以a=2. 答案:2 9.解:(1)将x=2分别代入f(x),g(x)得f(2)= 1 1+2= 1 3 ,g(2)=22+2=6. (2)因为g(2)=6,所以f(g(2))=f(6)= 11+6 =17. (3)将f(g(x))中的g(x)看作整体, 所以f(g(x))= 11+g(x)= 1 1+x2+2 = 1 x2+3 , 同理将g(f(x))中的f(x)看作整体, 所以g(f(x))=f2(x)+2= 11+x 2 +2. 10.解:(1)由f(3)=f(-1)=0得: 9a+3b+3=0, a-b+3=0, 即 3a+b=-1, a-b=-3, 解得:a=-1 , b=2. 所以f(x)的解析式为f(x)=-x2+2x+3. (2)列表如下: x -1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 描点,连线得f(x)的图象如图所示: (3)由图可知:其值域为(-∞,4]. 专题二 函数的基本性质 考点整合 考点一 一、 1.f(x1)<f(x2) 2.f(x1)>f(x2) 3.单调递增或单调递减 单调区间 二、 1.(1)f(x)≤M (2)f(x0)=M 2.(1)f(x)≥ M (2)f(x0)=M 考点二 1.f(-x)=f(x) 2.f(-x)=-f(x) 3.y轴 原点 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —79— 应考训练 1.A 结合图象可知函数f(x)在[-1,2]上是“上升” 的,故A正确. 2.B 因为函数y=-x2+2x-2的开口向下,且对 称轴为x=1,所以函数y=-x2+2x-2的单调递 减区间是[1,+∞). 3.C y= x-5x-a-2=1+ a-3 x-(a+2). 需 a-3<0, a+2≤-1, 即 a<3 , a≤-3, 所以a≤-3. 4.D 由题意结合一次函数的图象可知k+2>0, 即k>-2. 5.C ∵k∈Z,∴2k为偶数,2k+1为奇数,由图象可 知A、B正确.∵对∀x∈R,f(1+x)=f(1-x),函 数图象对称轴为x=1,D正确,由图象知周期T= 2,C错误,故选C. 6.解析:当k=0时,满足题意. 当k≠0时,f(x)=k x-2k 2 -4k-8 , 因为f(x)在[2,10]上有单调性,所以2k≥10 或2 k ≤2, 所以0<k≤15 或k≥1或k<0. 综上,k≥1或k≤15. 答案:k≥1或k≤15 7.解析:由题意得x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒 成立, 令g(x)=x2-3x+1-m= x-32 2 -54-m , 其对称轴为x=32 ,所以g(x)在区间[-1,1]上单 调递减, 所以g(x)min=g(1)=1-3+1-m>0, 所以m<-1. 答案:(-∞,-1) 8.解析:由题意知,圆心在坐标原点时,“完美函数”一 定为奇函数.∴符合题意的函数可以为y=sinx,y =2x… 答案:y=sinx(y=2x…,答案不唯一) 9.解析:设-1<x1<x2<1,f(x)=a x-1+1x-1 =a 1+ 1x-1 , f(x1)-f(x2)=a 1+ 1x1-1 -a 1+ 1x2-1 =a x2-x1(x1-1)(x2-1) . 当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递减; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上递增. 10.解析:(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x) 在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在 [0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图 所示. (2)由图象知,使函数值f(x)<0的x 的取值集 合为(-2,0)∪(2,5). 专题三 幂函数、函数的应用(一) 考点整合 考点 1.x 常数 2.(2)[0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) [0,+∞) 偶 奇 增 增 减 增 增 减 减 应考训练 1.B 当α=0时,函数y=xα 的定义域为{x|x≠0, x∈R},故①不正确;当α<0时,函数y=xα 的图象 不过(0,0)点,故②不正确;③④正确. 2.D A中定义域和值域都是 R;B中定义域和值域 都是(0,+∞);C中定义域和值域都是 R;D中定 义域为R,值域为[0,+∞). 3.C 设幂函数为y=xα.因为幂函数的图象经过点 4,12 ,所以12=4α,所以α=-12,所以y=x- 1 2, 所以f(2)=2- 1 2= 22. 