精品解析：贵州省贵阳市新世界国际学校2024—2025学年第一次月考九年级数学测试卷

贵阳市新世界学校2024—2025学年度第一学期自我检测九年级数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 甲骨文是我国目前发现最早的文字，其显著特点是图画性强，下列甲骨文图画是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 截至2023年底，贵州中药种植面积约5300平方千米，种植面积居全国第二，将数据5300用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 小星参加学校举行的十佳歌手比赛，7位评委给他打分得到一组数据，为了比赛更加公平，这组数据要去掉一个最高分和一个最低分得到一组新数据，比较两组数据．一定不会发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5. 在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余均相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中的总球数大约是（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 6. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点F，G，再分别以F，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点H，作射线，交边于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 小红用四根相同长度的木条制作了一个四边形学具（如图①），测得其对角线的长为，．根据四边形的不稳定性，她将其变成了另一个四边形学具（如图②），使，则图②中对角线的长为（ ） A. B. C. 6 D. 9. 用配方法解方程，将其化为的形式，则的值为（ ） A. 15 B. 7 C. －1 D. 1 10. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 11. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（　　） A. B. C. D. 2 12. 如图，在正方形ABCD内有一点F，连接AF，CF，有，若的角平分线交BC于点E，若E为BC中点，，则AD的长为（ ） A. B. 4 C. D. 2.5 二、填空题（本大题共4小题，共16分） 13. 方程的根为____． 14. 在平面直角坐标系中，已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为____________． 15. 设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于_____cm． 16. 如图，在正方形中，，点E，F分别为上一点，且，连接，则的最小值为___________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 钢城区某学校在本校开展了四项“课后服务”项目(项目A：足球；项目B：篮球；项目C：跳绳；项目D：书法)，要求每名学生必须选修且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次问卷调查中，一共调查了 名学生； （2）请将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中 ，D所对的圆心角为 度； （4）学校拟对选修项目为D的同学进行培训，若该校有2000名学生，请通过计算估计该校需要培训的学生人数． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称． （1）求证：△AEF是等边三角形； （2）若AB=2，求△AFD的面积． 20. 如图，在中，平分，平分，，，交于点O． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若过点E作交于点G，画出线段，判断线段与的数量关系，并说明理由． 21. 某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品． （1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？ （2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？ 22. 某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙．     （1）为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 23. 一次函数的图象与的图象交于点，且点的横坐标为，与轴、轴分别交于点、点． （1）求的值与的长； （2）若点为线段上一点，且，求点的坐标． 24. 阅读下面的材料： 解方程x4﹣5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常采用换元法降次：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y1＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y2＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2 仿照上述换元法解下列方程： （1）x4＋3x2﹣4＝0 （2）． 25. 如图，在等腰△ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不B、C重合），以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF． 【猜想】如图①，当点D在线段BC上时，直接写出CF、BC、CD三条线段的数量关系． 【探究】如图②，当点D在线段BC的延长线上时，判断CF、BC，CD三条线段的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A、F分别在直线BC两侧，AE．DF交点为点O连接CO，若，，则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市新世界学校2024—2025学年度第一学期自我检测九年级数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】按照有理数减法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数减法，解题关键是熟练运用有理数减法法则进行准确计算． 2. 甲骨文是我国目前发现最早的文字，其显著特点是图画性强，下列甲骨文图画是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据定义“平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形”逐项判断即可． 