精品解析：2024-2025学年北师大版数学上册九年级期中复习预测题（1）

北师大版期中复习预测题 九年级数学试题（1-3章） 考试时间∶120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1. 有两辆车按编号，张、李两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐号车概率是（ ） A. B. C. D. 2. 方程和方程的所有实数根之积为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 如图，正方形的边长为2，为与点不重合的动点，以为边向下作正方形．则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 关于的方程，其中a，b，c满足且，则该方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是菱形 B. 若，则是正方形 C. 若，则是矩形 D. 若，则是正方形 6. 用配方法解方程时，若配方后结果为，则值为（ ） A. B. 13 C. D. 7 7. 如图，菱形的对角线相交于点O．若，则（　） A B. C. D. 8. 如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段长 D. 线段的长 9. 流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在一张矩形纸片ABCD中，，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为；④当点H与点A重合时，．以上结论中，其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 菱形两对角线长分别为24和10，则该菱形的面积为______． 12. 若m为二次方程的一个根，则的值为__________． 13. 某班的一个数学兴趣小组为了考察某条斑马线前驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员在这条斑马线前能主动给行人让路的概率约是______（结果保留小数点后一位）． 排查车辆数 20 40 100 200 400 1000 能礼让的车辆数 15 32 82 158 324 800 能礼让的频率 14. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是______． 15. 如图，矩形中，，E为的中点，F为上一动点，P为中点，连接，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. 按要求解下列一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（因式分解法）． 17. 如图，在正方形中，为上任意一点，于，于，试说明：． 18. 先化简，再求值：，其中x是方程的解． 19. 如图，矩形对角线相交于点O，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）判断方程根的情况； （2）设，是方程的两个根，求的值． 21. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，若四边形是矩形，交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 22. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 （1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ； （2）表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）； （3）如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率． 23. 阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下 ， ， ． 因此，该式有最小值1． ②已知：将其变形，，，可得． （1）按照上述方法，将代数式变形为的形式； （2）若，用配方法求的最小值； （3）已知、、是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由． 24. 某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元． （1）填表（不需化简） 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 60×20 提价后 　　 　　 　　 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用） 25. 如图1，在正方形ABCD中，E为CB延长线上的一点，且，M、N分别为AE、BC的中点，连接DE交AB于点O，交MN于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，过点A作AP垂直ED于点P，连接BP，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版期中复习预测题 九年级数学试题（1-3章） 考试时间∶120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1. 有两辆车按编号，张、李两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐号车的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，画出树状图，求出总的结果数和两位老师同坐号车的结果数，利用概率公式计算即可求解，掌握列表法或树状图法是解题的关键． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可得，共有种等可能的结果，其中两位老师同坐号车的结果数为， ∴两位老师同坐号车的概率是， 故选：． 2. 方程和方程的所有实数根之积为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先判断方程的根的情况，再利用根与系数关系定理解答即可． 本题考查了根的判别式，根与系数关系定理，熟练掌握判别式和定理是解题的关键． 【详解】解：∵方程，， ∴， ∴该方程没有实数根， ∵方程，， ∴， ∴有两个不相等的实数根． 设方程的两个实数根分别是，， ∴， 故选：B． 3. 如图，正方形的边长为2，为与点不重合的动点，以为边向下作正方形．则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理，连接、、，证可得，进而得到，勾股定理求出的长，即得最小值； 【详解】解：如图，连接、、、， ∵正方形和正方形， ∴，， ∴， 在和中， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴的最小值为 故答案为：． 4. 关于方程，其中a，b，c满足且，则该方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解定义，根据已知条件可知当和当时，均成立，再由一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值即可得到答案． 【详解】解：当时，，当时，， ∵a，b，c满足且， ∴当和当时，均成立， ∴该方程的根是，， 故选：C． 5. 如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是菱形 B. 若，则是正方形 C. 若，则是矩形 D. 若，则是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和正方形以及菱形的判定，熟练掌握矩形和正方形以及菱形的判定定理是解题的关键． 根据矩形和正方形以及菱形的判定定理逐项判断，即可解答． 【详解】解：A、邻边互相垂直的平行四边形不一定是菱形，故A错误，不符合题意； B、因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B错误，不符合题意； C、若，则是矩形，故C正确，符合题意； D、因为邻边相等的平行四边形是菱形，故D错误，不符合题意； 故选：C． 6. 