4.B 显然有“-f(x)=f(-x)”,说明函数是奇函 数.同时当0<x<1时,x 1 3>x,x>1时,x 1 3<x. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —89— 专题二 函数的基本性质 学考考点 􀀋函数的单调性 􀀌函数的最大(小)值 􀀍函数的奇偶性 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点一 函数的单调性 函数的单调性 1.增函数的定义 一般 地,设 函 数 f(x)的 定 义 域 为I,区 间D⊆I; 如果∀x1,x2∈D,当x1<x2 时,都有 ,那么就称函数f(x)在区间D 上单 调递增. 特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调 递增时,我们就称它是增函数. 2.减函数的定义 如果∀x1,x2∈D,当x1<x2 时,都有 ,那么就称函数f(x)在区间D 上单 调递减. 特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调 递减时,我们就称它是减函数. 3.单调性定义 如果函数y=f(x)在区间 D 上 , 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严 格的)单调性.区间D 叫做y=f(x)的 . 考点二 函数的最大(小)值 1.最大值定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果 存在实数 M 满足: (1)对任意的x∈I,都有 . (2)存在x0∈I,使得 .那么,称 M 是函数y=f(x)的最大值. 2.最小值定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果 存在实数 M 满足: (1)对任意的x∈I,都有 ; (2)存在x0∈I,使得 . 那么,称 M 是函数y=f(x)的最小值. 考点三 函数的奇偶性 1.偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 x,都有 ,那么函数f(x)是偶函数. 2.奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 x,都有 ,那么函数f(x)是奇函数. 3.图象特点 偶函数的图象关于 对称;奇函数的 图象关于 对称. 考点一 函数的单调性 (2022·湖南合格考真题)下列函数中,在 (0,+∞)上单调递减的是 ( ) A.y=x-1 B.y=x 1 2 C.y=x2 D.y=x3 【解析】 y=x-1=1x 在(0,+∞)上单调递 减,A正确.y=x 1 2= x在(0,+∞)上单调 递增,B错误.y=x2,在(0,+∞)上单调递 增,C错误.y=x3 在(0,+∞)上单调递增, D错误.故选A. 【答案】 A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —51— 考点二 函数的最大(小)值 (2024·湖南合格考真题)已知函数f(x) =(a2+2a)x2+bx-4a-3(a,b∈R),g(x) =2x,且f(x)为偶函数. (1)若g(x0)=3,求x0 的值; (2)求实数b的值; (3)若对任意的x1∈[1,2],存在x2∈[-1, 0],使得f(x1)≤g(x2)恒成立,求实数a的 取值范围. 【解析】 (1)∵g(x0)=3,∴2x0=3, 解得:x0=log23. (2)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=(a2+2a) x2-bx-4a-3=f(x)=(a2+2a)x2+bx -4a-3,∴-bx=bx恒成立,所以b=0. (3)由(2)知:f(x)=(a2+2a)x2-4a-3,对 任意的x1∈[1,2],存在x2∈[-1,0],使得 f(x1)≤g(x2)恒 成 立,将 问 题 转 化 为: f(x1)max≤g(x2)max,当a2+2a>0时,即 a<-2或a>0,∵f(x)开口向上,对称轴为 x=0,∴f(x)在 [1,2]上 单 调 递 增, ∴f(x)max=f(2)=4a2+4a-3,∵g(x)= 2x 在[-1,0]上单调递增,∴g(x)max=g(0) =20=1,∴f(x1)max≤g(x2)max,即4a2+4a -3≤1,解得:-1- 52 ≤a≤ -1+ 5 2 , ∴0<a≤-1+ 52 ;当a2+2a=0时,即a= -2或a=0,∴f(x)=-4a-3为常函数, ∴f(x)max=-4a-3,∵g(x)=2x 在[-1, 0]上单调递增,∴g(x)max=g(0)=20=1, ∴f(x1)max≤g(x2)max,即-4a-3≤1,解 得:a≥-1,所以a=0;当a2+2a<0时,即 -2<a<0,∵f(x)开口向下,对称轴为x= 0,∴f(x)在[1,2]上单调递减,∴f(x)max= f(1)=a2-2a-3,∵g(x)=2x 在[-1,0] 上单调递 增,∴g(x)max=g(0)=20=1, ∴f(x1)max≤g(x2)max,即a2-2a-3≤1,解 得:1- 5≤a≤1+ 5,∴1- 5≤a<0; 综 上 所 述:实 数 a 的 取 值 范 围 为:1- 5,-1+ 52 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 . 