精品解析：湖北省武汉光谷外国语学校2024-2025学年九年级上学期10月测试数学试卷

武汉光谷外国语学校2024-2025学年上学期 九年级数学10测试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化成一般式后，如果二次项系数是，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，以此解题． 【详解】解：将方程（二次项系数是）化为一般形式后为：，所以它的二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是-5． 故答案为：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 2. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 3. 将方程配方后，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程移项，配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程变形得：， 配方得：， 即， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 4. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将抛物线表达式化为顶点式，再根据二次函数平移规律，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴该抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位得到的函数表达式为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数平移规律“左加右减，上加下减”． 5. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 有一个根，代入， 可得，解之得； ∴； 故选：A． 6. 如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使C，A，在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点．首先根据点、、在同一条直线上，得到，然后利用邻补角互补求解即可． 【详解】解：点、、在同一条直线上， ， ， ． 旋转角等于， 故选：C． 7. 如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70，则∠DAO+∠DCO的大小是（ ） A. 70 B. 110 C. 140 D. 150 【答案】D 【解析】 【详解】如图，延长BO至点E， ∵OA=OB=OC， ∴∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC， ∴∠OAB+∠OCB=∠OBA+∠OBC=∠ABC=70°， ∵∠AOE=∠OAB+∠OBA，∠COE=∠OCB+∠OBC， ∴∠AOE+∠COE=70°+70°=140°=∠AOC， 又∵在四边形AOCD中，∠DAO+∠AOC+∠DCO+∠ADC=360°，∠ADC=70°， ∴∠DAO+∠DCO=360°-140°-70°=150°． 故选：D． 8. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求出抛物线对称轴解析式，再根据点A、B、C到对称轴的距离的大小与抛物线的增减性解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵点，点，点到对称轴的距离分别为2、1、3，距离对称轴越近的点，函数值越小， ∴． 故选：B． 9. 若m、n是方程的两个实数根，则的值是（　　） A. 1 B. C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．先根据题意得出，，，再得出，进而变形求出答案即可． 【详解】解：∵m、n是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ 故选：A． 10. 如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 点P(1,-1)关于原点对称的点的坐标是_________. 【答案】(-1,1) 【解析】 【详解】点P(1,－1)关于原点对称的点的坐标是（－1， 1）. 故答案为（－1， 1）. 点睛：平面直角坐标系中若两个点关于原点对称，那么这两个点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数. 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式；由一元二次方程的定义，，有实数根，则，建立不等式求解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 13. 某工厂一月份生产零件30万个，第一季度生产零件万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，则满足的方程是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设该厂二、三月份平均每月的增长率为，则二、三月份的产量为万个、万个，根据第一季度生产零件万个，列出方程即可． 【详解】解：设该厂二、三月份平均每月的增长率为，则二、三月份的产量为万个、万个，根据题意得： ． 故答案为：． 14. 一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为____________厘米． 【答案】26 【解析】 【分析】令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，根据勾股定理求出OC2+BC2=OB2，进而求出半径． 【详解】解：如图，由题意，得OD垂直平分AB， ∴BC=10厘米， 令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2， 在Rt△BOC中 OC2+BC2=OB2， ∴（r-2）2+102=r2， 解得r=26． 故答案为：26． 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关键． 15. 已知抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点在点和之间，下列四个结论：①；②；③对于任意的m均有；④若关于x的方程有两个根，则．其中正确的结论是_______． 【答案】② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图象的性质知识． 根据题意可知，根据对称性求出抛物线与轴的另外一个交点位于两点之间，判断出与y轴交于正半轴，，再由对称轴为直线得到，由此即可判断①；可得到当时，，进而推出，即，由此即可判断②；再得到对于任意的m均有，则，即可判断③；根据一元二次方程根的判别式和即可判断④． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点在点和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， ∴抛物线与y轴正半轴相交， 即， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴； 故①错误； ∵抛物线与轴的另外一个交点位于两点之间， ∴当时，， ∴， ∴，即，故②正确； ∵抛物线的对称轴为， ∴当时，函数取最大值， ∴对于任意的m均有，则， 故③错误； 若关于x的方程有两个根，即一元二次方程有两个根， 则，即 ∵， ∴， ∴ 即，则，故④错误， ∴正确的有②， 故答案为：②． 16. 如图，在四边形中，，若，则的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作交的延长线于点E，则，过点C作交的延长线于点F，则，证明，则，得到是等腰直角三角形，则，得到，则是等腰直角三角形，得到，进一步得到，则，再利用含角的直角三角形的性质求出的长，即可求出的周长． 【详解】解：过点C作交的延长线于点E，则， 过点C作交的延长线于点F，则， ∵， ∴， ∴A、D、C、E四点共圆， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴，, ∴． 即的周长为． 故答案为： 【点睛】此题考查了圆周角定理、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，证明A、D、C、E四点共圆是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 选用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）利用因式分解法解答，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解： ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接． （1）若．则的度数为 ； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． （1）旋转得到，利用三角形的内角和定理以及等边对等角进行求解即可； （2）勾股定理求出的长，求出的长，旋转得到，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴． 19. 长江文化艺术季于2024年9月在武汉开幕，主办方须在空地上布置烟花，如图，已知空地上有一段长为米的旧墙，若利用该旧墙和防火护栏围成一个矩形燃放地，其中，已知该矩形燃放地的一边靠墙，另三边一共用了米的防火护栏，设米，矩形的面积为S平方米． （1）______米，______平方米；（用含x的代数式表示） （2）所围成的矩形燃放地面积能否为平方米，若能请求出的长，若不能请说明理由． 【答案】（1）， （2）不能 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，涉及了列代数式，掌握一元二次方程的求解是解题关键． （1）由题意得：，据此即可求解； （2）令，求解该方程即可判断； 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴米， 平方米； 故答案为：， 【小问2详解】 解：令， 整理得：， ∵， ∴此方程无实数根， ∴所围成的矩形燃放地面积不能为平方米， 20. 如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且． （1）求证：AO平分∠BAC； （2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长． 【答案】 （1）连接OB、OC， ∵ ∴AB＝AC， 又OC＝OB，OA＝OA， ∴△AOB≌△AOC（SSS）， ∴∠1＝∠2， ∴AO平分∠BAC； （2）5． 【解析】 【分析】（1）由已知可得AB＝AC，又OC＝OB，OA＝OA，则△AOB≌△AOC，根据全等三角形的性质知，∠1＝∠2，进而解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）连接AO并延长交BC于E，连接OB， ∵AB＝AC，AO平分∠BAC， ∴AE⊥BC， 设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2， 可得：，x2＝OE2+42 解得：x＝5，OE＝3， ∴半径OA的长＝5． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用圆中半径相等的隐含条件，获得全等的条件，从而利用全等的性质解决问题． 21. 如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1．已知A、B、C三点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，格点M在内，画出关于点M成中心对称的； （2）在图2中，将绕点A顺时针旋转的度数，作出； （3）在图3中，经过A、B、C三个格点作，先画出圆心O，再在上画点N（点N不同于点C），使． 