26.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质（6大题型提分练）数学沪教版五四制九年级上册

26.2 第3课时 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质 知识点一 二次函数y=a（x-h）²的图象与性质 1. 二次函数的图象和性质 图象 对称轴 直线（平行于轴或与轴重合） 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大. 当时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小. 最大（小）值 当时， 当时， 2. 二次函与的图象之间的关系 向左平移个单位长度, 向右平移个单位长度, 二次函数的图象可由二次函数的图象向左、向右平移得到. (1)当时，抛物线由抛物线向右平移个单位长度 得到，此时对称轴在轴的右侧. (2)当时，抛物线由抛物线向左平移个単位长度得到，此时对称轴轴的左侧.简记为“左加右减”. 题型一、二次函数y=a（x-h）2的图象 解题技巧提炼 抛物线y=a(x-h)2与y=ax2的形状、开口大小和开口方向都相同，只是位置不同，其中抛物线y=ax2的顶点坐标为(0，0),抛物线y=a(x-h)2的顶点坐标为(h,0). 1．抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点总在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．直线上 D．直线上 3．抛物线与抛物线的相同点是（    ） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．顶点都在轴上 4．与开口大小，方向，形状完全相同的是（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 6．沿着x轴正方向看，抛物线y＝﹣（x﹣1）2在对称轴 侧的部分是下降的（填“左”、“右”）． 7．如图，抛物线的对称轴为直线x＝1，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P在点Q的右侧，如果点P的坐标为（4，0），那么点Q的坐标为 ． 8．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是 ． 9．（2024·上海浦东新·二模）沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 10．试写出一个抛物线，它的开口向上，且对称轴是直线x＝1： ． 11．已知抛物线y＝a（x+m）2（m为常数）的顶点在y轴的右侧，且am＜0，则此图象的开口方向 ． 12．在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象． 13．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 题型二、二次函数y=a（x-h）2的性质 解题技巧提炼 当时，抛物线的开口向上，当时，抛物线的开口向下．要牢记的顶点坐标、对称轴及开口方向是解本类题型的关键． 14．下列关于二次函数图象的性质，说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线 的对称轴为直线 C．抛物线 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而减小 D．抛物线 的顶点坐标为 15．（22-23九年级上·上海青浦·期中）关于二次函数的图像，下列说法错误的是（    ） A．开口向下 B．图像不经过第一象限 C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是 16．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（  ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 17．已知二次函数，当时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）． 18．已知二次函数，当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）． 题型三、二次函数y=a（x-h）2图象性质的应用 解题技巧提炼 解答有关函数性质的问题时，可在演算纸上画出函数图象的草图，再利用数形结合思想解题. 19．（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为 ． 21．有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A：函数图像的顶点在x轴上； B：当时，y随x的增大而减小； C：该函数图像的形状与函数的图像相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ． 22．已知函数在自变量的范围内，相应的函数最小值为0，则的取值范围是 ． 题型四、利用二次函数的性质比较函数值大小 解题技巧提炼 首先根据二次函数解析式可得抛物线开口，抛物线的对称轴为直线，从而得到对称轴左右两侧的增减性，数形结合，先画出已知条件给出的x的值，再比较对应的函数值即可求出大小关系. 23．已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是： （填“”“”或“”）． 25．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）已知抛物线开口向上，对称轴是直线，抛物线上两点坐标为（2，），（4，），那么 ．（填“>”或“<”） 26．（20-21九年级上·上海浦东新·期末）如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1 y2．（填“＞”或“＜”） 27．已知点，在抛物线上，则 （比较大小关系）． 题型五、求函数值 解题技巧提炼 求函数值问题先定函数在定义域内的增减性，再根据已知条件和数形结合求出结果. 28．已知二次函数，若x取且时，函数值，则当时，y的值为（    ） A．0 B．3 C．18 D．20 29．已知二次函数y=﹣（x+h）2，当x＜﹣3时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，且h满足h2﹣2h﹣3=0，则当x=0时，y的值为（ ） A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．9 30．已知函数y＝（x﹣1）2；自己画出草图，根据图象回答问题： （1）求当﹣2≤x≤﹣1时，y的取值范围； （2）求当0≤x≤3时，y的取值范围． 题型六、二次函数中的几何问题 解题技巧提炼 割补法——求不规则图形面积的法宝 平移不改变图形的形状和大小，对不规则图形来说，利用“割补法”将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积的和或差进行计算，是求解这类题的关键. 31．如图，抛物线与平行于轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，为等边三角形， 求： (1)点B的坐标； (2)的面积． 32．如图，Rt△OAB中,∠OAB=90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA=AB=2个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移2个单位长度后得△． (1)求以A为顶点，且经过点的抛物线的解析式； (2)若(1)中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、 C的坐标．    33．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标， (2)求抛物线的对称轴； (3)在对称轴上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 26.2 第3课时 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质 知识点一 二次函数y=a（x-h）²的图象与性质 1. 二次函数的图象和性质 图象 对称轴 直线（平行于轴或与轴重合） 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大. 当时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小. 最大（小）值 当时， 当时， 2. 二次函与的图象之间的关系 向左平移个单位长度, 向右平移个单位长度, 二次函数的图象可由二次函数的图象向左、向右平移得到. (1)当时，抛物线由抛物线向右平移个单位长度 得到，此时对称轴在轴的右侧. (2)当时，抛物线由抛物线向左平移个単位长度得到，此时对称轴轴的左侧.简记为“左加右减”. 题型一、二次函数y=a（x-h）2的图象 解题技巧提炼 抛物线y=a(x-h)2与y=ax2的形状、开口大小和开口方向都相同，只是位置不同，其中抛物线y=ax2的顶点坐标为(0，0),抛物线y=a(x-h)2的顶点坐标为(h,0). 1．抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是关于二次函数的顶点坐标的问题，掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：D． 2．抛物线的顶点总在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．直线上 D．直线上 【答案】C 【分析】根据抛物线的顶点式可知其顶点坐标为（k，k），再根据横坐标与纵坐标相等即可得出结论． 【详解】∵抛物线的解析式为y=a（x-k）2+k， ∴抛物线的顶点坐标为（k，k）， ∵顶点坐标的横坐标与纵坐标相等， ∴抛物线的顶点坐标总在直线y=x上． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，根据抛物线的顶点式得出其顶点横坐标与纵坐标相等是解答此题的关键． 3．抛物线与抛物线的相同点是（    ） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．顶点都在轴上 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题关键．根据二次函数中a的作用得出形状相同、开口方向相反，再利用图象的顶点形式确定顶点坐标，对称轴． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点为，有最低点， 抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点是，有最高点， ∴抛物线与抛物线的相同点是顶点都在x轴上． 故选：D． 4．与开口大小，方向，形状完全相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，先根据二次函数的性质，开口大小，方向，形状完全相同的两个二次函数的二次项系数a相等，进而可求解． 【详解】解：由于的二次项系数为， A、的二次项系数，则与开口大小，形状相同，方向不同，故此选项不符合题意； B、的二次项系数，则与开口大小，形状相同，方向不同，故此选项不符合题意； C、的二次项系数，则与开口大小，方向、形状都不相同，故此选项不符合题意； D、的二次项系数，则与开口大小，方向，形状完全相同，故此选项符合题意； 故选：D． 5．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上，即可解答． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，它的顶点坐标在x轴上 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是求得二次函数的顶点坐标． 6．沿着x轴正方向看，抛物线y＝﹣（x﹣1）2在对称轴 侧的部分是下降的（填“左”、“右”）． 【答案】右． 【分析】根据抛物线y＝﹣（x﹣1）2可以得到该抛物线的对称轴和在对称轴两侧，y随x的增大如何变化，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2， ∴该抛物线的对称轴为x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴在对称轴右侧的部分是下降的， 故答案为：右． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象，掌握二次函数的图象是解题的关键. 7．如图，抛物线的对称轴为直线x＝1，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P在点Q的右侧，如果点P的坐标为（4，0），那么点Q的坐标为 ． 【答案】（﹣2，0）． 【分析】根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐即可； 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，点P的坐标为（4，0）， ∴点Q的横坐标为1×2﹣4＝﹣2， ∴点Q的坐标为（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象，掌握二次函数的图象是解题的关键. 8．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图像与性质以及一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 直线不经过第四象限， ， ， 故答案为：． 9．（2024·上海浦东新·二模）沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线开口向下，再建立不等式解题即可． 【详解】∵抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴，解得． 故答案为：． 10．试写出一个抛物线，它的开口向上，且对称轴是直线x＝1： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】开口向上，二次项系数为正，对称轴为直线x=1，可根据顶点式写出满足条件的函数解析式． 【详解】解：依题意可知，抛物线解析式中二次项系数为正，已知对称轴为直线， 根据顶点式，得抛物线解析式为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，抛物线的顶点式，顶点坐标是 ，对称轴是直线x=h．a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下． 11．已知抛物线y＝a（x+m）2（m为常数）的顶点在y轴的右侧，且am＜0，则此图象的开口方向 ． 【答案】向上 【分析】先写出对称轴为直线x＝﹣m，根据顶点在y轴的右侧，且am＜0可得答案． 【详解】解：y＝a（x+m）2的对称轴为直线x＝﹣m， ∵顶点在y轴的右侧， ∴﹣m＞0，m＜0， ∵am＜0， ∴a＞0，开口方向向上， 故答案为：向上． 【点睛】此题考查抛物线的性质，正确掌握各形式解析式的抛物线的性质是解题的关键． 12．在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画二次函数图像，解题的关键在于能够熟练掌握描点法画图． 先列表分别得到两个函数图像上的一些点的坐标，然后描点画出函数图像即可． 【详解】先列表：            描点、连线，画出这两个函数的图象： 13．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的开口向下，顶点为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． （1）由对称轴可求得h的值，再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式； （2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 题型二、二次函数y=a（x-h）2的性质 解题技巧提炼 当时，抛物线的开口向上，当时，抛物线的开口向下．要牢记的顶点坐标、对称轴及开口方向是解本类题型的关键． 14．下列关于二次函数图象的性质，说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线 的对称轴为直线 C．抛物线 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而减小 D．抛物线 的顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质和题目中函数的解析式，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】A. 当时，抛物线的开口向下，A选项错误； B.抛物线 的对称轴为直线，B选项错误； C.抛物线 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而减小，C选项正确； D.抛物线 的顶点坐标为，D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟记二次函数的性质． 15．（22-23九年级上·上海青浦·期中）关于二次函数的图像，下列说法错误的是（    ） A．开口向下 B．图像不经过第一象限 C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质由得到图象开口向下，根据第一象限的特点进行判断即可，由抛物线的性质可判断对称轴右侧图象的变化情况，根据顶点式即可得到顶点坐标，由此即可得答案． 【详解】解：A、∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，故该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，即， ∵第一象限的横纵坐标都为正， ∴该抛物线不经过第一象限，故该选项正确，不符合题意； C、∵抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧的部分是下降的，故该选项正确，不符合题意； D、∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，故该选项错误，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，牢记其的顶点坐标、对称轴及开口方向是解答本题的关键．当时，抛物线的开口向上，当时，抛物线的开口向下． 16．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（  ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐项分析判定即可． 【详解】解∶ 二次函数的二次项系数为1，则其图象开口向上， 其对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小， 故选∶C． 17．已知二次函数，当时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的增减性由开口方向和对称轴两个因素决定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的开口方向和对称轴，即可得出答案。 【详解】解：∵二次函数， ， ∴二次函数的图象开口向上， 且对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， 故答案为：增大． 18．已知二次函数，当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的增减性由开口方向和对称轴两个因素决定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的开口方向和对称轴，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴开口向下， ∴当时，随的增大而减小， 故答案为：减小． 题型三、二次函数y=a（x-h）2图象性质的应用 解题技巧提炼 解答有关函数性质的问题时，可在演算纸上画出函数图象的草图，再利用数形结合思想解题. 19．（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答． 【详解】解：二次函数， ， 函数图象开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 20．已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 由上可得，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 21．有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A：函数图像的顶点在x轴上； B：当时，y随x的增大而减小； C：该函数图像的形状与函数的图像相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键，根据函数图像与性质，结合A、B、C三个选项可以求出符合题意的二次函数关系式； 【详解】根据A的描述可设二次函数关系式为， 根据C的描述可知，则， 再结合B的描述可得出，且， 所以满足上述所有性质的二次函数关系式可以是， 故答案为： (答案不唯一)． 22．已知函数在自变量的范围内，相应的函数最小值为0，则的取值范围是 ． 【答案】1≤m≤3 【分析】画出函数的图象，根据函数的图象即可求得． 【详解】解：画出函数y= 的图象如图： 在自变量x≤m的范围内，相应的函数最小值为0，由图象可知：m的取值范围是1≤m≤3， 故答案为1≤m≤3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，画出函数的图象，根据图象求得m的取值是解题的关键． 题型四、利用二次函数的性质比较函数值大小 解题技巧提炼 首先根据二次函数解析式可得抛物线开口，抛物线的对称轴为直线，从而得到对称轴左右两侧的增减性，数形结合，先画出已知条件给出的x的值，再比较对应的函数值即可求出大小关系. 23．已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可． 【详解】解：∵函数， ∴图象开口向下，对称轴为直线， ∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大， ，，， ∵， ∴， 故选：C． 24．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由二次函数解析式可得抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，从而得到当时，随的增大而减小，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：由二次函数可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 点、都在二次函数的图象上，且， ， 故答案为：． 25．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）已知抛物线开口向上，对称轴是直线，抛物线上两点坐标为（2，），（4，），那么 ．（填“>”或“<”） 【答案】 【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线可得时，随增大而减小，进而求解． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴是直线， 时，随增大而减小， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质． 26．（20-21九年级上·上海浦东新·期末）如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1 y2．（填“＞”或“＜”） 【答案】＜ 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x+1）2的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，则在对称轴右侧，y随x的增大而增大． 【详解】解：∵y＝（x+1）2， ∴a＝1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线y＝（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1， ∵﹣1＜2＜3， ∴y1＜y2． 故答案为＜． 【点睛】本题考查了的性质，求得对称轴是解题的关键． 27．已知点，在抛物线上，则 （比较大小关系）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由可得抛物线开口向上，且抛物线上的点距离对称轴的距离越远，的值也越大，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，且抛物线上的点距离对称轴的距离越远，的值也越大， ∵， ∴， 故答案为：． 题型五、求函数值 解题技巧提炼 求函数值问题先定函数在定义域内的增减性，再根据已知条件和数形结合求出结果. 28．已知二次函数，若x取且时，函数值，则当时，y的值为（    ） A．0 B．3 C．18 D．20 【答案】C 【分析】根据函数的特点可得到对称轴x=3,故可得到，即可求解． 【详解】∵， ∴对称轴为直线． ∵当x取且时，函数值， ∴， ∴， ∴当时，． 故选C． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知函数对称轴的性质． 29．已知二次函数y=﹣（x+h）2，当x＜﹣3时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，且h满足h2﹣2h﹣3=0，则当x=0时，y的值为（ ） A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．9 【答案】C 【分析】根据h2﹣2h﹣3=0，求得h=3或﹣1，根据当x＜﹣3时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，从而判断h=3符合题意，然后把x=0代入解析式求得y的值． 【详解】解：∵h2﹣2h﹣3=0， ∴h=3或﹣1， ∵当x＜﹣3时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小， ∴h=3符合题意， ∴二次函数为y=﹣（x+3）2， 当x=0时，y=﹣9． 故选C． 30．已知函数y＝（x﹣1）2；自己画出草图，根据图象回答问题： （1）求当﹣2≤x≤﹣1时，y的取值范围； （2）求当0≤x≤3时，y的取值范围． 【答案】图象详见解析；（1）4≤y≤9；（2）0≤y≤4． 【分析】先根据对称轴，顶点坐标画出二次函数草图. （1）当﹣2≤x≤﹣1时，找出对应的图形即可得知y的取值范围； （2）当0≤x≤3时，找出对应的图形即可得知y的取值范围. 【详解】画出函数的y＝（x﹣1）2图象如图所示： （1）当﹣2≤x≤﹣1时，y的取值范围是4≤y≤9； （2）当0≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤4． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数画图及图像的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数画图及图像的性质. 题型六、二次函数中的几何问题 解题技巧提炼 割补法——求不规则图形面积的法宝 平移不改变图形的形状和大小，对不规则图形来说，利用“割补法”将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积的和或差进行计算，是求解这类题的关键. 31．如图，抛物线与平行于轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，为等边三角形， 求： (1)点B的坐标； (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，则根据等边三角形的性质可得，设，则，根据勾股定理可得，则点，将点代入二次函数解析式可得出的值，则点B的坐标可得； （2）得出的长度，运用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵抛物线的对称轴为：直线x=2， ∴点D的横坐标为2. ∵为等边三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 将点代入抛物线， 得：， 解得：， ∴点； （2）解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的性质，勾股定理，二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质，根据勾股定理求出的长是解本题的关键． 32．如图，Rt△OAB中,∠OAB=90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA=AB=2个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移2个单位长度后得△． (1)求以A为顶点，且经过点的抛物线的解析式； (2)若(1)中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、 C的坐标．    【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）根据三角形的边长求出点A和点的坐标，设抛物线解析式为，代入点坐标求出解析式； （2）令，求出y的值，得到点D的坐标，再求出直线OB的解析式和抛物线联立求出点C的坐标． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 设抛物线解析式为， 把点代入，得，解得， ∴； （2）令，得， ∴， 设直线OB解析式为，把点代入，得到，解得， ∴直线OB解析式为， 联立直线和抛物线的解析式，得，解得， 根据点C的位置，取， ∴． 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是掌握求二次函数的解析式的方法，求抛物线和直线交点的方法． 33．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标， (2)求抛物线的对称轴； (3)在对称轴上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)P的坐标为或 【分析】（1）令求出点A的坐标，令求出点B的坐标即可； （2）根据二次函数解析式写出对称轴方程即可； （3）根据平行四边形对边平行且相等可得，再分点P在点A的上方和下方两种情况讨论求解． 【详解】（1）令，则 解得 所以，点 令，则， 所以，点； （2）∵ ∴对称轴方程为直线； （3）∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， ∴， 当点P在点A的上方时，点P的坐标为， 当点P在点A的下方时，点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或时，以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意（3）有两种情况． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$