河南省郑州市第七高级中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年河南省郑州七中高一（上）第一次月考数学试卷✥ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集，集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.下列各组函数表示同一函数的是(    ) A. B. ， C. D. 3.已知命题p：若p是假命题，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.“”是“关于x的方程有实数根”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    ) A. B. C. D. 6.若函数，则在上的最大值与最小值之和为(    ) A. B. C. 0 D. 7.函数为偶函数，且对任意，都有，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 8.若x，，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的的是(    ) A. 若则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是(    ) A. B. C. D. 11.已知函数，下列命题正确的是(    ) A. 的值域为R B. ， C. 若函数在上单调递减，则a的取值范围为 D. 若在R上单调递减，则a的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设函数，则______. 13.已知集合，若，则实数a的值为__________. 14.已知函数，，a为常数，若对于任意，，且，都有 ，则实数a的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知集合，， ； 若，求实数m的取值范围. 16.本小题15分 2020年11月22日，习近平在二十国集团领导人利雅得峰会“守护地球”主题会议上指出，根据“十四五”规划和2035年远景目标建议，中国将推动能源清洁低碳安全高效利用，加快新能源、绿色环保等产业发展，促进经济社会发展全面绿色转型．淮安某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设到第n年底，该项目的纯利润为纯利润=累计收入-总维修保养费一投资成本 写出的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利； 若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案： ①年平均利润最大时，以72万元转让该项目； ②纯利润最大时，以8万元转让该项目； 你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？并说明理由． 17.本小题15分 已知函数 若不等式 的 解集为，求的值； 若对任意的恒成立，求实数a的取值范围. 18.本小题17分 已知函数是定义在上的奇函数，且 求函数的解析式； 判断函数在上的单调性，并用定义证明； 解不等式 19.本小题17分 设，函数 若时，解不等式； 若，求的单调区间； 若函数的图象关于点对称，且对于任意的，不等式恒成立，求实数m的范围. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：根据题意，集合，，则， 又由全集，则； 故选： 根据题意，求出，由补集的定义计算可得答案． 本题考查集合的混合运算，注意集合交并补的定义，属于基础题． 2.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数． 分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，如果一致，则为同一函数，否则不是同一函数． 【解答】 解：的定义域为R，而的定义域为所以定义域不同，所以A不是同一函数． B.的定义域为R，而的定义域为，所以定义域不同，所以B不是同一函数． C.因为，所以两个函数的定义域和对应法则一致，所以C表示同一函数． D.的定义域为R，而的定义域为，所以定义域不同，所以D不是同一函数． 故选 3.【答案】D  【解析】解：若p是假命题，则是真命题，即恒成立， 则，， 由于，当且仅当时等号成立， 所以 故选： 根据是真命题列不等式，分离参数a，利用基本不等式求得a的取值范围． 本题主要考查了存在量词命题的真假关系的应用，属于基础题． 4.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用一元二次方程有根的条件求出a的取值范围是解决本题的关键，是基础题． 求出方程有实根的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】 解：当时，方程等价为，得，满足方程有实数根； 当时，要使方程有实数根，则判别式，得且，综上； 则“”是“关于x的方程有实数根"的充分不必要条件， 故选： 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了抽象函数的定义域问题，属于基础题． 根据函数的定义域，列出使函数有意义的不等式组，求出解集即可． 【解答】 解：已知函数的定义域为， 则函数的定义域需满足， 解得 即函数的定义域为， 故选 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查函数的最值，利用二次函数单调性是解决本题的关键．属于基础题. 首先利用换元法求出的解析式，再利用二次函数的性质求最值即可求解. 【解答】 解：令，则， 所以， 所以，开口向下，对称轴为， 又 所以， ， 所以在上的最大值与最小值之和为， 故选： 7.【答案】C  【解析】【分析】 根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可． 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键．