第1章 专题2 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

专题二 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 学考考点 􀀋充分条件与必要条件 􀀌充要条件 􀀍全称量词与全称量词命题 􀀎存在量词与存在量词命题 􀀏全称量词命题和存在量词命题的否定 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点一 充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件 命题 真假 “若p,则q”是 真命题 “若 p,则q”是 假 命题 推出 关系 p q p q 条件 关系 p是q 的 条件 q是p 的 条件 p 不 是q 的 条件 q 不 是 p 的 条件 2.充要条件 如果“若p则q”和它的逆命题“若q则p”均 是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作 p⇔q.此时,p既是q 的充分条件,也是q的 必要条件,就说p 是q 的充分必要条件,简 称为充要条件. 考点二 全称量词与存在量词 1.全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常 叫做 ,并用符号“ ”表示. (2)含有 的命题叫作全称量词命 题,通常将含有变量 x 的语句用p(x), q(x),r(x),…表示,变量x 的取值范围用 M 表示,那么全称量词命题“对M 中任意一个 x,有p(x)成立”可用符号简记为“ ”. 2.存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通 常叫作 ,并用符号“ ”表示. (2)含有 的命题,叫作存在量词命题, 存在量词命题“存在M 中的元素x,使p(x) 成立”,可用符号简记为“ ”. 考点三 全称量词命题与存在量词命题的否定 1.全称量词命题的否定 (1)文字语言 全称量词命题的否定变成了 ,∀变为 ∃,在“全”“都”“等于”等前面加上 . (2)符号语言 ∀x∈M,p(x)的否定为: . 结论: . 2.存在量词命题的否定 (1)文字语言 存在量词命题的否定变成了 ,∃变 为∀,在“是”“等于”“含”等前面加上 . (2)符号语言 ∃x∈M,p(x)的否定为: . 结论: . 考点一 充分条件与必要条件 (2024·湖南合格考真题)已知x,y是实 数,则“x-y<0”是“x<y”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —4— 【解析】 由不等式的性质、充要条件的定义 即可求解.由不等式的性质可知:x-y<0 等价于x<y,即“x-y<0”是“x<y”的充 要条件.故选C. 【答案】 C (2023·湖南合格考真题)设p:四棱柱是 正方体,q:四棱柱是长方体,则p是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 四棱柱是正方体⇒四棱柱是长方 体.四棱柱是长方体⇒/四棱柱是正方体,故 选A. 【答案】 A 考点二 全称量词与存在量词 (2024·湖南合格考真题)下列命题为真 命题的是 ( ) A.∀x∈R,x2+1=0 B.∀x∈R,x2>1 C.∃x∈R,|x|+1=0 D.∃x∈R,x+2=0 【解析】 对A选项,取x=1,则x2+1=2, 则“∀x∈R,x2+1=0”为假命题;对B选 项,取x=1,则x2=1,则“∀x∈R,x2>1” 为假命题;对C选项,x∈R 时,|x|+1≥1 恒成立,则不存在x∈R,使得|x|+1=0,则 其为假命题;对D选项,x+2=0,解得x= -2,则“∃x∈R,x+2=0”为 真 命 题.故 选D. 【答案】 D (2023·湖南合格考真题)命题“∃x∈R, x2+x+1<0”的否定是 ( ) A.∀x∈R,x2+x+1<0 B.∀x∈R,x2+x+1≥0 C.∃x∈R,x2+x+1>0 D.∃x∈R,x2+x+1≤0 【解析】 含有存在量词命题的否定是全称量 词命题.故命题“∃x∈R,x2+x+1<0”的否定 是:“∀x∈R,x2+x+1≥0”.故选B. 【答案】 B 一、选择题 1.已知p:x>1或x<-3,q:x>a,若q是p 的充分条件但不是必要条件,则a的取值范 围是 ( ) A.{a|a≥1} B.{a|a≤1} C.{a|a≥-3} D.{a|a<-3} 2.若x∈R,则“x>1”是“1x<1 ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.对于任意的实数a,b,c,在下列命题中,真命 题是 ( ) A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件 C.“ac<bc”是“a<b”的充分条件 D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件 4.直线y=kx+b过原点的充分条件是 ( ) A.b=0 B.b>0 C.b<0 D.b∈R 5.若存在x∈R,使ax2+2x+a<0,则实数a 的取值范围是 ( ) A.a<1 B.a≤1 C.