【详解】解：A，不是轴对称图形，不合题意； B，是轴对称图形，符合题意； C，不是轴对称图形，不合题意； D，不是轴对称图形，不合题意； 故选B． 3. 截至2023年底，贵州中药种植面积约5300平方千米，种植面积居全国第二，将数据5300用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．熟练掌握科学记数法的定义是解决问题的关键．科学记数法的定义：把一个数表示为的形式（其中，n为整数），这种记数方法叫做科学记数法，当表示的数的绝对值大于10时，，n为正整数，n的值等于原数的整数部分的位数减1；当表示的数的绝对值小于1时，，n为负整数，n的值等于原数的第一个非0数字前面所有0（包括小数点前面的那个0）的个数的相反数． 根据科学记数法的表现形式解答即可． 【详解】解： ， 故选：B． 4. 小星参加学校举行的十佳歌手比赛，7位评委给他打分得到一组数据，为了比赛更加公平，这组数据要去掉一个最高分和一个最低分得到一组新数据，比较两组数据．一定不会发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数． 本题考查了统计量的选择，属于基础题，相对比较简单，解题的关键在于理解这些统计量的意义． 【详解】解：统计每位选手得分时，去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数． 故选：C． 5. 在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余均相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中的总球数大约是（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，即可求出答案． 【详解】解： ∵摸到红色球的频率稳定在左右， ∴口袋中得到红色球的概率为， 口袋中装有5个红球， ∴， 即口袋中的总球数大约是25个， 故选：C． 6. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的加减，直接利用分式的加减运算法则化简得出答案，正确化简分式是解题关键． 【详解】解：， 故选：． 7. 如图，中，以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点F，G，再分别以F，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点H，作射线，交边于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，求出，根据尺规作图可得平分，根据角平分线及平行线的性质即可求解． 此题主要考查角度的求解，解题的关键是根据尺规作图得到是角平分线． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由图的尺规作图可知平分， ∴， ∴， 故选D． 8. 小红用四根相同长度的木条制作了一个四边形学具（如图①），测得其对角线的长为，．根据四边形的不稳定性，她将其变成了另一个四边形学具（如图②），使，则图②中对角线的长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】在图①中，证是等边三角形，得出；在图2中，由勾股定理求出即可． 本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和勾股定理的性质，属于中考常考题型． 【详解】解：如图1，∵四根相同长度的木条制作了一个四边形学具 ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在图2中，∵ ∴菱形是正方形， ∴，， ∴cm， 故选：B． 9. 用配方法解方程，将其化为的形式，则的值为（ ） A. 15 B. 7 C. －1 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先配方，后确定的值计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了配方法计算，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 10. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式且，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且， 故选：B． 11. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．如图，连接，由正方形的性质可得，，则，由 H是的中点，可得，根据勾故定理求的值，根据，求的值，进而可求． 【详解】解：如图，连接， 由正方形的性质可得，， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 12. 如图，在正方形ABCD内有一点F，连接AF，CF，有，若的角平分线交BC于点E，若E为BC中点，，则AD的长为（ ） A. B. 4 C. D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】连接EF，过点E作EH⊥FC于点H，过点F作FG⊥AE于点G．设正方形的边长AD=2x，通过证明△ABE≌△AFE．得到△AFE各边与正方形边长的关系，再利用面积法把FG用含x的代数式表示出来，通过角相等证明FC∥AE，从而得到EH=FG，在Rt△EHC中利用勾股定理求出x的值，从而求出AD的长． 【详解】解：设AD的长为2x，连接EF，过点E作EH⊥FC于点H，过点F作FG⊥AE于点G．如图所示， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=AD=2x． ∵BE为BC的中点， ∴BE=EC=x． ∵AE平分∠BAF， ∴∠BAE=∠FAE， ∵AF=AB=2x，AE=AE， ∴△BAE≌△FAE（SAS）． ∴EF=EB=x，∠AFE=∠B=90°，∠AEB=∠AEF． ∴EF=EC． ∴∠ECF=∠EFC． ∵∠ECF+∠EFC+∠CEF=180°．∠AEB+∠AEF+CEF=180°． ∴∠ECF=∠AEB． ∴FC∥AE． ∵EH⊥FC，FG⊥AE． ∴EH=FG， 在Rt△AEF中，， ∵ ∴， ∴， 在Rt△EHC中，， ∵， ∴，解得：， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理的应用，本题是一道综合性很强的题目，难度比较大，解题时注意灵活运用正方形、三角形全等的性质． 二、填空题（本大题共4小题，共16分） 13. 方程的根为____． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解转化为得或即可求解． 【详解】∵， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程解法的步骤是解题关键． 14. 在平面直角坐标系中，已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质、平行四边形的性质．