26.2 第2课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质（7大题型提分练）数学沪教版五四制九年级上册

26.2 第2课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 知识点一 二次函数y=ax²+k的图象和性质 1. 二次函数的图象和性质 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（或直线） 顶点坐标 最大（小）值 当=0时，最小值＝ 当=0时，最大值＝ 增减性 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大. 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小. 2. 二次函数与的图象之间的关系 向上平移个单位长度 （） 向下平移个单位长度 （） 题型一、二次函数y=ax2+k的图象 解题技巧提炼 抛物线y=ax2+k与y=ax2的形状、开口大小和开口方向都相同，只是位置不同，其中抛物线y=ax2的顶点坐标为(0,0),抛物线y=ax2+k的顶点坐标为(0,k). 1．二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．函数图像开口方向是 ，对称轴是 顶点坐标是 ，这个顶点是图像的最 点（填“高”或“低”）． 3．（2023·上海虹口·一模）已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．二次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第三象限、第四象限 D．第一象限、第三象限、第四象限 6．（2024·上海浦东新·二模）沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 7．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如果抛物线经过原点，那么该抛物线的开口方向 ． 8．（2023·上海奉贤·一模）已知抛物线，如果点与点B关于该抛物线的对称轴对称，那么点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．（2023·上海杨浦·二模）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是 ． 题型二、二次函数y=ax2+k的性质 解题技巧提炼 ，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； ，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小. 10．（2024·上海奉贤·二模）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（    ） ①函数图像经过点；②图像经过第二象限；③当时，随的增大而增大． A． B． C． D．． 11．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线在对称轴左侧部分是的 ．（填“上升”或“下降”） 12．（2023·上海浦东新·二模）抛物线在y轴的左侧部分，y的值随着x的值增大而 ．（填“增大”或“减小”） 13．（2023·上海金山·二模）抛物线在轴的右侧呈 趋势（填“上升”或者“下降”）． 14．（2022·上海黄浦·二模）下列函数中，当＞0时，值随值增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 15．对于抛物线的说法不正确的是（   ） A．开口向上 B．图象经过第一、二、三象限 C．函数最小值是2 D．当时，随的增大而减小 题型三、二次函数y=ax2+k图象和性质的应用 解题技巧提炼 时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小． 16．（2024·上海杨浦·一模）如果点和点是抛物线（是常数）上的两点，那么 ．（填“＞”、“＝”或“＜”） 17．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如果点和点是抛物线（m常数）上的两点，那么 ．（填“>”、“=”、“<”） 18．（21-22九年级上·上海浦东新·期末）已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣x2+4的图像上，那么m、n的大小关系是：m n．（填“＞”、“＝”或“＜”） 19．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 20．（2023·上海虹口·一模）如果点与点都在抛物线上，那么和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 21．已知点均在抛物线上，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．佳佳觉得①③说法正确，李华觉得②④说法正确．请你判断佳佳和李华两人谁的判断正确，并说明理由． 22．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（　　）m． A．3 B．6 C．8 D．9 23．对于二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四、二次函数y=ax2+k图象的平移和旋转 解题技巧提炼 （1） 抛物线的平移规律：上加下减，左加右减； （2） 二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反 24．抛物线可由抛物线沿轴向 平移 个单位得到，它的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 点 25．抛物线向上平移5个单位，所得抛物线顶点坐标是 ． 26．如果将抛物线y＝﹣x2向下平移，使其经过点（0，﹣2），那么所得新抛物线的表达式是 ． 27．（23-24九年级上·上海·阶段练习）抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为 ． 28．将函数向上平移3个单位后，再绕新函数图像的顶点旋转180°所得图像的函数解析式为 ． 29．二次函数的图象如图，将其绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 题型五、二次函数y=ax2+k与一次函数、反比例函数的共存问题 解题技巧提炼 排除法--解两种图象共存题的捷径 解答两个函数图象在同一平面直角坐标系中的问题时，可以分系数大于0与系数小于0两种情况讨论，并结合一些特殊点来排除选项;也可以直接分析每个选项,逐一排除有矛盾的选项. 