是个中档题． 【解答】 解：对任意，都有， 当时，为增函数， 为偶函数， 不等式等价为不等式， 即，得，得，得， 即不等式的解集为， 故选： 8.【答案】B  【解析】解：令，， 因为， 所以， 则 ， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为 故选： 令，，则，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题． 9.【答案】BD  【解析】解：当时，，故A错误； 因为，所以，所以，故B正确； 当，，，时，，故C错误； ， 又，，所以，所以，故D正确． 故选： 利用特值可判断A错误，C错误；由不等式的性质可判断B正确；作差比较可判断D正确． 本题主要考查不等式的性质，属于基础题． 10.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查了函数的新定义问题，考查了解方程，同时考查了学生的计算能力． 逐个分析选项，解方程，若方程有解，则函数为“不动点”函数，否则函数不是“不动点”函数， 【解答】 解：对于选项A：当时，，方程无解，所以函数不是“不动点”函数， 对于选项B：当时，解得或，所以函数是“不动点”函数， 对于选项C：当时，，解得；当时，，方程无解，所以函数是“不动点”函数， 对于选项D：当时，解得，所以函数是“不动点”函数， 故选： 11.【答案】BCD  【解析】解：当时，， 当时，， 所以，，故B正确，A错误； 若函数在上单调递减，则a的取值范围为故C正确； 若在R上单调递减，则， 解得，可得a的取值范围为故D正确． 故选： 由已知结合二次函数及分段函数的值域可判断AB；由二次函数的性质可判断C；由分段函数的单调性可判断 本题考查分段函数的性质及应用，考查运算求解能力，是中档题． 12.【答案】  【解析】解：根据题意，函数，则 故答案为： 根据题意，由函数的解析式计算可得答案． 本题考查函数值的计算，涉及函数的解析式，属于基础题． 13.【答案】0或  【解析】【分析】 本题主要考查元素与集合的关系，集合元素的互异性，属于基础题． 由，可得，或，或，求出a值，并利用集合中元素的互异性验证即可得结论． 【解答】 已知集合，若， 则，或，或， 当时，解得，此时集合，满足集合中元素的互异性； 当时，解得，此时集合，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，或舍去，此时集合，满足集合中元素的互异性． 综上可得或 故答案为0或 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查恒成立问题，函数的单调性问题，属于中档题． 构造函数，利用的单调性即可求出a的取值范围. 【解答】 解：对于任意，，且，都有， 即， 令，即，只需在单调递增即可， 当时，，图象恒过点， 当时，， 当时，， 要使在单调递增， 则当时，的对称轴，即， 当时，的对称轴，即， 故， 故答案为： 15.【答案】解：由题设或，且， 所以 若，则， 当时，，即； 当时，，解得， 综上所述，m的取值范围为  【解析】利用集合交、补运算求集合； 由题设，讨论、分别求参数范围，即可得答案． 本题主要考查了集合的交集及补集运算，还考查了集合包含关系的应用，属于基础题． 16.【答案】解：由题意可知为正整数， 令得， 解得， 所以从第3年起开始盈利． 若选择方案①，设年平均利润为， 则 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当时，取得最大值32， 此时共盈利为万元； 若选择方案②，纯利润， 所以当时，纯利润取得最大值256， 此时共盈利为万元， 若该公司6年后投资其他项目，确定盈利则选择方案①， 若该公司6年后投资其他项目，确定亏损则选择方案②， 事实上，投资任何一个项目都有风险，并不一定年限少，盈利就多，就更有利于公司的发展．  【解析】本题主要考查了函数的实际应用，考查了二次函数的性质，以及基本不等式的应用，属于中档题． 由纯利润=累计收入-总维修保养费一投资成本可得，令求出n的取值范围，即可得到第3年起开始盈利． 若选择方案①，设年平均利润为，则，利用基本不等式可求出的最大值，以及此时的总盈利，若选择方案②，利用二次函数的性质可求出的最大值，以及此时的总盈利，再做比较即可． 17.【答案】解：原不等式可化为，因为该不等式解集为， 可知的两根为和3， 则，即，故解得； 若对任意的恒成立， 所以对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立，所以， 又因为，， 当且仅当，即时取等号，所以， 所以实数a的取值范围是   【解析】本题考查解含参的一元二次不等式，一元二次不等式存在性或恒成立问题 根据一元二次不等式的解、根与系数关系求得 利用分离常数法，结合基本不等式求得a的取值范围. 18.【答案】解：函数是定义在上的奇函数， 则，即， 因为，解得， 则，经检验，是奇函数． 在上为增函数，证明如下： 设，则， 由于，则，，即， 又， 则有，则在上是增函数． 由题意可得，在上为单调递增的奇函数， 由可得， 所以， 解得，， 故t的范围为  【解析】由已知结合奇函数的性质即可求解a，b，进而可求函数解析式； 设，然后利用作差法比较与的大小即可判断． 本题主要考查了函数解析式的求解及函数单调性的判断，属于中档题． 19.【答案】解：若时，， 不等式或， 解得或， 所以， 即不等式的解集为 由题设， 所以的图象如下： 由图知：在上递减，在上递增， 所以单调递减区间为；单调递增区间为 由的图象关于点对称，即关于原点对称， 所以为奇函数，则， 所以，即在上恒成立， 所以，故， 则，故， 所以，则恒成立， 由， 令，结合对勾函数的单调性知在上单调递增， 所以，故， 综上，，即m的取值范围是  【解析】将写出分段函数性质，结合一元二次不等式的解法求解即可； 将写出分段函数性质，结合二次函数性质画出的图象，数形结合判断单调区间即可； 由题意知为奇函数，结合奇函数性质求得，进而有，则，将问题化为在恒成立，再由及对勾函数性质求右侧最大值，即可得参数的范围． 本题考查含绝对值的函数的性质，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$