根据题意画出图形，根据平行四边形的性质将点向右平移3个单位得到，即可求解． 【详解】解：点，，，是平行四边形， ，， 将点向右平移3个单位得到， 如图所示， 故答案为：． 15. 设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于_____cm． 【答案】7或17． 【解析】 【分析】分两种情况讨论，EF在AB，CD之间或EF在AB，CD同侧，进而得出结论． 【详解】解：分两种情况： ①当EF在AB，CD之间时，如图： ∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm， ∴EF与AB的距离为12﹣5＝7（cm）． ②当EF在AB，CD同侧时，如图： ∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm， ∴EF与AB的距离为12+5＝17（cm）． 综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm． 故答案为：7或17． 【点睛】此题主要考查线段之间的距离，解题的关键是根据题意分情况作图进行求解． 16. 如图，在正方形中，，点E，F分别为上一点，且，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，作D关于直线AB的对称点，连接，先证明得到，则，从而推出当C、F、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，作D关于直线的对称点，连接， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当C、F、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据因式分解法解一元二次方程； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ， 则， ， ， 或， ； 【小问2详解】 ， ， ， 则， 18. 钢城区某学校在本校开展了四项“课后服务”项目(项目A：足球；项目B：篮球；项目C：跳绳；项目D：书法)，要求每名学生必须选修且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次问卷调查中，一共调查了 名学生； （2）请将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中 ，D所对的圆心角为 度； （4）学校拟对选修项目为D的同学进行培训，若该校有2000名学生，请通过计算估计该校需要培训的学生人数． 【答案】（1）500 （2） 补全统计图如下： （3） （4）估计该校需要培训的学生人数有200名 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据项目的人数和所占的百分比，求出调查的总人数； （2）用总人数减去其它项目的人数，求出选项的人数，从而补全统计图； （3）用项目对应的人数除以总人数计算即可得出，再用乘以所占的百分比即可得出答案； （4）用全校的总人数乘以选修项目的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次调查的学生共有：名， 故答案为： 500 ； 【小问2详解】 解：项目的人数有：名， 【小问3详解】 解：在扇形统计图中所对应的扇形的圆心角的度数是：； 故答案为：； 【小问4详解】 解：根据题意得：名， 答：估计该校需要培训的学生人数有200名． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，点F是DE的中点，AB与AG关于AE对称，AE与AF关于AG对称． （1）求证：△AEF是等边三角形； （2）若AB=2，求△AFD的面积． 【答案】 （1）证明：∵AB与AG关于AE对称， ∴AE⊥BC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴AE⊥AD，即∠DAE=90°， ∵点F是DE的中点，即AF是Rt△ADE的中线， ∴AF=EF=DF， ∵AE与AF关于AG对称， ∴AE=AF， 则AE=AF=EF， ∴△AEF是等边三角形； （2）S△ADF=． 【解析】 【分析】（1）先根据轴对称性质及证△ADE为直角三角形，由F是AD中点知AF=EF，再结合AE与AF关于AG对称知AE=AF，即可得证； （2）由△AEF是等边三角形且AB与AG关于AE对称、AE与AF关于AG对称知∠EAG=30°，据此由AB=2知AE=AF=DF=、AH=，从而得出答案． 【详解】解：（1）略 （2）记AG、EF交点为H， ∵△AEF是等边三角形，且AE与AF关于AG对称， ∴∠EAG=30°，AG⊥EF， ∵AB与AG关于AE对称， ∴∠BAE=∠GAE=30°，∠AEB=90°， ∵AB=2， ∴BE=1、DF=AF=AE=， 则EH=AE=、AH=， ∴S△ADF=×． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形，轴对称的性质，解题的关键是掌握直角三角形有关的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质及平行四边形的性质等知识点． 20. 如图，在中，平分，平分，，，交于点O． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若过点E作交于点G，画出线段，判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）四边形是矩形． 理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． （2）画图如图所示，． 理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由，，证明四边形是平行四边形，由平分，平分，，可证，进而可证四边形是矩形； （2）由四边形是矩形，可得，，由CE平分结合等腰三角形，可证，进而可证四边形是平行四边形，得到，最后可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握双角平分线模型，角平分线+等腰三角形得平行模型是解题的关键． 21. 某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品． （1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？ （2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？ 【答案】（1）购买杂酱面80份，购买牛肉面90份 （2）购买牛肉面60份 【解析】 【分析】（1）设购买杂酱面份，则购买牛肉面份，由题意知，，解方程可得的值，然后代入，计算求解，进而可得结果； （2）设购买牛肉面份，则购买杂酱面份，由题意知，，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：设购买杂酱面份，则购买牛肉面份， 由题意知，， 解得，， ∴， ∴购买杂酱面80份，购买牛肉面90份； 【小问2详解】 解：设购买牛肉面份，则购买杂酱面份， 由题意知，， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴购买牛肉面60份． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程． 22. 某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙．     （1）为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】（1）车棚的长为米，宽为米 （2）小路的宽为米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设与墙垂直的一面为米，然后可得另两面则为米，然后利用其面积为列出方程求解即可； （2）设小路的宽为米，利用去掉小路的面积为平方米列出方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米 根据题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，(舍去)， 当时，， 答：车棚的长为米，宽为米． 【小问2详解】 解：设小路的宽为米， 根据题意得：， 整理得， 解得：(舍去)，， 答：小路的宽为米． 23. 一次函数的图象与的图象交于点，且点的横坐标为，与轴、轴分别交于点、点． （1）求的值与的长； （2）若点为线段上一点，且，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（）求出点坐标，代入可得的值，进而由一次函数解析式求出点坐标，即可由勾股定理求出的长； （）求出，设，则，可得，即可得，据此即可求解； 本题考查了一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何问题，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点的横坐标为， ∴把代入得，， ∴点的坐标为， 把代入得， ， 解得， ∴一次函数， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 阅读下面的材料： 解方程x4﹣5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常采用换元法降次：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y1＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y2＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2 仿照上述换元法解下列方程： （1）x4＋3x2﹣4＝0 （2）． 【答案】（1）x＝1或x＝﹣1 （2）x和x＝1 【解析】 【分析】（1）利用换元法求解即可； （2）利用换元法求解即可． 【小问1详解】 解：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2+3y-4=0， ∴（y+4）（y﹣1）＝0， 则y+4＝0或y﹣1＝0， 解得y＝﹣4＜0（舍去），y＝1， ∴x2=1， 解得x＝1或x＝﹣1； 【小问2详解】 解：令y=， 则方程为y-+1＝0，即y2+y﹣6＝0， 则（y+3）（y﹣2）＝0， ∴y+3＝0或y﹣2＝0， 解得y＝﹣3或y＝2， 当y＝﹣3时，=-3，解得x=-； 当y＝2时，=2，解得x＝1； 经检验x=-和x＝1均是方程的解． 【点睛】本题主要考查解高次方程和分式方程，通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 25. 如图，在等腰△ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不B、C重合），以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF． 【猜想】如图①，当点D在线段BC上时，直接写出CF、BC、CD三条线段的数量关系． 【探究】如图②，当点D在线段BC的延长线上时，判断CF、BC，CD三条线段的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A、F分别在直线BC两侧，AE．DF交点为点O连接CO，若，，则 ． 【答案】 【猜想】CD= BC- CF，理由如下： ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD= AF，∠DAF= 90°=∠BAC， ∴∠BAD=∠FAC， 在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF (SAS)， ∴BD= CF， ∵CD= BC- BD， ∴CD= BC- CF： 【探究】CF= BC+ CD，理由如下： ∵∠BAC= 90°，AB= AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵四边形 ADEF是正方形， ∴ AD= AF，∠DAF= 90°， ∴∠BAD=∠BAC +∠DAC， ∴∠CAF=∠DAF+∠DAC， 在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF (SAS)， ∴BD= CF， ∵BD= BC＋CD， ∴CF= BC+CD； 【应用】 【解析】 【分析】【猜想】 利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，然后根据线段的和差关系可得结论； 【探究】利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，然后根据线段的和差关系可得出结论； 【应用】 利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，∠ACF=∠ABD = 135°，求出∠DCF= 90°，在Rt△DCF中利用勾股定理求出DF，利用直角三角形的斜边中线的性质可得结论． 【详解】解：【猜想】略 解：【探究】略 解：【应用】∵∠BAC= 90°，AB= AC, ∠ABC=∠ACB=45°， ∵四边形ADEF是正方形, ∴AD= AF，∠DAF= 90°， ∴∠BAC=∠DAF， ∴， ∴∠BAD=∠CAF， 在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF (SAS)， ∴BD=CF, ∴∠ACF=∠ABD= 180°- 45°= 135°，, ∴∠FCD=∠ACF-∠ACB = 90°， ∴△FCD为直角三角形， ∵， ∴ ， ∴CD= BC+ BD， ∴ CD = BC+CF= 2+1=3， ∴ ， ∵正方形ADEF中，O为DF中点， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识点，解题的关键是能够综合运用运用有关的知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $