天津市新华中学2024-2025学年高一上学期第一次段考数学试卷

2024-2025学年天津市河西区新华中学高一（上）第一次段考数学试卷 一、单选题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设全集，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 3.命题“，”的否定为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4.已知a，b，c，，则下列不等式中恒成立的是(    ) A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5.设，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.已知，，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.若，，则M、N的大小关系是(    ) A. B. C. 或 D. 8.已知集合，，若，则实数a满足(    ) A. B. C. D. 9.设正实数a，b满足，则(    ) A. 有最小值2 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 10.若正数x，y满足，则的最小值是(    ) A. 4 B. C. 2 D. 11.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是(    ) A. B. C. D. 12.已知命题p：，，命题q：，，若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 13.设集合，若，则______. 14.已知集合，，且，则______. 15.不等式的解集为______. 16.若，，则的取得最小值时，______. 17.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______. 18.已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则实数k的取值范围______. 三、解答题：本题共3小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 已知集合， 当时，求①；②； 若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围； 若，求实数m的取值范围. 20.本小题10分 已知a，，且 Ⅰ求的最小值； Ⅱ求的最大值，并求取得最大值时a，b的取值. 21.本小题10分 设函数 若不等式的解集为，求a，b的值； 若时，，，，求的最小值； 若，求不等式的解集． 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：因为， 所以， 又因为全集， 所以 故选： 利用集合的基本运算求解． 本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题． 2.【答案】D  【解析】解：集合，， 故 故选： 根据已知条件，结合交集的定义，即可求解． 本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 3.【答案】B  【解析】解：命题为全称命题，则命题“，”的否定为， 故选： 根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 4.【答案】D  【解析】解：当，时不成立，故A错； B.当时不成立，故B错； C.当时不成立，故C错； D.不等式两边同时加一个数不等号方向不变，故D正确． 故选： 根据不等式的性质逐一判断即可． 本题考查了不等式的基本性质，属基础题． 5.【答案】B  【解析】解：根据题意，不等式，即，即，解集为； 不等式，即，解集为， 因为，所以“”是“”的必要不充分条件． 故选： 根据题意，找出不等式的解集与的解集的包含关系，进而判断出正确答案． 本题主要考查不等式的解法、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题． 6.【答案】D  【解析】解：根据题意，因为，， 所以，， 所以 故选： 根据题意，由不等式的性质求出，3a的范围，两式相加即可得出答案． 本题考查不等式的性质以及应用，注意不等式加减的性质，属于基础题． 7.【答案】B  【解析】解：， 故选： 作差比较，然后配方即可得出M与N的大小关系． 本题考查了作差比较法的运用，配方法的运用，是基础题． 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查并集及其运算，集合的包含关系判断及应用，本题易错主要是忽略的情况，考查分类讨论思想． 根据A与B的并集为A，得到B为A的子集，分B为空集与不为空集两种情况考虑，分别求出a的范围即可． 【解答】 解：由得，，则或， 当时，即有：，解得， 适合条件，实数a满足：； 当时，且， ①若，表明有两个相等的实根， 则，解得，满足； ②若，表明有两个相等的实根2， 则，解得，满足； ③若，表明有两个的实根和2， 则，，则a不存在； 综上得：所有满足条件的实数a满足 故本题选 9.【答案】B  【解析】解：因为正实数a，b满足， 所以， 当且仅当时取等号，A错误； 因为，当且仅当时取等号， 故，B正确； 因为，当且仅当时取等号，C错误； ，当且仅当时取等号， 故，D错误． 故选： 由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断． 本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题． 10.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查基本不等式及其应用，属于较易题. 由二元换一元，表示出，利用基本不等式求出最小值即可． 【解答】 解：因为， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 故选： 11.【答案】A  【解析】解：时，不等式化为恒成立； 时，应满足，解得； 综上，“，”，实数k的取值范围是 所以命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是选项 故选： 求出“，”时实数k的取值范围，由此得出正确的选项． 本题考查了不等式恒成立的应用问题，是基础题． 12.【答案】C  【解析】解：命题p：为真命题， ， 又，，当且仅当，即时，等号成立， ， 命题q：，，为真命题， ，或， 命题p，q都是真命题， 或 故选： 若命题p为真命题，利用基本不等式求出的最小值即可得到a的取值范围，若命题q为真命题，则由即可求出a的取值范围，再取两者的交集即可． 本题主要考查全称量词命题和特称量词命题，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：若，解得，此时，舍去； 若，解得舍或，经检验符合题意． 故答案为： 根据元素与集合的关系列方程求a即可． 本题考查元素与集合的关系，属于基础题． 14.【答案】0或  【解析】【分析】 本题考查的知识点是集合的相等，难度不大，属于基础题． 根据集合相等确定未知数的等式关系，通过解方程组求解出所求的实数a值．注意元素互异性的应用 【解答】 解：集合，，且， 又根据集合元素的互异性， 所以有或， 解得或， 故或 故答案为：0或 15.【答案】  【解析】解：， ， ，解得：， 故答案为： 移项，通分，合并同类项，根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可． 本题考查了解分式不等式问题，考查转化思想，是一道基础题． 16.【答案】5  【解析】解：因为，， 所以， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的取得最小值时， 故答案为： ，再利用基本不等式计算即可． 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题． 17.【答案】  【解析】解：因为两个正实数x，y满足，所以， 所以， 当且仅当即，时，等号成立． 因为有解，所以，即， 解得或，即实数m的取值范围是 故答案为： 由已知结合基本不等式中“1”的代换求解的最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化，解一元二次不等式即可． 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，还考查了由不等式有解求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题． 18.【答案】  【解析】解：不等式x²的解集为或，不等式²化为 当时，不等式²的解集为，由解集中的整数为，得，解得 当时，不等式²的解集为，由解集中的整数为，得，解得 当时，不等式²的解集为，不符合题意． 综上，实数k的取值范围是 故答案为： 不等式x²的解集为或，不等式²化为，分，，三种情况讨论． 本题考查解一元二次不等式，根据集合的元素特征求参数，属于中档题． 19.【答案】解：当时，，， ①， ②因为或， 所以； 因为集合B为非空集合且， 所以， 又，， 所以，解得， 故实数m的取值范围是 ， 若时， 则，解得，符合题意， 若时， 则，解得， 综上所述，实数m的取值范围是或  【解析】本题主要考查交集，并集及补集运算，考查集合包含关系的应用，属于基础题． ①把代入求出集合B，然后结合集合的并集可求； ②结合集合的交集及补集运算可求； 根据已知条件，推出，即可列出不等式组，即可求解． ，分B是否为空集讨论，并取并集，即可求解． 20.【答案】解：因为a，，且， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4； Ⅱ， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以， 当，即，时，取得最大值  【解析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解； Ⅱ结合完全平方公式及基本不等式可求． 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 21.【答案】解：不等式的解集为， 和3是方程的两个根，且， 由韦达定理可得， 解得， 即， 时，，，即， ， 又，，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值 当时，不等式即，即， ①当时，，解得， ②当时，不等式可化为， 或， ③当时，不等式化为， 若，则， 若，则， 若，则， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为  【解析】由题意可知和3是方程的两个根，再利用韦达定理求解即可． 由时，可得，即，再利用基本不等式求解即可． 当时，不等式可化为，再对a分情况讨论求解集即可． 本题主要考查了含参数的一元二次不等式的解法，考查了基本不等式的应用，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$