-1<a<1 D.-1<a≤1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —5— 二、填空题 6.使不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充 分条件,但不是必要条件的是-2<x<-1, 则a的取值范围是 . 7.若命题“任意x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命 题,则实数a的取值范围是 . 8.命题p:∃x∈R,x2+2x+5<0是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”),它 是 命题(填“真”或“假”). 三、解答题 9.已知条件p:A={x|x2-(a+1)x+a≤0}, 条件q:B={x|x2-3x+2≤0},当a为何 值时, (1)p是q的充分不必要条件? (2)p是q的必要不充分条件? (3)p是q的充要条件? 10.用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命 题并判断其真假: (1)自然数的平方大于零. (2)存在一对整数x0,y0,使2x0+4y0=3. (3)存在一个无理数,它的立方是有理数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —6— 专题二 充分条件与必要条件、全称 量词与存在量词 考点整合 考点一 1.⇒ ⇒/ 充分 必要 充分 必要 考点二 一、 1.全称量词 ∀ 2.全称量词 ∀x∈M,p(x) 二、 1.存在量词 ∃ 2.存在量词 ∃x∈M,p(x) 三、 1.(1)存在量词命题 “不” (2)∃x∈M,􀱑p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 2.(1)全称量词命题 “不” (2)∀x∈M,􀱑p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 应考训练 1.A 设P={x|x>1或x<-3},Q={x|x>a}, 因为q是p 的充分条件,但不是必要条件,所以Q ⫋P,因此a≥1. 2.A 当x>1时,1x<1 成立;而当1 x<1 时,x>1或 x<0,所以“x>1”是“1x<1 ”的充分不必要条件. 3.B 当c为零时,由ac=bc⇒/a=b. 4.A b=0时,直线y=kx过原点.所以b=0是直线 y=kx+b过原点的充分条件. 5.A 当a≤0时,显然存在x∈R,使ax2+2x+a< 0;当a>0时,由Δ=4-4a2>0, 解得-1<a<1,故0<a<1. 综上所述,实数a的取值范围是a<1. 6.解析:不等式变形为(x+1)(x+a)<0,因当-2< x<-1时不等式成立,所以不等式的解为-a<x <-1.由题意有{x|-2<x<-1}⫋{x|-a<x< -1},所以-2>-a,即a>2. 答案:a>2 7.解析:当a=0时,不等式显然成立. a≠0时,依 题 意 知 a<0, Δ=a2+8a≤0, 解 得 -8≤a <0, 综上可知-8≤a≤0. 答案:{a|-8≤a≤0} 8.解析:命题p:∃x∈R,x2+2x+5<0是存在量词 命题. 因为x2+2x+5=(x+1)2+4>0恒成立. 答案:存在量词命题 假 9.解:因为A={x|x2-(a+1)x+a≤0}={x|(x- 1)(x-a)≤0}.B={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x ≤2}. (1)因为p 是q 的充分不必要条件,所以A⫋B,而 当a=1时,A={1},显然成立,当a>1,A={x|1 ≤x≤a2},需1<a<2, 综上可知1≤a<2时,p是q 的充分不必要条件. (2)因为p是q 的必要不充分条件,所以B⫋A, 故A={x|1≤x≤a2},且a>2, 所以当a>2时,p是q 的必要不充分条件. (3)因为p是q 的充要条件,所以A=B,故a=2. 10.解:(1)∀x∈N,x2>0,因为0也是自然数,0的平 方是0. 所以,全称量词命题“自然数的平方大于零”是假 命题. (2)∃x0,y0∈Z,2x0+4y0=3.由2x0+4y0=3,得 x0+2y0= 3 2 ,若x0,y0∈Z,则x0+2y0 也是整数, 不可能等于3 2 ,所以,存在量词命题“存在一对整 数x0,y0,使2x0+4y0=3”是假命题. (3)∃x0∈{无理数},x30∈Q, 3 3是有理数,( 3 3)3= 3是有理数. 所以,存在量词命题“存在一个无理数,它的立方 是有理数”是真命题. 第二章 一元二次函数,方程和不等式 专题一 等式性质与不等式性质、 基本不等式 考点整合 考点一 一、 1.代数式 > < ≥ ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ 2.a小于或者等于b 3.a>b a=b a<b 考点二 1.a=b 2.(1)a+b2 (2)a=b 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —49—