30．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣1与二次函数y＝kx2＋3的大致图象可以是（　　） A． B． C． D． 31．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（    ） A．  B．  C．   D．   32．如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（    ）    A．  B．  C．   D．   33．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 34．已知关于x的二次函数的图象与x轴有两个交点，则关于x的一次函数与反比例函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   题型六、二次函数新定义问题 解题技巧提炼 新定义问题重在考查画抛物线图像，要理解变换方式并进行数形结合、分类讨论是解题的关键. 35．在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点． (1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； (2)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标． 36．在平面直角坐标系中，对于点和．给出如下定义：如果，那么称点为点的“变换点”．例如点（1，2）的“变换点”为点（1，2），点（－1，2）的“变换点”为点（－1，－2）． (1)在点（4，0），（2，5），（－1，－1），（－3，5）中， 的“变换点”在函数的图象上； (2)如果一次函数图象上点的“变换点”是，求点的坐标； (3)如果点在函数的图象上，其“变换点”的纵坐标的取值范围是，结合图象写出实数的取值范围． 37．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），点P的变换点Q的坐标定义如下：当x＞0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2）．例如：（﹣2，3）的变换点是（2，﹣1）． （1）（1，2）的变换点为　　，（﹣1，﹣2）的变换点为　　． （2）点M（m﹣1，5）的变换点在一次函数y＝x+2的图象上，求点M的坐标. （3）如图，若点P在二次函数y＝﹣x2+4的图象上，点Q为点P的变换点． ①请在方格图中画出点Q所在函数的图象. ②求点Q所在函数图象的表达式． 题型七、二次函数的几何应用 解题技巧提炼 浅谈二次函数y=ax2几何问题涉及的几个知识点解题技巧 （1） 求两点所在直线解析式方法：待定系数法.即先定两点的坐标，再根据待定系数法求待敌系数，最后求得直线的解析式； （2） 求三角形面积2种不同方法： ①与坐标轴平行（或垂直）→切割三角形，分成小三角形面积相加； ②与坐标轴不平行（或垂直）→作铅锤高、水平高，可以切割成共底（或共高）的小三角形面积相加或组合成四边形减其他多余部分图形面积求解. （3） 面积和差倍问题：将不同的三角形通过平行线或平移转化成平行线问题，根据等底等高或对称去求解. （4） 等腰三角形的存在性问题： 所需工具：直尺和圆规 要知道等腰三角形实际是垂直平分线与对称图形的产物，找等腰三角形的点问题，题目一般会给出2个确定点和一个动点，遵循“先易后难”原则： 先易：先讨论两个顶点分别是顶点时，即以一个顶点为圆心，另一个顶点到该顶点的长度为半径画圆，其弧与题目所涉及的问题（某直线、某轴、某象限等）相交的点就是所求的动点. 后难：动点为顶点时候，我们一般结合垂直平分线的性质，即把已知2点作为线段，作垂直平分线，其垂直平分线与题目所涉及的问题（某直线、某轴、某象限等）相交的点就是所求的动点. 38．如图，两条抛物线与分别经过点，，则平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 ．    39．求符合下列条件的抛物线对应的函数解析式： (1)抛物线过点； (2)抛物线与的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为． 40．已知抛物线具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线上一动点，则 (1)当面积为4时，求P点的坐标； (2)求周长的最小值． 41．已知二次函数y＝－x2＋2(m－1)x＋2m－m2的图象关于y轴对称，其顶点为A，与x轴两交点为B，C(B点在C点左侧)． (1)求B，C两点的坐标； (2)求△ABC的面积． 42．如图，在平面直角坐标系，纵轴上一点，横轴上有一动点，连接，作的中垂线，过点作横轴的垂线和交于点．设点的坐标为，当点在横轴上运动时，解决下列问题： (1)求之间满足的函数关系式； (2)已知在此函数图象上，请求出的面积． 43．二次函数与直线交于点 (1)求a、b的值； (2)求抛物线与直线的两交点与抛物线的顶点构成的三角形的面积S． 44．如图，已知抛物线的顶点为，矩形的顶点在抛物线上，点在轴上，交轴于点，且矩形的面积为32． (1)此抛物线的解析式． (2)点是轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出点坐标． 45．函数y=ax2 (a≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)． （1）求a和b的值； （2）求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴； （3）x取何值时，y随x的增大而增大? （4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积． 46．已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2-4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2.点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m. （1）求这条抛物线的解析式； （2）用含m的代数式表示线段CO的长； （3）当tan∠ODC=时，求∠PAD的正弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 26.2 第2课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 知识点一 二次函数y=ax²+k的图象和性质 1. 二次函数的图象和性质 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（或直线） 顶点坐标 最大（小）值 当=0时，最小值＝ 当=0时，最大值＝ 增减性 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大. 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小. 2. 二次函数与的图象之间的关系 向上平移个单位长度 （） 向下平移个单位长度 （） 题型一、二次函数y=ax2+k的图象 解题技巧提炼 抛物线y=ax2+k与y=ax2的形状、开口大小和开口方向都相同，只是位置不同，其中抛物线y=ax2的顶点坐标为(0,0),抛物线y=ax2+k的顶点坐标为(0,k). 1．二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象，根据函数解析式可得图象开口向上，顶点坐标为，据此即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象是一条抛物线，开口向上，顶点坐标为， ∴它的图象大致为 故选：A 2．函数图像开口方向是 ，对称轴是 顶点坐标是 ，这个顶点是图像的最 点（填“高”或“低”）． 【答案】 向下 y轴 (0，-3) 高 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数的性质：当时，抛物线的开口向下，顶点式：，，是常数，，其中为顶点坐标，对称轴为：，抛物线的最高点可得答案． 【详解】解：函数中， ∵， ∴开口向下； ∵，对称轴是y轴； ∴顶点坐标是(0，-3)； 开口向下则顶点是最高点； 故答案是：向下，y轴，(0，-3)，高． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 3．（2023·上海虹口·一模）已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据已知条件中二次函数的图象有最低点，可知抛物线的开口方向向上；利用抛物线的开口方向和二次项系数有关，再结合抛物线开口向上，得到，由此即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图像有最低点， 函数图象开口向上， 则， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题关键． 4．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线开口向下，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 5．二次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第三象限、第四象限 D．第一象限、第三象限、第四象限 【答案】C 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，开口方向，与轴的交点，可确定抛物线的大致位置，判断其不经过的象限． 【详解】解：抛物线 顶点坐标为，在轴上， 且开口向上， 抛物线不经过第三象限，第四象限； 故选：C． 【点睛】本题考查了确定抛物线的大致位置，解题的关键是掌握通过求顶点坐标，开口方向，与坐标轴的交点，画出图象判断． 6．（2024·上海浦东新·二模）沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线开口向下，再建立不等式解题即可． 【详解】∵抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴，解得． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如果抛物线经过原点，那么该抛物线的开口方向 ． 【答案】向下 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象与性质；根据抛物线过原点，把原点坐标代入解析式中可求得m的值，根据二次项系数的符号可确定抛物线的开口方向． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴， ∴， ∴抛物线为； ∵， ∴抛物线开口向下； 故答案为：向下． 8．（2023·上海奉贤·一模）已知抛物线，如果点与点B关于该抛物线的对称轴对称，那么点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、坐标与图形变化——轴对称 【分析】先根据抛物线解析式求得对称轴为轴，然后根据关于轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵抛物线，对称轴为直线，即轴， ∴点与点B关于该抛物线的对称轴对称，则点B的坐标是 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，关于坐标轴对称的点的坐标特征，得出抛物线的对称轴是解题的关键． 9．（2023·上海杨浦·二模）如果抛物线的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据题意可得抛物线开口向下，即可求解． 【详解】解：∵顶点是抛物线的最高点， ∴抛物线开口向下， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 题型二、二次函数y=ax2+k的性质 解题技巧提炼 ，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； ，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小. 10．（2024·上海奉贤·二模）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（    ） ①函数图像经过点；②图像经过第二象限；③当时，随的增大而增大． A． B． C． D．． 【答案】C 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：A. ，①函数图像经过点；②图像经过第二、四象限；③当时，随的增大而减小，故此选项不符合题意； B. ，①函数图像经过点；②图像经过第一、三、四象限；③当时，随的增大而增大，故此选项不符合题意； C. ，①函数图像经过点；②图像经过第二、四象限；③当时，随的增大而增大，故此选项符合题意； D. ，①函数图像经过点；②图像经过第一、二、三、四象限；③当时，随的增大而增大，故此选项不符合题意． 故选：C． 11．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线在对称轴左侧部分是的 ．