福建省长乐第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年福建省福州市长乐一中高一（上）第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.不等式的解集是(    ) A. B. C. 或 D. 或 3.已知实数x，，且，若恒成立，则实数m的取值范围为(    ) A. B. C. D. 或 4.对于任意实数x，用表示不大于x的最大整数，例如：，，，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果为U的是(    ) A. B. C. D. 6.关于x的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是(    ) A. B. C. D. 7.已知不等式的解集为或，则不等式的解集为(    ) A. B. 或 C. D. 或 8.已知，则的最小值为(    ) A. B. 9 C. D. 10 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下面命题正确的是(    ) A. 若x，且，则x，y至少有一个大于1 B. 命题“若，则”的 否 定 是“存在，则” C. 设x，，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设a，，则“”是“”的必要不充分条件 10.若，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 11.已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则且 B. 若，则关于x的不等式的解集也为M C. 若，则关于x的不等式的解集为或 D. 若为常数，且，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，，则的取值范围是______. 13.已知集合，集合，若，则实数a的取值集合为______. 14.定义集合的“长度”是，其中a，已知集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知集合、集合 若，求实数m的取值范围； 设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 16.本小题15分 设函数 若不等式的解集为，求的解集； 若时，，，，求的最小值. 17.本小题15分 已知全集，集合 Ⅰ分别求，； Ⅱ若，求a的取值范围； Ⅲ若，求a的取值范围. 18.本小题17分 已知函数 当时，解关于x的不等式； 若，解关于x的不等式； 若不等式在上有解，求实数m的取值范围. 19.本小题17分 甲、乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在A、B、C、D四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜，甲先取两个容器，余下的两个容器给乙，已知容器A、B的底面积均为，高分别为x，y，容器C，D底面积均为，高分别为x，其中 写出A，B，C，D四个长方体容器的体积、、、； 列举出甲同学从四个容器中取出两个不同容器的所有可能结果先取A再取B与先取B再取A视为相同的取法； 在未能确定x与y大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案即指出甲取哪两个容器一定可以获胜，并说明此方案必胜的理由. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：因为，，所以 故选： 先求解两个集合，再结合两集合交集定义求解答案； 本题主要考查交集的定义，属于基础题． 2.【答案】B  【解析】解：因为不等式，即为， 解得 故选： 根据一元二次不等式的解法求解即可． 本题主要考查了二次不等式的求解，属于基础题． 3.【答案】B  【解析】解：由题设，， 当且仅当时等号成立， 要使恒成立，只需， ， 故选： 应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解即可． 本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题． 4.【答案】A  【解析】解：若，则必有，结合可得， 所以“”是“”的充分条件； 反之，若，取，，可知，即不成立． 因此“”是“”的充分不必要条件，A项符合题意． 故选： 根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可得到本题的答案． 本题主要考查了取整函数的应用、充分必要条件的定义与判断等知识，属于基础题． 5.【答案】D  【解析】解：当时， A：，A不符合题意； B：，B不符合题意； C：，C不符合题意； D：，D正确． 故选： 由已知结合集合的交集，并集及补集运算检验各选项即可判断． 本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，属于基础题． 6.【答案】A  【解析】解：由题意，， 解得， 而可以推出 故选： 先求出关于x的一元二次方程有实数解的充要条件，结合选项得出结论． 本题考查充分必要条件的应用，考查一元二次方程的应用，属于基础题． 7.【答案】C  【解析】解：因为不等式的解集为或， 所以，是的根， 所以，解得，， 不等式， 解得 故选： 由已知结合二次不等式与二次方程的转化关系及方程的根与系数关系先求出a，b，代入到所求不等式即可求解． 本题主要考查了二次方程与二次不等式转化关系的应用，还考查了二次不等式的求解，属于基础题． 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查基本不等式的应用，属于中档题． 根据题意，将变形可得，结合基本不等式可得，即可得答案． 【解答】 解：根据题意，， 则， 变形可得：， 又由，当且仅当，时等号成立， 则有， 设，又由x，，则， 则有， 解可得或， 又由，则， 则的最小值为9； 故选： 9.【答案】ABD  【解析】解：A选项：该命题的否定为：若x，且，则x，y都不大于1，即，，则，所以该命题的否定为假命题，原命题为真命题，故A正确； B选项：命题“若，则”的否定为“存在，则”，故B正确； C选项：则，，则，，则成立，满足充分性，故C错； D选项：当时，ab不一定不等于零，当时，a一定不等于零，所以“”时“”的必要不充分条件，故D正确． 故选： 根据命题的否定和充分条件必要条件判断即可． 本题考查命题的否定，以及充分必要条件的判断，属于基础题． 10.【答案】BCD  【解析】解：若，则， 所以，A错误； 由可得，B正确； 因为， 所以， 即，C正确； 由可得，， 所以，D正确． 故选： 由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断． 本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题． 11.【答案】ACD  【解析】解：A选项，若，即一元二次不等式无解， 则一元二次不等式恒成立， 且，故A正确； B选项，令，则、、， 可化为， 当时，可化为，其解集不等于M，故B错误； C选项，若， 则，且和2是一元二次方程的两根， ，且， ，， 关于x的不等式可化为， 可化为，， ，解得或， 即不等式的解集为或，故C正确； D选项，为常数， 且，， ，，令，则， ， 当且仅当，则，且a为正数时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确． 故选： A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令，当时，不等式的解集不为M，B不正确；C项，根据M求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据M得到且，将代入，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得． 本题主要考查了一元二次不等式的求解，基本不等式求解最值，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解：，， 又， ， 即的取值范围是 故答案为： 利用不等式的性质求解． 本题主要考查了不等式的性质，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：因为集合，集合， 若，则， 当时，有，解得； 当时，有，解得； 当时，有且，方程组无解； 当时，，方程组无解； 综上可得，实数a的取值集合为 故答案为： 由可得，由N的可能结果，分类讨论求实数a的取值范围． 本题主要考查了集合包含关系的应用，属于中档题． 14.【答案】  【解析】解：集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得， 由，可得， 易知集合的“长度”的最小值 故答案为： 根据集合间的运算相关知识可解． 本题考查集合间的运算相关知识，属于中档题． 15.【答案】解：由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，或，解得， 综上所述，实数m的取值范围为； 命题p是命题q的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集， 当时， 可得，解得， 当时，由可得 综上所述，实数m的取值范围为  【解析】分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； 根据充分不必要条件，和两种情况讨论，即可求解． 本题考查了必要不充分条件的判断，属于基础题． 16.【答案】解：若不等式的解集为，求 所以，是当的两根且， 故，解得，， 故， 解得，即解集为； 若时，，，， 则，，， 则， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为  【解析】根据二次不等式与二次方程的转化关系及方程的根与系数关系可求a，b，进而可求不等式的解集； 由已知可得，然后利用乘1法，结合基本不等式可求． 本题主要考查了二次方程与二次不等式转化关系的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题． 17.【答案】解：Ⅰ集合 ，或， 或； Ⅱ，， ①当时，，， ②当时，则， 解得， 综上所述，a的取值范围为； Ⅲ若， ①当时，，， ②当时，或， 或， 综上所述，若，则a的取值范围为， 所以若，则a的取值范围  【解析】Ⅰ先求出集合A，B，再利用集合的基本运算求解； Ⅱ由可得，分和两种情况讨论，分别求出a的取值范围，最后取并集即可； Ⅲ先求出时a的取值范围，再取补集即可． 本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的包含关系，以及集合的基本运算，属于中档题． 18.【答案】解：当时，， 解得，， 故不等式的解集为； 由可得，，， 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； 若在上有解， 则在上有解， 故，即在上有解， 由，得， 故， 令，则， ，当且仅当时取等号， 所以  【解析】把代入，结合二次不等式的求法即可求解； 结合二次不等式的求法对m的范围进行分类讨论即可求解； 结合存在性问题与最值关系的转化及基本不等式即可求解． 本题主要考查了二次不等式的求解，还考查了存在性问题与最值关系的转化，属于中档题． 19.【答案】解：，B，C，D的体积分别为，，，， 因为容器A、B的底面积均为，高分别为x，y，容器C，D底面积均为， 则，，， 甲从A，B，C，D中任选2个，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种可能． 当时，则，即 则，，即甲取BD，CD均不能够稳操胜券； 当时，则， 即， 则，， 即甲取AC，AB均不能稳操胜券； 若甲先取AD，则：， 即， 即甲先取AD能够稳操胜券，选BC不能够稳操胜券， 综上所述：甲必胜的方案：甲选  【解析】直接利用长方体体积公式求解即可； 直接写出各种可能情况即可； 按照x，y的大小关系，分情况结合不等式的性质以及作差法分析判断．比较大小即可． 本题主要考查了不等式性质在实际问题中的应用，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$