【答 案】 (1)x0 =log23 (2)b=0 (3)1- 5,-1+ 52 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 考点三 函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=2-|x|; (2)f(x)= x2-1+ 1-x2; (3)f(x)= xx-1 ; (4)f(x)= x+1,x>0. -x+1,x<0. 【解】 (1)因为函数f(x)的定义域为 R,关 于原点对称,又f(-x)=2-|-x|=2-|x| =f(x),所以f(x)为偶函数. (2)因为函数f(x)的定义域为{-1,1},关 于原点对称,且f(x)=0,又因为f(-x)= -f(x),f(-x)=f(x), 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)因为函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不 关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数. (4)f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞), 关于原点对称.当x>0时,-x<0, f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x); 当x<0时,-x>0,f(-x)=1+(-x)=1 -x=f(x). 综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 都有f(-x)=f(x),f(x)为偶函数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —61— 一、选择题 1.函数f(x)的图象如图所 示,则 ( ) A.函数f(x)在[-1,2] 上是增函数 B.函数f(x)在[-1,2]上是减函数 C.函数f(x)在[-1,4]上是减函数 D.函数f(x)在[2,4]上是增函数 2.函数y=-x2+2x-2的单调递减区间是 ( ) A.(-∞,1] B.[1,+∞) C.(-∞,2] D.[2,+∞) 3.函数y= x-5x-a-2 在(-1,+∞)上单调递 增,则a的取值范围是 ( ) A.a=-3 B.a<3 C.a≤-3 D.a≥-3 4.函数y=(k+2)x+1在(-∞,+∞)上是增 函数,则k的取值范围是 ( ) A.{k|k≥-2} B.{k|k≤-2} C.{k|k<-2} D.{k|k>-2} 5.(2022·湖南合格考真题)已知周期函数y =f(x)(x∈R)的图象如图所示,则下列结 论中错误 ∙∙ 的是 ( ) A.f(2k)=0(k∈Z) B.f(2k+1)=1(k∈Z) C.∀x∈R,f(x+1)=f(x) D.∀x∈R,f(x+1)=f(1-x) 二、填空题 6.已知函数f(x)=kx2-4x-8在区间[2, 10]上具有单调性,则实数k的取值范围为 . 7.若x2-x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立, 则实数m 的取值范围是 . 8.(2023·湖南合格考真题)中国传 统文化中很多内容体现了数学的 对称美、和谐美,如图所示的太极 图.定义:若函数y=f(x)的图象是一条连 续不断的曲线,且该曲线同时平分圆的周长 和面积,则称函数y=f(x)为该圆的“完美 函数”.写出圆心在坐标原点的圆的一个“完 美函数” . 三、解答题 9.讨论函数f(x)= axx-1 (a≠0)在(-1,1)上 的单调性. 10.已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且 在区间[0,5]上的图象如图所示. (1)画出函数f(x)在区间[-5,0]上的 图象. (2)写出使f(x)<0的x的取值集合. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —71—