第2章 专题1 等式性质与不等式性质、基本不等式-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

第二章 一元二次函数,方程和不等式 专题一 等式性质与不等式性质、基本不等式 学考考点 􀀋不等关系与比较大小 􀀌不等式的性质 􀀍基本不等式及其应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点一 等式性质与不等式性质 一、不等关系与比较大小 1.不等号 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两 个数或 ,以表示不等关系.“a≠b” 则应包含“a>b”或“a<b”. 不等式中文字语言与数学符号之间的关系 见下表. 文字 语言 大于 小于 大于 等于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于 数学 符号 2.关于a≤b或a≥b的含义 不等式a≤b应读作“ ”,其含义是 指“或者a<b,或者a=b”,等价于“a不大于 b”,即若a<b或者a=b之中有一个正确, 则a≤b正确. 3.实数的运算与其大小的关系 a-b>0⇔ ;a-b=0⇔ ; a-b<0⇔ . 二、不等式的性质 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 性质2 传递性 a>b,b>c⇒a>c 不可逆 性质3 可加性 a>b⇔a+c>b+c a+b>c⇔c-b<a 可逆 性质4 可乘性 a>b,c>0⇒ac>bc a>b,c<0⇒ac<bc c的符号 性质5 同向可 加性 a>b,c>d⇒a+c>b+d 同向 性质6 同向同正 可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac>bd 同向 同正 性质7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1) 同正 考点二 基本不等式 1.重要不等式 当a,b是任意实数时,有a2+b2≥2ab,当且 仅当 时,等号成立. 2.基本不等式 (1)有关概念:当a,b均为正数时,把 称为正数a,b的算术平均数,把 ab称为正 数a,b的几何平均数. (2)基本不等式:如果a,b是正数,那么 ab ≤a+b2 ,当且仅当 时取“=”. (3)变形:ab≤ a+b2 2 ≤a 2+b2 2 ,a+b≥2ab (其中a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成 立). 3.最值:设x,y为正实数 (1)若x+y=s(和s为定值),则当 时, 积xy有最 值,且这个值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —7— (2)若xy=p(积p为定值),则当 时,和x+y 有最 值,且这个值为 . 考点一 不等式的性质 (2023·湖南合格考真题)下列命题为真 命题的是 ( ) A.若a>b,则a2>b2 B.若a>b,则ac>bc C.若a>b,c>d,则a+c>b+d D.若a>b,c>d,则ac>bd 【解析】 选项 A中,若a>b,取a=1,b= -2.则a2<b2 错误.选项B中,若a>b,c< 0.则ac<bc错误.选项C中,由不等式的性 质知,若a>b,c>d,则a+c>b+d正确.选 项D中,若a>b,c>d,取a=2,b=1,c= -1,d=-2,则ac=bd错误.故选C. 【答案】 C 考点二 基本不等式的应用 (2023·湖南合格考真题)已知0<x<4, 则 x(4-x)的最大值为 ( ) A.12 B.1 C.2 D.2 【解析】 ∵0<x<4,∴4-x>0. ∴x(4-x)≤ x+4-x2 2 =4. ∴ x(4-x)≤ x+4-x2 2 =2. 当且仅当x=4-x,即x=2时,取等号.故 选D. 【答案】 D (2024·湖南合格考真题)已知函数f(x) =x+9x (x>0),则f(x)的最小值是( ) A.2 B.3 C.6 D.10 【解析】 法一:当x>0时,f(x)=x+9x≥ 2 x·9x=6 ,所以f(x)=x+9x (x>0)得 最小值是6. 法二:因为函数f(x)=x+9x (x>0)在(0, 3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,所 以fmin(x)=f(3)=3+3=6.故选C. 【答案】 C 一、选择题 1.已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b =4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是 ( ) A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b 2.若ab>0,则下列不等式不一定能成立的是 ( ) A.a2+b2≥2ab B.a2+b2≥-2ab C.a+b2 ≥ ab D. b a+ a b≥2 3.设a>0,b>0.若a+b=1,则1a+ 1 b 的最小 值是 ( ) A.2 B.14 C.4 D.8 4.若a>b>0,c<d<0,则一定有 ( ) A.ad> b c B. a d< b c C.ac> b d D. a c< b d 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —8— 5.已知不等式(x+y) 1x+ay ≥9对任意的 正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 二、填空题 6.若x,y 满足 1<x<6 2<y<8, 则xy 的取值范围是 . 7.若直线xa+ y b=1 (a>0,b>0)过点(1,2), 则2a+b的最小值为 . 8.若x<3,则实数f(x)= 4x-3+x 的最大值 为 . 三、解答题 9.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z= 1,求证: 1x-1 1y-1 1 z-1 >8. 10.某化工企业2019年年底将投入100万元, 购入一套污水处理设备.该设备每年的运 转费用是0.5万元,此外每年都要花费一 定的维护费,第一年的维护费为2万元,由 于设备老化,以后每年的维护费都比上一 年增加2万元.设该企业使用该设备x年 的年平均污水处理费用为y(单位:万元). (1)用x表示y. (2)当该企业的年平均污水处理费用最高 时,企业需重新更换新的污水处理设备.则 该企业几年后需要重新更换新的污水处理 设备. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —9— 专题二 充分条件与必要条件、全称 量词与存在量词 考点整合 考点一 1.⇒ ⇒/ 充分 必要 充分 必要 考点二 一、 1.全称量词 ∀ 2.全称量词 ∀x∈M,p(x) 二、 1.存在量词 ∃ 2.存在量词 ∃x∈M,p(x) 三、 1.(1)存在量词命题 “不” (2)∃x∈M,􀱑p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 2.(1)全称量词命题 “不” (2)∀x∈M,􀱑p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 应考训练 1.A 设P={x|x>1或x<-3},Q={x|x>a}, 因为q是p 的充分条件,但不是必要条件,所以Q ⫋P,因此a≥1. 2.A 当x>1时,1x<1 成立;而当1 x<1 时,x>1或 x<0,所以“x>1”是“1x<1 ”的充分不必要条件. 3.B 当c为零时,由ac=bc⇒/a=b. 4.A b=0时,直线y=kx过原点.所以b=0是直线 y=kx+b过原点的充分条件. 5.A 当a≤0时,显然存在x∈R,使ax2+2x+a< 0;当a>0时,由Δ=4-4a2>0, 解得-1<a<1,故0<a<1. 综上所述,实数a的取值范围是a<1. 6.解析:不等式变形为(x+1)(x+a)<0,因当-2< x<-1时不等式成立,所以不等式的解为-a<x <-1.由题意有{x|-2<x<-1}⫋{x|-a<x< -1},所以-2>-a,即a>2. 答案:a>2 7.解析:当a=0时,不等式显然成立. a≠0时,依 题 意 知 a<0, Δ=a2+8a≤0, 解 得 -8≤a <0, 综上可知-8≤a≤0. 答案:{a|-8≤a≤0} 8.解析:命题p:∃x∈R,x2+2x+5<0是存在量词 命题. 因为x2+2x+5=(x+1)2+4>0恒成立. 答案:存在量词命题 假 9.解:因为A={x|x2-(a+1)x+a≤0}={x|(x- 1)(x-a)≤0}.B={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x ≤2}. (1)因为p 是q 的充分不必要条件,所以A⫋B,而 当a=1时,A={1},显然成立,当a>1,A={x|1 ≤x≤a2},需1<a<2, 综上可知1≤a<2时,p是q 的充分不必要条件. (2)因为p是q 的必要不充分条件,所以B⫋A, 故A={x|1≤x≤a2},且a>2, 所以当a>2时,p是q 的必要不充分条件. (3)因为p是q 的充要条件,所以A=B,故a=2. 10.解:(1)∀x∈N,x2>0,因为0也是自然数,0的平 方是0. 所以,全称量词命题“自然数的平方大于零”是假 命题. (2)∃x0,y0∈Z,2x0+4y0=3.由2x0+4y0=3,得 x0+2y0= 3 2 ,若x0,y0∈Z,则x0+2y0 也是整数, 不可能等于3 2 ,所以,存在量词命题“存在一对整 数x0,y0,使2x0+4y0=3”是假命题. (3)∃x0∈{无理数},x30∈Q, 3 3是有理数,( 3 3)3= 3是有理数. 所以,存在量词命题“存在一个无理数,它的立方 是有理数”是真命题. 第二章 一元二次函数,方程和不等式 专题一 等式性质与不等式性质、 基本不等式 考点整合 考点一 一、 1.代数式 > < ≥ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ 2.a小于或者等于b 3.a>b a=b a<b 考点二 1.a=b 2.(1)a+b2 (2)a=b 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —49— 3.(1)x=y 大 s 2 4 (2)x=y 小 2 p 应考训练 1.A c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0, 所以c≥b,将题中两式作差得2b=2+2a2, 即b=1+a2. 因为1+a2-a= a-12 2 +34>0 , 所以1+a2>a, 所以b=1+a2>a.所以c≥b>a. 2.C 由条件可得a、b同号,当a、b均为负号时,不等 式a+b 2 ≥ ab 不成立. 3.C 由题意1a+ 1 b= a+b a + a+b b =2+ b a + a b≥2 +2 ba× a b =4. 当且仅当b a= a b ,即a=b=12 时取等号,所以最小 值为4. 4.B 法一:令a=3,b=2,c=-3,d=-2, 则a c=-1 ,b d=-1 ,排除选项C,D; 又a d=- 3 2 ,b c =- 2 3 ,所以a d < b c ,所以选项 A 错误,选项B正确. 法二:因为c<d<0,所以-c>-d>0,所以-1d >-1c>0. 又a>b>0,所以-ad>- b c ,所以a d< b c. 5.B (x+y)(1x+ a y )=1+a+yx + ax y ≥1+a+ 2 a=(a+1)2(x,y,a>0),当且仅当y= ax 时 取等号,所以(x+y)· 1x+ay 的最小值为(a+ 1)2,于是(a+1)2≥9恒成立.所以a≥4. 6.解析:由2<y<8,可得18< 1 y< 1 2 , 又1<x<6.所以18< x y<3. 所以x y 的取值范围是1 8< x y<3. 答案:1 8< x y<3 7.解析:因为直线xa+ y b=1 (a>0,b>0)过点(1,2), 所以1 a+ 2 b=1 ,所以2a+b=(2a+b) 1a+2b = 4+4ab + b a≥4+2 4a b ·b a =8 ,当且仅当b a = 4a b , 即a=2,b=4时,等号成立. 故2a+b的最小值为8. 答案:8 8.解析:因为x<3,所以x-3<0, 所以f(x)= 4x-3+x= 4 x-3+ (x-3)+3 =-[43-x+ (3-x)]+3≤-2 43-x ·(3-x) +3 =-1, 当且仅当 4 3-x=3-x ,即x=1时 取 等 号,所 以 f(x)的最大值为-1. 答案:-1 9.证明:因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z =1, 所以1 x-1= 1-x x = y+z x > 2 yz x ,① 1 y-1= 1-y y = x+y y > 2 xz y ,② 1 z-1= 1-z z = x+y z > 2 xy z ,③又x,y,z为正数, 由①×②×③,得 1x-1 1y-1 1z-1 >8. 10.解:(1)由题意得 y=100+0.5x+ (2+4+6+…+2x) x , 即y=x+100x +1.5 (x∈N+). (2)由 基 本 不 等 式 得:y=x+100x +1.5≥ 2 x·100x +1.5=21.5 ,当且仅当x=100x ,即x =10时取等号.故该企业10年后需要重新更换 新的污水处理设备. 专题二 二次函数与一元二次方程、不等式 考点整合 考点 1.一个 最高次数是2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —59—