【答案】（1） 为所画的三角形： ； （2） 为所画的三角形： ； （3）如图： ． 【解析】 【分析】（1）利用中心对称的性质解答即可； （2）利用旋转的性质解答即可； （3）利用轴对称的性质以及圆周角定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图1，连接并延长交格点于点，连接并延长交格点于点，连接并延长交格点于点，依次连接，，， 【小问2详解】 解：如图2，画线段，画线段，与交于点， 【小问3详解】 解：如图3，取与格线的交点O，即为圆心O；取格点，连接，交于点，则． 【点睛】本题主要考查了中心对称的性质，旋转的性质，轴对称的性质，圆周角定理，圆的有关性质，本题是操作性题目，熟练掌握上述性质是解题的关键． 22. 随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键．某兴趣小组调查了解到某型号汽车正常刹车后车速每秒减少a（），该型号汽车刹车时速度为（），刹车后速度v（）、行驶的距离为S（m）与时间t（s）之间的关系如表： t … 0 1 2 … v … 20 15 10 … S … 0 17.5 30 … （1）求v与t的函数关系式； （2）S与t满足函数关系式，求该汽车刹车后行驶的最大距离； （3）一般司机在遇到紧急情况时，从发现情况到正常刹车的反应时间是，且，王师傅驾驶该型号汽车以的速度行驶，突然发现导航提示前面处路面变窄，需要将车速降低到以下安全通过，司机正常反应后正常刹车，能否在到达窄路时将车速降低到以下？请通过计算说明． 【答案】（1） （2）该汽车刹车后行驶的最大距离为米； （3）能在到达窄路时将车速降低到以下 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用； （1）根据表格数据，随着的变化均匀变化，符合一次函数，设解析式为，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）先待定系数法求出解析式，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据（1）（2）的结论得出的函数关系式，当时，求得汽车刹车后行驶的最大距离，进而结合题意求得刹车后行驶的距离，比较大小，即可求解． 【小问1详解】 解：根据表格数据，随着的变化均匀变化，符合一次函数，设解析式为， 将代入得， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：将代入， ∴ 解得： ∴ ∴当时，取得最大值，即该汽车刹车后行驶的最大距离为米； 【小问3详解】 解：依题意，， 当时，， 从发现情况到刹车的反应时间是（），， 接到提示到紧急刹车所行驶的路程范围是， 时，， 刹车后行驶的距离为（米）， 到达窄路前行驶的距离范围是， ∵， ∴能在到达窄路时将车速降低到以下． 23. 在等腰中，，M为中点，D为平面内一点． （1）如图，D点在边上，连接，若，，求的值； （2）如图，D点在下方，连接，将线段绕点A逆时针旋转线段到，且，连接恰好过点M，若，证明：； （3）如图，已知，D点在边上，连接，动点P在线段上，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，点N为中点，连接．若，请直接写出线段的最小值为_______． 【答案】（1） （2） 证明：在线段上截取，连接， ∵将绕点A逆时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角关系得出，由得，运用证明，得，进一步可得出的值； （2）在线段上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得，由可推出，则，再证明，可得，证明，得出，即可得出结论； （3）取的中点T，连接．首先推出点N的运动轨迹是射线，推出当时，的值最小，再想办法求出可得结论． 【小问1详解】 解：∵ ∴ 又 ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3中，取的中点T，连接． 在中，， ∴， ∴， ∵都是等腰直角三角形，T为的中点，点N为中点， ∴都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是射线， ∴当时，的值最小， 连接，延长交于点J，作于点W，于点R，于点K． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 24. 已知抛物线的顶点在第一象限． （1）如图（1），若，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C． ①求A，B两点的坐标； ②D是第一象限内抛物线上的一点，连接，若恰好平分四边形的面积，求点D的坐标； （2）如图（2），P是抛物线对称轴与x轴的交点，T是x轴负半轴上一点，M，N是x轴下方抛物线上的两点，若四边形是平行四边形，且，求的最大值． 【答案】（1）①，；②点D为； （2）的最大值是． 【解析】 【分析】（1）①先求出抛物线的解析式，再把代入方程，即可求解； ②连接交于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足分别为F，G，证明，得出，再由中点公式求出地E的坐标，结合点E的坐标和点A的坐标求得所在的直线的解析式，再联立抛物线的解析式即可求解出点D； （2）过点N作轴，垂足为H，可得，设，根据平行四边形的性质可得，再根据等腰直角三角形的性质求出点N的坐标，代入抛物线解析式进而可求出t的取值范围，进而即可解答． 【小问1详解】 解：当时，抛物线的解析式为， ①当时，，解得，， ∴，． ②连接交于点E，分别过点B，C作的垂线，垂足分别为F，G，如图所示： 由题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴点E为的中点，由，，点E的坐标为， 求得的解析式为， 由，得， 解得，（舍去）， ∴点D为； 【小问2详解】 解：过点N作轴，垂足为H， ∵P是抛物线对称轴与x轴的交点， ∴， ∵T是x轴负半轴上一点， ∴设． ∵，且， ∴，， 两式相加，得， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 整理为关于m的方程为， 由题意，得， 解得， 此时关于m的方程的两根之和， 当时，m必有正根， ∴的最大值是． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，中点坐标公式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉光谷外国语学校2024-2025学年上学期 九年级数学10测试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化成一般式后，如果二次项系数是，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 2. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 将方程配方后，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 4 6. 如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使C，A，在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70，则∠DAO+∠DCO的大小是（ ） A. 70 B. 110 C. 140 D. 150 8. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 若m、n是方程的两个实数根，则的值是（　　） A. 1 B. C. 2 D. 0 10. 如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 点P(1,-1)关于原点对称的点的坐标是_________. 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 13. 某工厂一月份生产零件30万个，第一季度生产零件万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，则满足的方程是_________． 14. 一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为____________厘米． 15. 已知抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点在点和之间，下列四个结论：①；②；③对于任意的m均有；④若关于x的方程有两个根，则．其中正确的结论是_______． 16. 如图，在四边形中，，若，则的周长为_______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 选用适当的方法解下列方程： （1） （2） 18. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接． （1）若．则的度数为 ； （2）若，求的长． 19. 长江文化艺术季于2024年9月在武汉开幕，主办方须在空地上布置烟花，如图，已知空地上有一段长为米的旧墙，若利用该旧墙和防火护栏围成一个矩形燃放地，其中，已知该矩形燃放地的一边靠墙，另三边一共用了米的防火护栏，设米，矩形的面积为S平方米． （1）______米，______平方米；（用含x的代数式表示） （2）所围成的矩形燃放地面积能否为平方米，若能请求出的长，若不能请说明理由． 20. 如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且． （1）求证：AO平分∠BAC； （2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长． 21. 如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1．已知A、B、C三点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，格点M在内，画出关于点M成中心对称的； （2）在图2中，将绕点A顺时针旋转的度数，作出； （3）在图3中，经过A、B、C三个格点作，先画出圆心O，再在上画点N（点N不同于点C），使． 22. 随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键．某兴趣小组调查了解到某型号汽车正常刹车后车速每秒减少a（），该型号汽车刹车时速度为（），刹车后速度v（）、行驶的距离为S（m）与时间t（s）之间的关系如表： t … 0 1 2 … v … 20 15 10 … S … 0 17.5 30 … （1）求v与t的函数关系式； （2）S与t满足函数关系式，求该汽车刹车后行驶的最大距离； （3）一般司机在遇到紧急情况时，从发现情况到正常刹车的反应时间是，且，王师傅驾驶该型号汽车以的速度行驶，突然发现导航提示前面处路面变窄，需要将车速降低到以下安全通过，司机正常反应后正常刹车，能否在到达窄路时将车速降低到以下？请通过计算说明． 23. 在等腰中，，M为中点，D为平面内一点． （1）如图，D点在边上，连接，若，，求的值； （2）如图，D点在下方，连接，将线段绕点A逆时针旋转线段到，且，连接恰好过点M，若，证明：； （3）如图，已知，D点在边上，连接，动点P在线段上，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，点N为中点，连接．若，请直接写出线段的最小值为_______． 24. 已知抛物线的顶点在第一象限． （1）如图（1），若，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C． ①求A，B两点的坐标； ②D是第一象限内抛物线上的一点，连接，若恰好平分四边形的面积，求点D的坐标； （2）如图（2），P是抛物线对称轴与x轴的交点，T是x轴负半轴上一点，M，N是x轴下方抛物线上的两点，若四边形是平行四边形，且，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $