第1章 专题1 集合的概念、集合的运算-【学考一本通】2025年湖南省普通高中学业水平测试数学

第一章 集合与常用逻辑用语 专题一 集合的概念、集合的运算 学考考点 􀀋集合的含义与表示 􀀌集合间的基本关系 􀀍集合的基本运算 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 考点一 集合的概念 一、集合的含义 1.(1)元素: . (2)集合:一些元素组成的 . (3)特性:对于给定的集合,它的元素是 的并且是 的. (4)表示:用 …表示元素,用 …表示集合. 2.两个集合相等:构成两个集合的元素是 的. 3.(1)属于:如果a是集合A 中的元素,就说 ,记作 . (2)不属于:如果a不是集合A 中的元素, 就说 ,记作 . 二、集合的表示 1.列举法:把集合的所有元素 出来, 并用花括号“{ }”括起来表示集合的 方法. 2.描述法:设A 是一个集合,把集合A 中所有 f(x)的元素x所组成的集合表示 为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描 述法. 考点二 集合的基本关系 1.子集:对于两个集合 A,B,如果集合 A 中 ,就称集合A 为集合B 的子集. 记作:A⊆B(或B⊇A). 读作:“A 包含于B”(或“B 包含A”). 2.真子集:如果集合A⊆B,但存在元素 ,称集合A 是集合B 的真子集. 记作:A⫋B(或B⫌A). 3.空集:不含任何元素的集合,记作⌀. 规定:空集是任何集合的 . 考点三 集合的基本运算 1.并集:由所有属于集合A 属于集合B 的元素组成的集合,称为A与B的并集. 记作: . 读作:A 并B. 符号表示: A∪B= . Venn图表示: 2.交集:由属于集合A 属于集合B 的 所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集. 记作: . 读作:A 交B. 符号表示: A∩B= . Venn图表示: 3.全集:含有所研究问题中涉及的 元 素的集合,通常记作U. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —1— 4.补集:对于一个集合A,由全集U 中 集合A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相 对 于 全 集 U 的 补 集,记作∁UA,即∁UA= . Venn图表示: 考点一 集合的概念 下列所给的对象能构成集合的是 . ①所有的正三角形;②本班全体帅哥; ③某校高一年级所有16岁以下的学生; ④联合国常任理事国;⑤漂亮的花; ⑥2的近似值的全体. 【解析】 ②中“帅哥”没有统一标准,即元素 不确定,不能组成集合;⑤中的“漂亮”、⑥中 的“近似”标准不明确,不能组成集合.①③ ④中的对象都是确定的,可以组成集合. 【答案】 ①③④ 考点二 集合的基本关系 设集合A={x|-1<x<2},B={x|-1 <x<1},则 ( ) A.A⊆B B.B⊆A C.A=B D.A⊈B 【解析】 如图所示, A 的 范 围 包 含B 的 范围,所以B⊆A. 【答案】 B (2023·湖南合格考真题)已知集合A= {0,1},B={1,2,3},则A∩B= ( ) A.{1} B.{1,2} C.{0,1} D.{1,2,3} 【解析】 ∵A={0,1},B={1,2,3}. ∴A∩B={1}.故选A. 【答案】 A 考点三 集合的基本运算 设全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B ={x|2a≤x<3-a}. (1)若a=-2,求B∩A,B∩(∁UA). (2)若A∪B=A,求实数a的取值范围. 【解题指南】 (1)利用已知条件求出 A 的 补集,然后直接求解即可. (2)分类讨论B 是否是空集,列出不等式组 求解即可. 【解】 (1)集合A={x|1≤x<4),∁UA={x |x<1或x≥4},a=-2时,B={x|-4≤x <5},所以B∩A={x|1≤x<4}, B∩(∁UA)={x|-4≤x<1或4≤x<5}. (2)若 A∪B=A,则 B⊆A,分 以 下 两 种 情形; ①B=⌀时,则有2a≥3-a,所以a≥1; ②B≠⌀时,则有 2a<3-a, 2a≥1, 3-a≤4, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 所以 1 2≤a<1. 综上所述,所求a的取值范围为a≥12. 一、选择题 1.(2024·湖南合格考真题)已知集合A={0, 1,2},则下列结论正确的是 ( ) A.3∈A B.1∈A C.2∉A D.0∉A 2.下列几组集合中表示相等的集合的组数为 ( ) (1)A={(-5,3)},B={-5,3}. (2)M={1,-3},N={3,-1}. (3)M={π},N={3.1415}. (4)M={x|x2-3x+2=0},N=(y|y2-3y +2=0}. A.1 B.2 C.3 D.4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —2— 3.设集合A={-1,1},集合B={x|ax=1, a∈R},则使得B⊆A 的a 的所有取值构成 的集合是 ( ) A.{0,1} B.{0,-1} C.{1,-1} D.{-1,0,1} 4.若全集U={x|-2≤x≤2},则集合 A= {x|-2≤x≤0}的补集∁UA 为 ( ) A.{x|0<x<2} B.{x|0≤x<2} C.{x|0<x≤2} D.{x|0≤x≤2} 5.已知集合A={x|-3≤x<4},B={x|-2 ≤x≤5},则A∩B= ( ) A.{x|-3≤x≤5}B.{x|-2≤x<4} C.{x|-2≤x≤5} D.{x|-3≤x<4} 二、填空题 6.已知集合A={1,2,3,4},集合B={x|x≤ a,a∈R},A∪B={x|x≤5},则a 的值是 . 7.已知全集U={x|x>0},∁UA={x|1<x≤ 2},则A= . 8.已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1 <x<2},若 A⊆∁RB,则a 的取值范围为 . 三、解答题 9.已知 A={x|-1<x<2},B={x|0≤x ≤1}.求:(1)A∩B. (2)A∪B. (3)(∁RA)∩(∁RB). 10.已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m -1<x<m+1},且B⊆A.求实数m 的取 值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —3— 参考答案 第一部分 合格考复习讲义 第一章 集合与常用逻辑用语 专题一 集合的概念、集合的运算 考点整合 考点一 一、 1.(1)研究对象 (2)总体 (3)确定 互不相同 (4)a,b,c A,B,C 2.一样 3.(1)a属于集合A α∈A (2)a不属于集合A α∉A 二、 1.一一列举 2.具有共同特征 考点二 1.任意一个元素都是集合B 中的元素 2.x∈B,且x∉A 3.子集 考点三 1.或 A∪B {x|x∈A,或x∈B} 2.且 A∩B {x|x∈A,且x∈B} 3.所有 4.不属于 {x|x∈U,且x∉A} 应考训练 1.B 由元素与集合的关系可知:若集合 A={0,1, 2},则0∈A,1∈A,2∈A,3∉A.故选B. 2.A 对于(1)A 表示点集,B 表示数,不相等;对于 (2)元素不同 M≠N;对于(3)π≠3.1415, 故 M≠N; 对于(4)M={1,2},N={1,2},相等. 3.D ①当B 是⌀时,可知a=0显然成立; ②当B={1}时,可得a=1,符合题意; ③当B={-1}时,可得a=-1,符合题意. 故满足条件的a的取值集合为{1,-1,0}. 4.C 因为U={x|-2≤x≤2}, 所以A={x|-2≤x≤0}的补集∁UA={x|0<x≤ 2}. 5.B 因为集合 A={x|-3≤x<4},集合B={x| -2≤x≤5},所以A∩B={x|-2≤x<4}. 6.解析:因为集合A={1,2,3,4},集合B={x|x≤a, a∈R},A∪B={x|x≤5},所以a=5. 答案:5 7.解析:A=∁U(∁UA)={x|0<x≤1或x>2}. 如图,画出数轴,表示出U 及∁UA, 答案:{x|0<x≤1或x>2} 8.解析:∁RB={x|x≤1或x≥2}≠⌀. 因为A⊆∁RB,所以分 A=⌀和 A≠⌀两种情况 讨论, ①若A=⌀,此时有2a-2≥a,所以a≥2. ②若A≠⌀,则有 2a-2<a, a≤1. 或 2a-2<a , 2a-2≥2, 所以a≤1.综上所述,a≤1或a≥2. 答案:a≤1或a≥2. 9.解析:(1)由题意得A∩B={x|-1<x<2}∩<{x |x≤x≤1}={x|0≤x≤1}. (2)由题意得A∪B={x|-1<x<2}∪{x|0≤x≤ 1}={x|-1<x<2}. (3)因为A={x|-1<x<2},B={x|0≤x≤1}, 所以∁RA={x|x≤-1或x≥2}, ∁RB={x|x<0或x>1}, 所以(∁RA)∩(∁RB)={x|x≤-1或x≥2}∩{x|x <0或x>1}={x|x≤-1或x≥2}. 10.解析:因为B⊆A,①当B=⌀时,m+1≤2m-1, 解得m≥2. ②当B≠⌀时有 -3≤2m-1, m+1≤4, 2m-1<m+1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得-1≤m<2,综上得m≥-1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —39—