用配方法解方程时，若配方后结果为，则值为（ ） A. B. 13 C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法解方程，代数式求值等．根据题意先给配方求出的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即：， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，菱形的对角线相交于点O．若，则（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，由菱形的性质得，再证明，则，然后由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出一元二次方程的解为或8，然后由矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求出，进而得到，即可求解． 【详解】 或 解得或8 ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴． ∴方程的正数解是线段的长． 故选：C． 9. 流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了了一元二次方程的应用，根据题意设出未知数，用含x的式子表示出两轮传染后患病人数，列出方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后有人患流感，第二轮后有人患流感， 由题意得． 故选：C 10. 如图，在一张矩形纸片ABCD中，，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为；④当点H与点A重合时，．以上结论中，其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先根据翻折的性质可得CF＝FH，∠HFE=∠CFE，可证△FEH是等腰三角形，可得HE=HF=FC，判断出四边形CFHE是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时CE平分∠DCH，判断出②错误；过点F作FM⊥AD于M，点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=FM=MD＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确． 【详解】解：∵将纸片ABCD沿直线EF折叠， ∴FC=FH，∠HFE=∠CFE， ∵AD∥BC， ∴∠HEF=∠EFC=∠HFE，HE∥FC， ∴△HFE为等腰三角形， ∴HE=HF=FC， ∵EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分， ∴EH∥CF，且HE=FC， ∴四边形CFHE是平行四边形， ∵FC=FH， ∴四边形CFHE是菱形，故①正确； ∵HC为菱形的对角线， ∴∠BCH＝∠ECH，∠BCD=90°， ∴只有∠DCE＝30°时CE平分∠DCH，故②错误； 过点F作FM⊥AD于M， 点H与点A重合时，BF最小，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x， 在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2， 即42+x2＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， 点G与点D重合时，点H与点M重合，BF最大，CF=FM=DM＝CD＝4， ∴BF＝4， ∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确； 当点H与点A重合时，由③中BF=3， ∴AF=AE=CF=EC=8-3=5， 则ME＝5﹣3＝2， 由勾股定理得， EF＝＝2，故④错误； 综上所述，结论正确的有①③共2个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形折叠性质，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握矩形折叠性质，菱形的判定与性质，勾股定理是解题关键． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11. 菱形两对角线长分别为24和10，则该菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，熟记菱形的面积公式是解本题的关键，已知菱形的两条对角线的长，即可计算菱形的面积， 【详解】解：∵菱形两对角线长分别为24和10， 菱形的面积为． 故答案为： 12. 若m为二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵m为二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13. 某班的一个数学兴趣小组为了考察某条斑马线前驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员在这条斑马线前能主动给行人让路的概率约是______（结果保留小数点后一位）． 排查车辆数 20 40 100 200 400 1000 能礼让的车辆数 15 32 82 158 324 800 能礼让的频率 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得：能主动给行人让路的频率稳定在的附近，再由频率估计概率，即可求解． 【详解】解：根据题意得：能主动给行人让路的频率稳定在的附近， ∴能主动给行人让路的概率约是． 故答案为： 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 14. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，E为的中点，F为上一动点，P为中点，连接，则的最小值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 当点F与点C重合时，点P在处，， 当点F与点E重合时，点P在处，， ∴且． 当点F在上除点C、E的位置处时，有． 由中位线定理可知：且． ∴点P的运动轨迹是线段， ∴当时，取得最小值． ∵矩形中，，为的中点， ∴、、为等腰直角三角形，． ∴，． ∴． ∴． ∴，即， ∴的最小值为的长． 在中，， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的最值问题，中位线定理，勾股定理以及矩形的性质等知识，解题的关键是找出点P的运动轨迹． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. 按要求解下列一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（因式分解法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，进而解方程即可； （2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 17. 如图，在正方形中，为上任意一点，于，于，试说明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及矩形的判定与性质．根据条件可以得到四边形是矩形，因而，同时证是等腰直角三角形，因而，则． 【详解】证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ∴， 又， 四边形是矩形； ， 又， ， ． 18. 先化简，再求值：，其中x是方程的解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，先根据分式的混合运算法则，进行化简，因式分解法解一元二次方程，选择使分式有意义的解代入计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， 解得：， ∵， ∴， ∴当时，原式． 19. 如图，矩形的对角线相交于点O，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由得到四边形是平行四边形，由矩形的性质得到，，从而得证结论； （2）易证是等边三角形，得到，，从而求得，进而根据含角的直角三角形的性质与勾股定理求得．过点E作交延长线于点，在中，根据含角的直角三角形的性质求出，根据三角形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵在矩形，， ∴， ∴， ∴在中，， 过点E作交延长线于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，等边三角形的判定及性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，综合运用相关知识是解题的关键， 20. 已知关于的一元二次方程． （1）判断方程根的情况； （2）设，是方程的两个根，求的值． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根 （2） 【解析】 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，由，然后代入求解即可； 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． 【小问1详解】 解：由整理得：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 由（）得：， ∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 21. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O，若四边形是矩形，交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的判定和性质： （1）先证明四边形是平行四边形，矩形的性质得到，即可得证； （2）根据矩形的性质，结合含30度角的直角三角形的性质，求出的长，利用菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积 22. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 （1）补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ； （2）表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）； （3）如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】（1），见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，计算甲快递公司在配送速度为9的人数可补全频数直方图，利用圆心角计算公式计算即可． （2）根据中位数与方差的定义即可求解； （3）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出A，B，C三家农产品种植户选择同一快递公司的结果数，然后利用概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法，方差、中位数，直方图．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析和求概率． 【小问1详解】 解：根据频数之和等于样本容量， 得甲快递公司在配送速度为9的人数为：（人） 补全频数直方图如下： 根据题意，得． 【小问2详解】 解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10．一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8， 故中位数， 故答案为：． 根据题意，得 ． 得 ． ， 故答案为：． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果， ∴三家种植户选择同一快递公司的概率为． 23. 阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下 ， ， ． 因此，该式有最小值1． ②已知：将其变形，，，可得． （1）按照上述方法，将代数式变形为的形式； （2）若，用配方法求的最小值； （3）已知、、是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由． 【答案】（1） （2）的最小值是5 （3）是等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形运用，整式的混合运算，非负性，等边三角形的判定和性质， （1）根据材料提示的配方法即可求解； （2）运用配方法及非负性即可求解； （3）运用分组配方法可得，根据非负性可得，由此即可求解． 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 解： ∴ ， 所以，的最小值是； 【小问3详解】 解：是等边三角形： ， ， ， 是等边三角形； 24. 某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元． （1）填表（不需化简） 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 60×20 提价后 　　 　　 　　 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用） 【答案】（1）60﹣；200+x；（60﹣）×20（2）300元 【解析】 【分析】（1）住满为60间，x表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量=60﹣房间空闲个数，列出代数式； （2）用：每天的房间收费=每间房实际定价×入住量，每间房实际定价=200+x，列出方程． 【详解】（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为， ∴入住的房间数量=60﹣，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣）×20． 故答案是：60﹣；200+x；（60﹣）×20； （2）依题意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000， 整理，得 x2﹣420x+32000=0， 解得x1=320，x2=100． 当x=320时，有游客居住的客房数量是：60﹣=28（间）． 当x=100时，有游客居住的客房数量是：60﹣=50（间）． 所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300（元）． 答：每间客房的定价应为300元． 25. 如图1，在正方形ABCD中，E为CB延长线上的一点，且，M、N分别为AE、BC的中点，连接DE交AB于点O，交MN于点H． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，过点A作AP垂直ED于点P，连接BP，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用ASA证明即可； （2）延长BC至F，且使，连接AF、DF，利用SAS证明，得出，由MN为的中位线得，利用平行线的性质即可证明； （3）过点B作交DE于Q，利用ASA证明，推出，，即可证明是等腰直角三角形，则． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴（ASA）， ∴； 【小问2详解】 证明：延长BC至F，且使，连接AF、DF，如图1所示： 则， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，，， 和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵，， ∴N为EF的中点， ∴MN为的中位线， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：过点B作交DE于Q，如图2所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 由角的互余关系得：， ∴， 在和中， ， ∴（ASA）， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、三角中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，第3问有一定难度，正确作辅助线，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$