第2章 专题2 二次函数与一元二次方程、不等式-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

专题二 二次函数与一元二次方程、不等式 学考考点 􀀋二次函数与一元二次方程、不等式 􀀌二次函数与一元二次方程、不等式的应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点 二次函数与一元二次方程、不等式 1.一元二次不等式 只含有 未知数,并且未知数的 的不等式,其一般形式是ax2+bx+c>0 (≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(其中a,b,c 为常数,a≠0). 2.一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的x的值,叫做这个 一元二次不等式的解,其解的集合,称为这 个一元二次不等式的解集. 3.二次函数与一元二次方程、不等式 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx +c(a>0) 的图象 一元二次方 程ax2+bx +c=0(a> 0)的根 有 两 相 异 实 根x1,x2(x1 <x2) 有 两 相 等 实 根x1=x2= -b2a 没有实数根 ax2+bx+c >0(a>0) 的解集 R ax2+bx+ c<0(a>0) 的解集 ⌀ 考点 一元二次不等式的解法 解下列不等式: (1)x2-x-6>0. (2)25x2-10x+1>0. 【解】 (1)方程x2-x-6=0的两根为x1 =-2,x2=3,结合二次函数y=x2-x-6 的图象知x2-x-6>0的解集为{x|x>3 或x<-2}.(2)方程25x2-10x+1=0有 两相等实根,x1=x2= 1 5. 结合二次函数y=25x2-10x+1的图象知 25x2-10x+1>0的解集为{x|x≠15 }. (2022·湖南合格考真题)不等式x(x-2) >0的解集为 . A.{x|x<0} B.{x|x>2} C.{x|0<x<2} D.{x|x<0或x>2} 【解 析】 x(x-2)>0⇔ x-2>0 x>0 或 x-2<0, x<0, 解得x>2或x<0,故选D. 【答案】 D 一、选择题 1.不 等 式 ax2 +bx +2>0 的 解 集 是 x -12<x< 1 3 ,则a+b的值是 ( ) A.10 B.-14 C.14 D.-10 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —01— 2.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实 数a的值的集合是 ( ) A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4} C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4} 3.已知集合M={x|x2<4},N={x|x2-2x-3< 0},则集合 M∩N 等于 ( ) A.{x|x<-2) B.{x|x>3} C.{x|-1<x<2} D.{x|2<x<3} 4.若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤ 3},则实数k的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.不等式 x+5(x-1)2 ≥2的解集是 ( ) A.{x|-3≤x≤12 } B.{x|-12≤x≤3 } C.{x|12≤x<1 或1<x≤3} D.{x|-12≤x<1 或1<x≤3} 二、填空题 6.不等式x-1x ≥2 的解集为 . 7.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在 R 上恒成立,则实数a 的取值 范 围 是 . 8.不等式 axx-1<1 的解集为{x|x<1或x> 2},那么a的值为 . 三、解答题 9.若 不 等 式 ax2 +5x-2>0 的 解 集 是 x 12<x<2 ,求不等式ax2-5x+a2-1 >0的解集. 10.某校园内有一块长为800m,宽为600m 的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规 划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间 种草坪,若要求草坪的面积不小于总面积 的一半,求花卉带宽度的范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —11— 3.(1)x=y 大 s 2 4 (2)x=y 小 2 p 应考训练 1.A c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0, 所以c≥b,将题中两式作差得2b=2+2a2, 即b=1+a2. 因为1+a2-a= a-12 2 +34>0 , 所以1+a2>a, 所以b=1+a2>a.所以c≥b>a. 2.C 由条件可得a、b同号,当a、b均为负号时,不等 式a+b 2 ≥ ab 不成立. 3.C 由题意1a+ 1 b= a+b a + a+b b =2+ b a + a b≥2 +2 ba× a b =4. 当且仅当b a= a b ,即a=b=12 时取等号,所以最小 值为4. 4.B 法一:令a=3,b=2,c=-3,d=-2, 则a c=-1 ,b d=-1 ,排除选项C,D; 又a d=- 3 2 ,b c =- 2 3 ,所以a d < b c ,所以选项 A 错误,选项B正确. 法二:因为c<d<0,所以-c>-d>0,所以-1d >-1c>0. 又a>b>0,所以-ad>- b c ,所以a d< b c. 5.B (x+y)(1x+ a y )=1+a+yx + ax y ≥1+a+ 2 a=(a+1)2(x,y,a>0),当且仅当y= ax 时 取等号,所以(x+y)· 1x+ay 的最小值为(a+ 1)2,于是(a+1)2≥9恒成立.所以a≥4. 6.解析:由2<y<8,可得18< 1 y< 1 2 , 又1<x<6.所以18< x y<3. 所以x y 的取值范围是1 8< x y<3. 答案:1 8< x y<3 7.解析:因为直线xa+ y b=1 (a>0,b>0)过点(1,2), 所以1 a+ 2 b=1 ,所以2a+b=(2a+b) 1a+2b = 4+4ab + b a≥4+2 4a b ·b a =8 ,当且仅当b a = 4a b , 即a=2,b=4时,等号成立. 故2a+b的最小值为8. 答案:8 8.解析:因为x<3,所以x-3<0, 所以f(x)= 4x-3+x= 4 x-3+ (x-3)+3 =-[43-x+ (3-x)]+3≤-2 43-x ·(3-x) +3 =-1, 当且仅当 4 3-x=3-x ,即x=1时 取 等 号,所 以 f(x)的最大值为-1. 答案:-1 9.证明:因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z =1, 所以1 x-1= 1-x x = y+z x > 2 yz x ,① 1 y-1= 1-y y = x+y y > 2 xz y ,② 1 z-1= 1-z z = x+y z > 2 xy z ,③又x,y,z为正数, 由①×②×③,得 1x-1 1y-1 1z-1 >8. 10.解:(1)由题意得 y=100+0.5x+ (2+4+6+…+2x) x , 即y=x+100x +1.5 (x∈N+). (2)由 基 本 不 等 式 得:y=x+100x +1.5≥ 2 x·100x +1.5=21.5 ,当且仅当x=100x ,即x =10时取等号.故该企业10年后需要重新更换 新的污水处理设备. 专题二 二次函数与一元二次方程、不等式 考点整合 考点 1.一个 最高次数是2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —59— 3.{x|x<x1 或x>x2} {x|x≠- b 2a } {x|x1<x< x2} ⌀ 应考训练 1.B 因 为 不 等 式 ax2 +bx +2>0 的 解 集 是 x -12<x< 1 3 , 所以-12 ,1 3 是方程ax2+bx+2=0的两个实数 根,且a<0,所以-ba=- 1 2+ 1 3 ,2 a=- 1 2× 1 3 , 解得a=-12,b=-2,所以a+b=-14. 2.D 因为ax2-ax+1<0无解,当a=0时显然正 确,当a≠0时,则 a>0, Δ≤0, ⇒ a>0 , a2-4a≤0, ⇒0<a≤ 4.综上知,0≤a≤4. 3.C 由已知,集合 M={x|x2<4}={x|-2<x< 2},N={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3}, 所以 M∩N={x|-1<x<2}. 4.B 因为|kx-4|≤2,所以(kx-4)2≤4,即k2x2- 8kx+12≤0, 因为不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},所 以1和3是方程k2x2-8kx+12=0的两根, 所以1+3=8k k2 ,所以k=2. 5.D 不等式等价于 x+5≥2(x-1)2 x-1≠0 ⇔ - 1 2≤x≤3 , x≠1, 所以不等式的解集为 x -12≤x<1 或1<x≤3 6.解析:x-1x ≥2 化为x-1 x -2≥0 , 即-x-1 x ≥0 ,即x+1 x ≤0. 它等价于 x(x+1)≤0 x≠0 ⇒-1≤x<0. 所以原不等式解集为{x|-1≤x<0}. 答案:{x|-1≤x<0} 7.解析:x2-ax+2a>0恒成立⇔Δ<0,即a2-4×2a <0,解得0<a<8. 答案:{a|0<a<8} 8.解析:axx-1<1 化 为 ax x-1-1<0 ,即(a-1)x+1 x-1 <0. 等价于[(a-1)x+1)](x-1)<0. 所以(a-1)x2-(a-2)x-1<0. 所以1,2是方程(a-1)x2-(a-2)x-1=0的两 个根. 所以 1+2=a-2a-1 , 1×2=- 1a-1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得a= 1 2. 答案:1 2 9.解:由已知条件可知a<0,且12 ,2是相应方程ax2 +5x-2=0 的 两 个 根,由 根 与 系 数 关 系 得, -5a= 5 2 , -2a=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得a=-2. 所以ax2-5x+a2-1>0化为2x2+5x-3<0,化 为(2x-1)(x+3)<0,解得-3<x<12. 所以不等式的解集为{x|-3<x<12 }. 10.解:设花卉带的宽度为xm,则中间草坪的长为 (800-2x)m,宽 为(600-2x)m.根据题意可得 (800-2x)(600-2x)≥12×800×600 ,整理得x2- 700x+600×100≥0,即(x-600)(x-100)≥0,所 以0<x≤100或x≥600,x≥600不符合题意,舍 去.故所求花卉带宽度的范围为{x|0<x≤100}. 第三章 函数的概念与性质 专题一 函数的概念及其表示 考点整合 考点一 一、 1.非空的实数集 任意一个数x 唯一确定的数y y=f(x),x∈A 2.自变量 定义城 3.函数值 4.任意性 存在性 唯一性 5.{y|y=f(x),x∈A} 考点二 一、 1.自变量 对应函数值 2.用“图形” 3.代数式(或解析式) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —69—