2.7 角的和与差（第1课时 角的和与差及角平分线）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（冀教版2024）

冀教版（2024）七年级数学上册 第二章 几何图形的初步认识 2.7 角的和与差 第一课时 角的和与差及角平分线 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 结合具体图形，了解两个角的和与差的意义,并会进行角的和差运算，发展运算能力. 2. 了解角平分线的概念及其表示方法，通过折纸活动进一步理解角平分线的意义,积累数学活动经验,发展推理能力. 新知探究 两个角可以比较大小，也可以求出它们的和与差. 如图2.7-1，在∠AOB的内部画射线OC.那么，∠AOB，∠AOC，∠COB 之间有如下关系: ∠AOB=∠AOC+∠COB, ∠AOC=∠AOB-∠COB, ∠COB=∠AOB-∠AOC. 这就是用两个角的和与差表示第三个角. 有一种特殊的情况：如果从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫作这个角的角平分线. 新知探究 如图2.7-2，如果∠AOP=∠BOP，那么射线OP是∠AOB的平分线. 反之，如果射线OP是 ∠AOB的平分线，那么∠AOP=∠BOP. 概念归纳 有一种特殊的情况：如果从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫作这个角的角平分线. 请按下列步骤操作: (1)在半透明纸上画出∠AOB; (2)折纸，使角的两边重合; (3)把纸展开,以O为端点，沿折痕画射线OP. 做一做 射线OP是∠AOB的平分线吗? 说说理由. 解：射线OP是∠AOB的平分线.因为折纸操作过程就是把一个角分成两个完全重合的角，因此这两个角相等，沿折痕所画射线就是角平分线. 分层练习-基础 知识点1 角的和差 1. 如图. (第1题) (1)∠ AOB ＝∠ AOD ＋ ＝ ＋∠ BOC ； ∠ BOD 　 ∠ AOC 　 (2)∠ BOD －∠ BOC ＝ ⁠. ∠ DOC 　 3. 计算： (1)90°－28°12'36″； 【解】原式＝89°59'60″－28°12'36″＝61°47'24″. (2)180°－56°23'48″. 【解】原式＝179°59'60″－56°23'48″＝123°36'12″. 知识点2 角的平分线 4. [新考法·定义辨析法]如图， AM 为∠ BAC 的平分线，下列等式中，错误的是(　C　) A. ∠ BAC ＝∠ BAM B. ∠ BAM ＝∠ CAM C. ∠ BAM ＝2∠ CAM D. 2∠ CAM ＝∠ BAC 【点拨】 因为 AM 为∠ BAC 的平分线，所以∠ CAM ＝∠ BAM ＝ ∠ BAC ，所以错误的等式是∠ BAM ＝2∠ CAM ，故选C. C 【答案】 5. [2023·乐山]如图，点 O 在直线 AB 上， OD 是∠ BOC 的平 分线，若∠ AOC ＝140°，则∠ BOD 的度数为 ⁠. (第5题) 20°　 知识点3 角的运算 6. 如图，点 O 在直线 AB 上，射线 OC 平分∠ BOD ，若∠ COB ＝35°，则∠ AOD 等于(　C　) A. 35° B. 70° C. 110° D. 145° (第6题) 【点拨】 C 因为 OC 平分∠ BOD ，所以∠ BOD ＝2∠ COB ＝2×35°＝70°，所以∠ AOD ＝180°－70°＝110°，故选C. 【答案】 7. [新考法·方程思想]如图，已知∠ AOC ∶∠ AOB ＝1∶5， OD 平分∠ AOB ，且∠ COD ＝36°，求∠ AOB 的度数. 【解】设∠ AOC ＝ x °，则∠ AOB ＝5 x °. 因为 OD 平分∠ AOB ， 所以∠ BOD ＝∠ AOD ＝ ∠ AOB . 所以 x ＋36＝ x .解得 x ＝24. 所以∠ AOB ＝120°. 易错点 对没有给出图形的题目考虑不全而漏解 8. [新考法·分类讨论法]已知∠ AOB ＝70°，以 O 为端点作 射线 OC ，使∠ AOC ＝42°，则∠ BOC 的度数为(　C　) A. 28° B. 112° C. 28°或112° D. 68° C 分层练习-巩固 利用分类讨论求角的度数 9. [2024·唐山路北区期末]如图，点 O 为直线 AB 上一点，∠ BOC ＝130°， OM 平分∠ AOC . (1)求∠ AOM 的度数； 【解】因为∠ AOB ＝180°，∠ BOC ＝130°， 所以∠ AOC ＝∠ AOB －∠ BOC ＝50°. 因为 OM 平分∠ AOC ，所以∠ AOM ＝ ∠ AOC ＝25°. (2)作射线 OP ，若∠ BOP 与∠ AOM 的和为90°，求∠ COP 的度数. 【解】因为∠ BOP 与∠ AOM 的和 为90°，∠ AOM ＝25°， 所以∠ BOP ＝90°－∠ AOM ＝65°. 当射线 OP 在∠ BOC 内部时，如图①， 则∠ COP ＝∠ BOC －∠ BOP ＝130°－65°＝65°； 当射线 OP 在∠ BOC 外部时，如图②， 则∠ AOP ＝180°－∠ BOP ＝180°－65°＝115°， 所以∠ COP ＝∠ AOP ＋∠ AOC ＝115°＋50°＝165°. 综上，∠ COP 的度数为65°或165°. 利用整体思想求角的度数 10. [2024·长沙明德中学模拟]如图， O 是直线 AB 上一点， OM 平分∠ AOC ， ON 平分∠ BOC . (1)你能求出∠ MON 的度数吗？你能得出什么结论？ 【解】由角平分线的定义可知∠ MOC ＝ ∠ AOC ，∠ NOC ＝ ∠ BOC . 因为∠ MON ＝∠ MOC ＋∠ NOC ， 所以∠ MON ＝ ∠ AOC ＋ ∠ BOC ＝ (∠ AOC ＋∠ BOC )＝ ×180°＝90°.结论：∠ MON 的度数恒为90°，和射线 OC 的位置无关. (2)如果∠ AOM ＝51°17'，求∠ BON 的度数. 【解】∠ BON ＝∠ AOB －∠ AOM －∠ MON ＝180°－51°17' －90°＝38°43'. 分层练习-拓展 利用类比法探求角的关系 11. [新考法·类比推理法]如图①，已知线段 AB ＝30 cm， CD ＝4 cm，线段 CD 在线段 AB 上运动， E ， F 分别是 AC ， BD 的中点. (1)若 AC ＝8 cm，则 EF ＝ cm； 17　 (2)当线段 CD 在线段 AB 上运动时， EF 的长度是否发生变化？如果不变，请求出 EF 的长度；如果变化，请说明理由. 【解】EF 的长度不变. 因为 E ， F 分别是 AC ， BD 的中点， 所以 EC ＝ AC ， DF ＝ DB . 所以 EF ＝ EC ＋ CD ＋ DF ＝ AC ＋ CD ＋ BD ＝ ( AC ＋ BD )＋ CD ＝ ( AB － CD )＋ CD ＝ ( AB ＋ CD )＝17 cm. (3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠ COD 在∠ AOB 内部转动， OE ， OF 分别平分∠ AOC 和∠ BOD ，则∠ EOF ，∠ AOB 和∠ COD 之间有何数量关系？给出理由. 【解】∠ EOF ＝ (∠ AOB ＋∠ COD ). 理由：因为 OE ， OF 分别平分∠ AOC 和∠ BOD ， 所以∠ COE ＝ ∠ AOC ，∠ DOF ＝ ∠ BOD ， 所以∠ EOF ＝∠ COE ＋∠ COD ＋∠ DOF ＝ ∠ AOC ＋∠ COD ＋ ∠ BOD ＝ (∠ AOC ＋∠ BOD )＋∠ COD ＝ (∠ AOB －∠ COD )＋∠ COD ＝ (∠ AOB ＋∠ COD ). 课堂小结 角的 和与差 角的和与差 如果一个角的度数是另两个角的度数的和,那么这个角就叫作另两个角的和． 如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差． 如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成的两个角相等，那么这条射线叫作这个角的角平分线. 角的平分线 角的计算 $$