第3章 专题1 函数的概念及其表示-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

第三章 函数的概念与性质 专题一 函数的概念及其表示 学考考点 􀀋函数的概念 􀀌函数的表示法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点一 函数的概念 一、函数的概念 1.函数的定义 设集合A,B 是 ,如果对于集合A 中的 ,按照某种确定的对应关系 f,在集合B 中都有 和它对应,那 么就称f:A→B 为从集合A 到集合B 的一 个函数,记作 . 2.函数的定义域 在函数y=f(x),x∈A中,x叫做 ,x 的取值范围A 叫做函数的 . 3.函数的值域 与x的值相对应的y 值叫做 ,函数 值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 4.函数定义中的“三性” 、 、 ,即对于非空 数集A 中的任意一个(任意性)数x 都有 (存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应.这 “三 性”只 要 有 一 个 不 满 足,便 不 能 构 成 函数. 5.f(x)与f(a),a∈A的关系 f(x)表示自变量为x 的函数,表示的是变 量,f(a)表示当x=a时的函数值,是一个值 域内的值,是常量,如f(x)=x+1,当x=3 时,f(3)=3+1=4.函数值域 . 二、区间的概念 1.区间的概念及表示 设a,b两个是实数,且a<b,则有下表: 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a,b] 2.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞), “∞”读作“无穷大”.如: 符号 定义 [a,+∞) {x|x≥a} (a,+∞) {x|x>a} (-∞,a] {x|x≤a} (-∞,a) {x|x<a} 考点二 函数的表示法 一、函数的表示 1.列表法 通过列出 与 的表来表示 函数关系的方法叫做列表法. 2.图象法 表示函数的方法叫做图象法. 3.解析法(公式法) 如果在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)是用 来表达的,则这种表示函数的方法 叫做解析法(也称为公式法). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —21— 二、分数函数 在函数的定义域内,对于自变量x的 ,有着 ,这样的函数通常叫做 分段函数. 考点一 函数的概念 下列对应关系是集合A 到B 的函数的是 ( ) A.A=R,B={x|x>0},f:x→y= x B.A=R,B=R,f:x→y= x C.A={2},B={- 2,2},f:x→y2=x D.A={x|-1≤x≤1},B={0},f:x→y=0 【解析】 对于 A选项,A 中的元素0在B 中没有对应元素,不是函数;B选项中A 集 合中负数没有平方根,不是函数;C选项中 集合A 中的元素2在集合B 中有两个元素 ± 2与之对应,不是函数.D选项符合函数 的概念. 【答案】 D (2023·湖南合格考真题)函数f(x)= x的定义域是 ( ) A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.[1,+∞) D.(-∞,+∞) 【解析】 函数f(x)= x有意义,需满足 x≥0.故选B. 【答案】 B 考点二 函数的表示法 已知函数 f(x)= x+1,x≤-2, x2+2x,-2<x<2, 2x-1,x≥2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 (1)求f(-5),f(- 3),f f -52 的值. (2)若f(a)=3,求实数a的值. 【解】 (1)由 -5∈(-∞,-2],- 3∈ (-2,2),-52∈ (-∞,-2],知f(-5)= -5+1=-4,f(- 3)=(- 3)2+2× (- 3)=3-2 3. 因为f -52 =-52+1=-32,-2<-32 <2, 所以f f -52 =f -32 = -32 2 +2× -32 =94-3=-34. (2)①当a≤-2时,f(a)=a+1,所以a+1 =3, 所以a=2>-2不合题意,舍去. ②当-2<a<2时,a2+2a=3,即a2+2a- 3=0. 所以(a-1)(a+3)=0,所以a=1或a= -3. 因为1∈(-2,2),-3∉(-2,2),所以a=1 符合题意. ③当a≥2时,2a-1=3,所以a=2符合 题意. 综合①②③,当f(a)=3时,a=1或a=2. 一、选择题 1.设 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2}, 函数y=f(x)的定义域为 M,值域为 N,对 于下列四个图像,不可作为函数y=f(x)的 图像的是 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —31— 2.下列四组函数中,表示同一函数的是( ) A.f(x)=|x|,g(x)= x2 B.f(x)=x2 和g(x)=(x+1)2 C.f(x)=x 2-1 x-1 ,f(x)=x+1 D.f(x)= x+1· x-1,g(x)= x2-1 3.(2024·湖南合格考真题)下列函数中,定义 域为R的是 ( ) A.y= 1x+2 B.y= x C.y=log2(x+1) D.y=x2 4.反比例函数f(x)满足f(3)=-6,则f(x) = ( ) A.-x6 B.- 6 x C.-x18 D.- 18 x 5.(2024·湖南合格考真题)为了节约能源,某 城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”,计 费方式如下表所示: 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过300m3 3.2元/m3 超过300m3 但不超过600m3 的 部分 3.6元/m3 超过600m3 的部分 4.5元/m3 若某户居民一年的燃气用量为500m3,则 此户居民这一年应缴纳的燃气费为 ( ) A.1600元 B.1680元 C.1800元 D.2250元 二、填空题 6.函数f(x)=-x2-2x-5的值域是 . 7.已知函数f(x)= x+1,x≤1, 1-x2,x>1, 若f(x)= -3,则x= . 8.已知函数f(x)= 3x+2,x<1, x2+ax,x≥1, ,若f(f(0)) =4a,则实数a= . 三、解答题 9.已知函数f(x)= 11+x (x∈R且x≠-1), g(x)=x2+2(x∈R). (1)求f(2),g(2)的值. (2)求f(g(2))的值. (3)求f(g(x))和g(f(x))的解析式. 10.已知二次函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0) 满足f(3)=f(-1)=0, (1)求f(x)的解析式. (2)画出f(x)的图象. (3)写出其值域. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —41— 3.{x|x<x1 或x>x2} {x|x≠- b 2a } {x|x1<x< x2} ⌀ 应考训练 1.B 因 为 不 等 式 ax2 +bx +2>0 的 解 集 是 x -12<x< 1 3 , 所以-12 ,1 3 是方程ax2+bx+2=0的两个实数 根,且a<0,所以-ba=- 1 2+ 1 3 ,2 a=- 1 2× 1 3 , 解得a=-12,b=-2,所以a+b=-14. 2.D 因为ax2-ax+1<0无解,当a=0时显然正 确,当a≠0时,则 a>0, Δ≤0, ⇒ a>0 , a2-4a≤0, ⇒0<a≤ 4.综上知,0≤a≤4. 3.C 由已知,集合 M={x|x2<4}={x|-2<x< 2},N={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3}, 所以 M∩N={x|-1<x<2}. 4.B 因为|kx-4|≤2,所以(kx-4)2≤4,即k2x2- 8kx+12≤0, 因为不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},所 以1和3是方程k2x2-8kx+12=0的两根, 所以1+3=8k k2 ,所以k=2. 5.D 不等式等价于 x+5≥2(x-1)2 x-1≠0 ⇔ - 1 2≤x≤3 , x≠1, 所以不等式的解集为 x -12≤x<1 或1<x≤3 6.解析:x-1x ≥2 化为x-1 x -2≥0 , 即-x-1 x ≥0 ,即x+1 x ≤0. 它等价于 x(x+1)≤0 x≠0 ⇒-1≤x<0. 所以原不等式解集为{x|-1≤x<0}. 答案:{x|-1≤x<0} 7.解析:x2-ax+2a>0恒成立⇔Δ<0,即a2-4×2a <0,解得0<a<8. 答案:{a|0<a<8} 8.解析:axx-1<1 化 为 ax x-1-1<0 ,即(a-1)x+1 x-1 <0. 等价于[(a-1)x+1)](x-1)<0. 所以(a-1)x2-(a-2)x-1<0. 所以1,2是方程(a-1)x2-(a-2)x-1=0的两 个根. 所以 1+2=a-2a-1 , 1×2=- 1a-1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得a= 1 2. 答案:1 2 9.解:由已知条件可知a<0,且12 ,2是相应方程ax2 +5x-2=0 的 两 个 根,由 根 与 系 数 关 系 得, -5a= 5 2 , -2a=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得a=-2. 所以ax2-5x+a2-1>0化为2x2+5x-3<0,化 为(2x-1)(x+3)<0,解得-3<x<12. 所以不等式的解集为{x|-3<x<12 }. 10.解:设花卉带的宽度为xm,则中间草坪的长为 (800-2x)m,宽 为(600-2x)m.根据题意可得 (800-2x)(600-2x)≥12×800×600 ,整理得x2- 700x+600×100≥0,即(x-600)(x-100)≥0,所 以0<x≤100或x≥600,x≥600不符合题意,舍 去.故所求花卉带宽度的范围为{x|0<x≤100}. 第三章 函数的概念与性质 专题一 函数的概念及其表示 考点整合 考点一 一、 1.非空的实数集 任意一个数x 唯一确定的数y y=f(x),x∈A 2.自变量 定义城 3.函数值 4.任意性 存在性 唯一性 5.{y|y=f(x),x∈A} 考点二 一、 1.自变量 对应函数值 2.用“图形” 3.代数式(或解析式) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —69— 二、 不同取值区间 不同的对应关系 应考训练 1.C 由函数定义可知,任意作一条直线x=a,则与 函数的图象至多有一个交点,结合选项可知C中图 象不表示y是x 的函数. 2.A 对于A,因为g(x)= x2=|x|,f(x)=|x|, 所以两函数为同一函数; 对于B,f(x)=x2 和g(x)=(x+1)2 的对应关系 不同,不是同一函数; 对于C,函数f(x)的定义域为{x|x≠1},而函数 g(x)的定义域为 R,两函数定义域不同,所以两函 数为不同函数; 对于D,函数f(x)的定义域为{x|x≥1},而函数 g(x)的定义域为{x|x≤-1或x≥1},两函数定义 域不同,所以两函数为不同函数. 3.D 对A选项,其定义域为(-∞,-2)∪(-2,+ ∞),故A错误;对B选项,其定义域为[0,+∞), 故B错误;对C选项,由题意得x+1>0,解得x> -1,则其定义域为(-1,+∞),故C错误;对D选 项,显然其定义域为R,故D正确.故选D. 4.D 设f(x)=kx (k≠0),则k3=-6 ,k=-18. 所以f(x)=-18x. 5.B 由题意,此户居民这一年应缴纳的燃气费为 3.2×300+3.6×(500-300)=960+720=1680 元.故选B. 6.解析:因为f(x)=-x2-2x-5 =-(x+1)2-4, 所以当x=-1时,f(x)取得最大值-4. 所以函数f(x)=-x2-2x-5的值域是(-∞,-4]. 答案:(-∞,-4] 7.解析:若x≤1,由x+1=-3得x=-4. 若x>1,由1-x2=-3得x2=4, 解得x=2或x=-2(舍去). 综上可得所求x的值为-4或2. 答案:-4或2 8.解析:由题意可知,f(0)=2,f(2)=4+2a. 又f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,所以a=2. 答案:2 9.解:(1)将x=2分别代入f(x),g(x)得f(2)= 1 1+2= 1 3 ,g(2)=22+2=6. (2)因为g(2)=6,所以f(g(2))=f(6)= 11+6 =17. (3)将f(g(x))中的g(x)看作整体, 所以f(g(x))= 11+g(x)= 1 1+x2+2 = 1 x2+3 , 同理将g(f(x))中的f(x)看作整体, 所以g(f(x))=f2(x)+2= 11+x 2 +2. 10.解:(1)由f(3)=f(-1)=0得: 9a+3b+3=0, a-b+3=0, 即 3a+b=-1, a-b=-3, 解得:a=-1 , b=2. 所以f(x)的解析式为f(x)=-x2+2x+3. (2)列表如下: x -1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 描点,连线得f(x)的图象如图所示: (3)由图可知:其值域为(-∞,4]. 专题二 函数的基本性质 考点整合 考点一 一、 1.f(x1)<f(x2) 2.f(x1)>f(x2) 3.单调递增或单调递减 单调区间 二、 1.(1)f(x)≤M (2)f(x0)=M 2.(1)f(x)≥ M (2)f(x0)=M 考点二 1.f(-x)=f(x) 2.f(-x)=-f(x) 3.y轴 原点 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —79—