第四章：幂函数、指数函数和对数函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第一册）

第四章：幂函数、指数函数与对数函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高一上·江苏宿迁·月考）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得：.故选：C. 2．（24-25高一上·湖北武汉·月考）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由题意.故选：C. 3．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在上单调递增，也是单调递增函数， 所以在上单调递增， 当时，，，所以，则在上无零点. 因为，，，， 所以，则根据零点存在性定理可知，在上有零点.故选：D 4．（23-24高一上·重庆璧山·月考）函数的图象必经过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据指数函数恒过定点， 则恒过定点，令，， 所以函数的图象必经过定点，故选：D. 5．（23-24高一下·云南曲靖·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，，．故选：D． 6．（23-24高一上·浙江丽水·月考）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】因为开区间的长度等于，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半， 所以经过次操作后，区间长度变为， 令，解得，且，故所需二分区间的次数最少为6.故选：B. 7．（24-25高一上·河北保定·月考）若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的值域为， 则函数的值域应包含， 则有，解得或， 所以的取值范围是.故选：D. 8．（23-24高一下·湖南长沙·期中）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出函数和函数的图象可知， 假设两个函数的图象共有4个交点， 且横坐标分别为， 由，得，则有， 所以，所以． 由于二次函数图象的对称轴为直线， 则点两点关于直线对称，所以．则． 令，解得或，所以， 所以．故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一上·江苏宿迁·月考）若，，且，，则下列等式正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A：，故错误； 对于B：，正确； 对于C：，故错误； 对于D：，正确.故选：BD 10．（23-24高一上·江西上饶·月考）已知函数是奇函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．无解 C．是减函数 D． 【答案】ABD 【解析】对于A，易知函数的定义域为，又为奇函数，所以，解得； 经检验满足题意，即A正确； 对于B，由可得，即，显然此时无解，即B正确； 对于C，化简可得， 易知为单调递增函数，由复合函数单调性可知为增函数，即C错误； 对于D，由于为奇函数可得，结合C选项可得， 所以，可得D正确. 故选：ABD 11．（23-24高一上·湖北·月考）已知函数，若方程恰有6个不相等的实数根，则实数的值可能是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】BC 【解析】作出函数的图象如图， 令，由图可知，当时，有3个不相等的实数根， 又方程恰有6个不相等的实数根， 所以在内有两个不相等的实数根， 记， 则，解得.故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一上·福建龙岩·月考）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【解析】令， 由，解得， 又的图象的对称轴为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，则函数为减函数， 所以由复合函数单调性，的单调递增区间是. 故答案为：. 13．（24-25高一上·江苏连云港·月考）设为实数，若二次函数在区间上仅有一个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】二次函数，即， 若二次函数在区间上仅有一个零点， 则或，即或. 故答案为：. 14．（22-23高一上·湖南长沙·月考）已知函数与的图象上存在关于原点对称的点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意知：，使得， 即在上有解， 所以，在上有解， 即与在上有交点， 因为，所以，则， 且在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以，解得，即的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高一上·河南驻马店·月考）计算下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1)；(2)7 【解析】（1） （2） 16．（15分）（23-24高一上·广东惠州·月考）已知函数 (1)求函数的定义域并用定义法判断函数的奇偶性； (2)求不等式的解集 【答案】(1)定义域为，奇函数；(2) 【解析】（1）由， 得，解得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以为奇函数； （2）， 由，得，解得， 所以不等式的解集为. 17．（15分）（23-24高一上·湖南长沙·月考）1903年前苏联（俄罗斯）航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：，其中为火箭的初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后的剩余质量，称为火箭的质量比，为火箭的发动机的喷气速度.100多年来，所有的大小火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式的基本规律.已知某型号火箭的发动机的喷气速度为第一宇宙速度7900m/s. (1)当该型号火箭的质量比为10时，求该型号火箭的理想速度； (2)经过材料更新和技术改进后，某型号火箭的发动机的喷气速度提高到了原来的2倍，质量比缩小为原来的，若要使火箭的理想速度至少增加3950m/s.求在材料更新和技术改进前质量比的最小整数值，参考数据：，，. 【答案】(1)；(2)7. 【解析】（1）依题意，. （2）技术改进前的理想速度， 技术改进后的理想速度， 要使火箭的理想速度至少增加， 则，即， 因此， 即，所以， 所以在材料更新和技术改进前质量比的最小整数值为7. 18．（17分）（23-24高一上·江苏无锡·月考）设函数是定义上的奇函数． (1)求的值； (2)若不等式有解，求实数的取值范围； (3)设，求在上的最小值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为是定义域为上的奇函数， 所以，所以，解得，， 当时，，则为奇函数， 故； （2）有解，即有解， 所以， 因为，时，等号成立）， 所以； （3），即， 可令，可得函数在递增，即， ，可得函数，， 由的对称轴为，可得时，取得最小值， 此时，解得， 则在上的最小值为，此时． 19．（17分）（24-25高一上·福建泉州·月考）取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理．该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”．若，则称为的“稳定点”．将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，．已知函数． (1)当时，求函数的不动点； (2)若对于任意，函数恒有两个相异的不动点，求实数m的取值范围； (3)若时，且，求实数n的取值范围． 【答案】(1)为函数的不动点；(2)；(3) 【解析】（1）当时，， 设为不动点，因此，解得或， 所以为函数的不动点. （2）因为恒有两个不动点， 即恒有两个不等实根， 整理为， 所以且恒成立. 即对于任意，恒成立. 令，，， 故或，又， . （3）时， ，有实根， ， 记，则关于的方程的解为方程组的解的值， 两式相减可得， ，即要使与有相同的解， 则与的的解集相同， 所以方程无解或其解与相同， 即无解或其解为， 所以，， 综上，所以实数的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章：幂函数、指数函数与对数函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高一上·江苏宿迁·月考）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖北武汉·月考）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·重庆璧山·月考）函数的图象必经过定点（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·云南曲靖·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·浙江丽水·月考）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（24-25高一上·河北保定·月考）若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·湖南长沙·期中）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、，且，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一上·江苏宿迁·月考）若，，且，，则下列等式正确的是 （    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江西上饶·月考）已知函数是奇函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．无解 C．是减函数 D． 11．（23-24高一上·湖北·月考）已知函数，若方程恰有6个不相等的实数根，则实数的值可能是（    ） A．2 B．3 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一上·福建龙岩·月考）函数的单调递增区间是 ． 13．（24-25高一上·江苏连云港·月考）设为实数，若二次函数在区间上仅有一个零点，则的取值范围是 ． 14．（22-23高一上·湖南长沙·月考）已知函数与的图象上存在关于原点对称的点，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高一上·河南驻马店·月考）计算下列各式的值． (1) (2) 16．（15分）（23-24高一上·广东惠州·月考）已知函数 (1)求函数的定义域并用定义法判断函数的奇偶性； (2)求不等式的解集 17．（15分）（23-24高一上·湖南长沙·月考）1903年前苏联（俄罗斯）航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：，其中为火箭的初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后的剩余质量，称为火箭的质量比，为火箭的发动机的喷气速度.100多年来，所有的大小火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式的基本规律.已知某型号火箭的发动机的喷气速度为第一宇宙速度7900m/s. (1)当该型号火箭的质量比为10时，求该型号火箭的理想速度； (2)经过材料更新和技术改进后，某型号火箭的发动机的喷气速度提高到了原来的2倍，质量比缩小为原来的，若要使火箭的理想速度至少增加3950m/s.求在材料更新和技术改进前质量比的最小整数值，参考数据：，，. 18．（17分）（23-24高一上·江苏无锡·月考）设函数是定义上的奇函数． (1)求的值； (2)若不等式有解，求实数的取值范围； (3)设，求在上的最小值． 19．（17分）（24-25高一上·福建泉州·月考）取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理．该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”．若，则称为的“稳定点”．将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，．已知函数． (1)当时，求函数的不动点； (2)若对于任意，函数恒有两个相异的不动点，求实数m的取值范围； (3)若时，且，求实数n的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$