（填“上升”或“下降”） 【答案】上升 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下． ∵对称轴是直线y轴， ∴在对称轴左侧部分是上升的． 故答案为：上升． 12．（2023·上海浦东新·二模）抛物线在y轴的左侧部分，y的值随着x的值增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】先求出该抛物线的对称轴，再根据其开口方向和增减性，即可进行解答． 【详解】解：该抛物线的对称轴为直线， 即该抛物线的对称轴为y轴， ∵，抛物线开口向上， ∴在y轴的左侧部分，y的值随着x的值增大而减小． 故答案为：减小． 【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是掌握时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小． 13．（2023·上海金山·二模）抛物线在轴的右侧呈 趋势（填“上升”或者“下降”）． 【答案】下降 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据抛物线的性质判定即可． 【详解】∵抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∴抛物线在轴的右侧y随x的增大而减小， 故答案为：下降． 【点睛】本题考查了抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 14．（2022·上海黄浦·二模）下列函数中，当＞0时，值随值增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax²+k的图象和性质、判断反比例函数的增减性 【分析】根据在一次函数y=kx+b中，k大于0时，y随x增大而增大，k小于0时，y随x增大而减小；在反比例函数(x>0)中，k大于0时，函数图像在第一象限，y随x增大而减小，k小于0时，函数图像在第三象限，y随x增大而增大；在二次函数y=ax2+h中，a大于0时，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，对每个选项进行判断． 【详解】A.，x系数为大于0，y随x增大而增大，与题意不符，错误； B.y=-x+1，x系数为-1小于0，y随x增大而减小，与题意相符，正确； C.，因为-2<0，x>0，函数图像在第三象限，y随x增大而增大，与题意不符，错误； D.，x2系数为1大于0，对称轴为x轴，当时，函数图像在对称轴右侧，y随x增大而增大，与题意不符，错误； 故选 B． 【点睛】本题考查了函数的图像及性质，熟练掌握各种函数的图像及性质是解题关键． 15．对于抛物线的说法不正确的是（   ） A．开口向上 B．图象经过第一、二、三象限 C．函数最小值是2 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数，， 该函数的图象开口向上，图象经过第一、二象限，对称轴是轴，顶点坐标为，有最小值2，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 故选项A、C、D说法正确，选项B说法错误， 故选：B． 题型三、二次函数y=ax2+k图象和性质的应用 解题技巧提炼 时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小． 16．（2024·上海杨浦·一模）如果点和点是抛物线（是常数）上的两点，那么 ．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【答案】= 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了抛物线的增减性，根据抛物线开口向下，得到距离对称的距离越大，函数值越下，计算判断即可． 【详解】∵二次函数， ∴抛物线开口向下，且距离对称轴越远的点的函数值越小，对称轴为直线， ∵， ∴， 故答案为：． 17．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如果点和点是抛物线（m常数）上的两点，那么 ．（填“>”、“=”、“<”） 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是掌握时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为y轴，开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 18．（21-22九年级上·上海浦东新·期末）已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣x2+4的图像上，那么m、n的大小关系是：m n．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为轴，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：二次函数可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为轴， 所以当时，随的增大而增大， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质． 19．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、根据正方形的性质求线段长 【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可． 【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：    当时，则，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点， ∴， 解得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键． 20．（2023·上海虹口·一模）如果点与点都在抛物线上，那么和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数图像与性质，对于比较二次函数的值大小，只需要比较相应点到对称轴距离即可得到答案． 【详解】解：点与点都在抛物线上， 抛物线对称轴为， 到对称轴距离为；到对称轴距离为， 抛物线中二次项系数为正，开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近值越小，即， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数值大小比较，熟练掌握二次函数图形与性质、掌握二次函数值大小比较的方法步骤是解决问题的关键． 21．已知点均在抛物线上，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．佳佳觉得①③说法正确，李华觉得②④说法正确．请你判断佳佳和李华两人谁的判断正确，并说明理由． 【答案】佳佳的判断错误，李华的判断正确．理由见解析． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据题意作图，由函数图像即可判断正误． 【详解】佳佳的判断错误，李华的判断正确． 理由：如图所示，说法①，若，则或； 说法②，若，则； 说法③，若，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则； 说法④，若，则在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则， 故②④说法正确． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意作图进行分析求解． 22．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（　　）m． A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）， 设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标(﹣2，0)代入得a＝﹣0.5， ∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2， 当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出： ﹣2.5＝﹣0.5x2+2， 解得：x＝±3， ∴水面宽度为3﹣(﹣3)＝6（m）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用．根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题． 23．对于二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】由抛物线解析式可得对称轴为直线，且开口向上，再由可知，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出答案． 【详解】解：二次函数的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， ， 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握抛物线对称轴和增减性是解决本题的关键． 题型四、二次函数y=ax2+k图象的平移和旋转 解题技巧提炼 （1） 抛物线的平移规律：上加下减，左加右减； （2） 二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反 24．抛物线可由抛物线沿轴向 平移 个单位得到，它的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，有最 点 【答案】 下 轴(或) 低 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、二次函数图象的平移 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 而抛物线的顶点坐标为， ∴平移方法为向下平移个单位． ∵，它的开口向上，顶点坐标为，对称轴为轴，有最低点， 故答案为：上，，上，，轴，低． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，掌握平移规律是解题的关键． 25．抛物线向上平移5个单位，所得抛物线顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数图象的平移规律可得平移后的抛物线解析式，由此即可得出答案． 【详解】抛物线向上平移5个单位所得抛物线为， 则其顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律、二次函数的顶点坐标，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键． 26．如果将抛物线y＝﹣x2向下平移，使其经过点（0，﹣2），那么所得新抛物线的表达式是 ． 【答案】y＝﹣x2﹣2 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】设平移后的抛物线解析式为，把点(0，-2)代入进行求值，即可得到b的值，即得出平移后的抛物线解析式． 【详解】解：设平移后的抛物线解析式为， 把点(0，-2)代入，得0-b=-2， 解得b=2， 则平移后的函数解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了函数图象的平移．熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并会用规律求函数解析式是解答本题的关键． 27．（23-24九年级上·上海·阶段练习）抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，由坐标点确定平移方式，再由平移方式确定点的坐标，先利用二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标为，再利用顶点的坐标变换规律得到抛物线的平移规律，然后利用此平移规律写出点P平移到点Q时的坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点， ∴点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点． 故答案为：． 28．将函数向上平移3个单位后，再绕新函数图像的顶点旋转180°所得图像的函数解析式为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据“上加下减”得到平移后函数解析式，再根据绕顶点旋转180°则a变为-a，即可求解． 【详解】解：将函数向上平移3个单位后，得到函数解析式为，新函数图像绕顶点旋转180°所得图像形状不变，开口向上，所以a变为相反数-a，所以函数解析式为． 故答案为： 【点睛】本题考查了函数图象的变换，函数的平移按照“左加右减，上加下减”法则进行，二次函数解析式中a的符号决定函数图象开口方向，a的绝对值决定函数图象开口大小． 29．二次函数的图象如图，将其绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质求解、y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，即可得到答案． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数的顶点坐标为， 二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反， 得到的抛物线的解析式为， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，得出二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反是解此题的关键． 题型五、二次函数y=ax2+k与一次函数、反比例函数的共存问题 解题技巧提炼 排除法--解两种图象共存题的捷径 解答两个函数图象在同一平面直角坐标系中的问题时，可以分系数大于0与系数小于0两种情况讨论，并结合一些特殊点来排除选项;也可以直接分析每个选项,逐一排除有矛盾的选项. 30．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣1与二次函数y＝kx2＋3的大致图象可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】先利用一次函数图象、二次函数图象与y轴交点的位置排除B、D选项，再根据A、C选项二次函数均开口向下，可确定k的正负，再确定一次函数图象，对比后即可得出结论． 【详解】解：由一次函数y＝kx﹣1可知：一次函数与y轴的交点为（0，－1），交点在y轴的负半轴，可排除选项D； 由二次函数y＝kx2＋3可知：二次函数与y轴的交点为（0，3），交点在y轴的正半轴，可排除选项B； A、C两选项中二次函数均开口向下，由此可知k＜0，当k＜0时，一次函数过二、三、四象限，因此排除A选项，C正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象，根据已有数据，确定与y轴的交点是关键． 31．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】由一次函数的图象经过的象限可确定k的正负，进而验证二次函数图象与y轴交点的位置，结合二次函数图象的开口方向进行判断，即可求解． 【详解】解：A、由图象得：，，由得：，抛物线的开口向上，交于轴负半轴，符合题意，故此项正确； B、由得：，抛物线的开口向上，故此项错误； C、由图象得：，，的图象应交于轴正半轴，故此项错误； D、由得：图象交于轴的，故此项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键． 32．如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了函数图象判别，求一次函数解析式，解题的关键是设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求出，，然后再求出，最后进行判断即可． 【详解】解：设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为， 把分别代入两个函数解析式得： ，， 解得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴的图象为开口向下，顶点为的抛物线， 所以C选项符合题意． 故选：C． 33．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的性质，已知一次函数、二次函数解析式，可根据图象的基本性质，直接判断． 【详解】解：因为一次函数的图象应该经过原点，故可排除A、B； 因为二次函数的图象的顶点坐标应该为(0,2)，故可排除D； 故选C． 34．已知关于x的二次函数的图象与x轴有两个交点，则关于x的一次函数与反比例函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定a、b、c的正负，然后确定一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：当时，抛物线的开口向下，对称轴为y轴，与y轴正半轴交于一点， 即，，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限．C选项符合题意 当时，抛物线的开口向上，对称轴为y轴，与y轴负半轴交于一点， 即，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限． 故选：C． 题型六、二次函数新定义问题 解题技巧提炼 新定义问题重在考查画抛物线图像，要理解变换方式并进行数形结合、分类讨论是解题的关键. 35．在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．      (1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； (2)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】（1）将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线； （2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A1的坐标； （3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A2的坐标． 【详解】（1）解：将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线， 如图：      （2）解：由题意，得点的“关联点”为， 由点在抛物线上，可得， ∴， 又在抛物线上， ， 解得． 将代入，得； （3）解：点的“待定关联点”为， ∵在抛物线的图象上， ， ． 又 , 当时，， 故可得． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标． 36．在平面直角坐标系中，对于点和．给出如下定义：如果，那么称点为点的“变换点”．例如点（1，2）的“变换点”为点（1，2），点（－1，2）的“变换点”为点（－1，－2）． (1)在点（4，0），（2，5），（－1，－1），（－3，5）中， 的“变换点”在函数的图象上； (2)如果一次函数图象上点的“变换点”是，求点的坐标； (3)如果点在函数的图象上，其“变换点”的纵坐标的取值范围是，结合图象写出实数的取值范围． 【答案】(1)和 (2)点 (3) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、y=ax²+k的图象和性质 【分析】（1）先求出每个点的“变换点”坐标，然后看是否满足一次函数解析式即可； （2）分当时和当时，两种情况讨论求解即可； （3）先画出“变换点”的函数图象，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：由题意得点（4，0），（2，5），（－1，－1），（－3，5）的变换点分别为（4，0）、（2，5）、（-1，1）、（-3，-5）， 当时，， ∴点（4，0）不在函数的图象上， 同理可得点（2，5）、（-3、-5）在函数的图象上，点（-1、1）不在函数的图象上， ∴和的“变换点”在函数的图象上； （2）解：由题意得当时，点，则， 解得：（舍去）； 当时，点，则 ，解得：， ∴点； （3）解：如右图所示为“变换点”函数图象： 从函数图象看，“变换点”Q的纵坐标的取值范围是， 而， 函数图象只需要找到最大值（直线）与最小值（直线） 直线从大于等于0开始运动，直到与有交点结束，都符合要求， ∴，解得：（舍去负值）， 观察图象可知满足条件的a的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查了求一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的性质等等，正确理解题意是解题的关键． 37．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），点P的变换点Q的坐标定义如下：当x＞0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2）．例如：（﹣2，3）的变换点是（2，﹣1）． （1）（1，2）的变换点为　　，（﹣1，﹣2）的变换点为　　． （2）点M（m﹣1，5）的变换点在一次函数y＝x+2的图象上，求点M的坐标. （3）如图，若点P在二次函数y＝﹣x2+4的图象上，点Q为点P的变换点． ①请在方格图中画出点Q所在函数的图象. ②求点Q所在函数图象的表达式． 【答案】（1）（﹣1，﹣2），（1，4）；（2）点M坐标（7，5）；（3）①图象见解析；② 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】(1)由变换点坐标可求解； (2)分1−m>0，1−m≤0两种情况讨论，把点M的变换点坐标代入解析式可求点M坐标； (3)①求出x≥0，x<0时的解析式，即可画出图象；②由①可求解. 【详解】（1）∵1>0 ∴(1,2)的变换点为(−1,−2) ∵−1<0 ∴(−1,−2)的变换点为(1,4) 故答案为：(−1,−2),(1,4) （2）当m﹣1＞0时，点M的变换点为（1﹣m，﹣5） ∴1﹣m+2＝﹣5，∴m＝8 ∴点M（7，5）        当m﹣1≤0时，点M的变换点（1﹣m，﹣3），∴1﹣m+2＝﹣3 ∴m＝6（不合题意舍去） ∴点M坐标（7，5） （3）①设点P（x，y） 当x≤0时，点Q（﹣x，﹣y+2），即﹣x≥0， ∵y＝﹣x2+4，∴﹣y＝x2﹣4，∴﹣y+2＝x2﹣4+2 ∴﹣y+2＝（﹣x）2﹣2 ∴点Q所在函数解析式为：y＝x2﹣2  （x≥0） 当x＞0时，点Q（﹣x，﹣y），即﹣x＜0 ∵y＝﹣x2+4 ∴﹣y＝x2﹣4＝（﹣x）2﹣4 点Q所在函数解析式为：y＝x2﹣4（x＜0） 由函数解析式可得图象如下： ②由①可得 【点睛】本题考查直角坐标系中点的变换，以及画抛物线图像，理解变换方式并进行分类讨论是解题的关键. 题型七、二次函数的几何应用 解题技巧提炼 浅谈二次函数y=ax2几何问题涉及的几个知识点解题技巧 （1） 求两点所在直线解析式方法：待定系数法.即先定两点的坐标，再根据待定系数法求待敌系数，最后求得直线的解析式； （2） 求三角形面积2种不同方法： ①与坐标轴平行（或垂直）→切割三角形，分成小三角形面积相加； ②与坐标轴不平行（或垂直）→作铅锤高、水平高，可以切割成共底（或共高）的小三角形面积相加或组合成四边形减其他多余部分图形面积求解. （3） 面积和差倍问题：将不同的三角形通过平行线或平移转化成平行线问题，根据等底等高或对称去求解. （4） 等腰三角形的存在性问题： 所需工具：直尺和圆规 要知道等腰三角形实际是垂直平分线与对称图形的产物，找等腰三角形的点问题，题目一般会给出2个确定点和一个动点，遵循“先易后难”原则： 先易：先讨论两个顶点分别是顶点时，即以一个顶点为圆心，另一个顶点到该顶点的长度为半径画圆，其弧与题目所涉及的问题（某直线、某轴、某象限等）相交的点就是所求的动点. 后难：动点为顶点时候，我们一般结合垂直平分线的性质，即把已知2点作为线段，作垂直平分线，其垂直平分线与题目所涉及的问题（某直线、某轴、某象限等）相交的点就是所求的动点. 38．如图，两条抛物线与分别经过点，，则平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 ．    【答案】8 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移 【分析】阴影部分的面积恰好拼接为如图所示的矩形面积，据此即可求解． 【详解】解：由抛物线的解析式可知：二次项系数相同 ∴两条抛物线的性质完全相同 故抛物线向下平移2个单位得到抛物线 阴影部分的面积恰好拼接为如图所示的矩形面积    ∴阴影部分的面积为： 故答案为：8 【点睛】本题考查了二次函数的性质．若两个二次函数的二次项系数相同，则对应的抛物线的性质相同． 39．求符合下列条件的抛物线对应的函数解析式： (1)抛物线过点； (2)抛物线与的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为． 【答案】(1) (2) 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）把代入抛物线的解析式，从而可得答案； （2）根据抛物线与的开口大小相同，开口方向相反，可得，结合顶点为，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线为：； （2）∵抛物线与的开口大小相同，开口方向相反， ∴， ∴抛物线为， ∵顶点为． ∴， ∴抛物线为：； 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，熟记待定系数法的方法与步骤是解本题的关键． 40．已知抛物线具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线上一动点，则 (1)当面积为4时，求P点的坐标； (2)求周长的最小值． 【答案】(1)或 (2)5 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、垂线段最短、已知两点坐标求两点距离、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）设P点的坐标为，根据面积为4求出点P的横坐标，代入解析式得到对应y值，即可求解； （2）过点M作轴于点E，与抛物线交于点，由点在抛物线上可得出，结合点到直线之间垂线段最短及为定值，即可得出当点P运动到点时，周长取最小值，由此可解． 【详解】（1）解：设P点的坐标为， 点F的坐标为， ， 当的面积为4时，， 解得：， ， 点P的坐标为或． （2）解：过点M作轴于点E，与抛物线交于点． 抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离相等， ， 又为定值， 当点P运动到点时，周长取最小值， ,， ，， ， 周长的最小值为5． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出周长取最小值时点P的位置是解题的关键． 41．已知二次函数y＝－x2＋2(m－1)x＋2m－m2的图象关于y轴对称，其顶点为A，与x轴两交点为B，C(B点在C点左侧)． (1)求B，C两点的坐标； (2)求△ABC的面积． 【答案】(1) B点的坐标为(－1，0)，C点的坐标为(1，0)(2) 1 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【详解】【试题分析】（1）根据二次函数y＝－x2＋2(m－1)x＋2m－m2的图象关于y轴对称，一次项系数为0，易得m=1；从而得y＝－x2＋1.当y=0时，有－x2＋1＝0，解得x1＝－1，x2＝1，即B点的坐标为(－1，0)，C点的坐标为(1，0)． （2）先求出顶点坐标，再求S△ABC. 【试题解析】(1)由二次函数y＝－x2＋2(m－1)x＋2m－m2的图象关于y轴对称，得m－1＝0，解得m＝1，则2m－m2＝1.故函数的表达式为y＝－x2＋1.当y＝0时，有－x2＋1＝0，解得x1＝－1，x2＝1，即B点的坐标为(－1，0)，C点的坐标为(1，0)． (2)当x＝0时，y＝1，即A点的坐标为(0，1)， 故S△ABC＝×2×1＝1. 42．如图，在平面直角坐标系，纵轴上一点，横轴上有一动点，连接，作的中垂线，过点作横轴的垂线和交于点．设点的坐标为，当点在横轴上运动时，解决下列问题： (1)求之间满足的函数关系式； (2)已知在此函数图象上，请求出的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、y=ax²+k的图象和性质、线段垂直平分线的性质、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】（1）连接，作于点H，根据中垂线的性质得到，再利用勾股定理，从而建立x和y之间的函数关系式； （2）将点D，C，B的坐标分别代入（1）中得到的解析式中，得到D，C，B的坐标，数形结合利用割补法得到的面积. 【详解】（1）解：连接，过点作轴于． 则，， ，． ． （2）由（1）知，，如图， . 【点睛】本题考查了一次函数的性质、二次函数的基本性质、中垂线的性质、勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 43．二次函数与直线交于点 (1)求a、b的值； (2)求抛物线与直线的两交点与抛物线的顶点构成的三角形的面积S． 【答案】(1)， (2)6 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）可求，代入即可求解； （2）可求交点为和，直线与y轴的交点为，即可求解． 【详解】（1）解：直线经过， ， ， 解得：； （2）解：由 解得：或， 交点为和， 当时，， 直线与y轴的交点为， 如图，    ． 【点睛】本题考查了求直线与抛物线的交点及二者交点围成的面积问题，掌握求法是解题的关键． 44．如图，已知抛物线的顶点为，矩形的顶点在抛物线上，点在轴上，交轴于点，且矩形的面积为32． (1)此抛物线的解析式． (2)点是轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出点坐标． 【答案】(1) (2)符合条件的点的坐标是：或或或或 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、待定系数法求二次函数解析式、直线上与已知两点组成等腰三角形的点、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，矩形的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点． （1）由抛物线的顶点为得到抛物线的对称轴为轴，则可判断点为抛物线上的对称点，再根据矩形的面积得到，则可得到点的坐标为，然后设顶点式，再把代入求出的值即可； （2）设，则，，再分别根据①当时，②当时，③当时，三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， 抛物线的对称轴为轴，设抛物线解析式为， 四边形为矩形， 点为抛物线上的对称点，， ∵， ∴， 矩形其面积为32， ， ， ∴，， 把代入得，解得， 抛物线解析式为； （2）解：设， ∵，， ，，， ①当时，点在线段的垂直平分线上，此时点与点重合，其坐标是； ②当时，可得， 解得， 此时点的坐标是或； ③当时，， 解得， 此时点的坐标是或， 综上所述，符合条件的点的坐标是：或或或或 45．函数y=ax2 (a≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)． （1）求a和b的值； （2）求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴； （3）x取何值时，y随x的增大而增大? （4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积． 【答案】（1）a=-1，b=-1；（2）y=-x2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x=0；（3）x＜0；（4） 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²的图象和性质、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】（1）把(1，b)代入直线y=2x-3中，解得b的值，得到交点坐标是(1，-1)，再把交点坐标代入函数y=ax2即可解题； （2）由（1）中结论得到抛物线解析式为y=-x2，再根据抛物线的性质解题； （3）根据抛物线的图象性质解题：当a<0时，抛物线图象开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大； （4）联立抛物线y=-x2与直线y=-2成方程组，解方程组即可解得点A(，-2)，B(，-2)，再解得AB的长为2，高为2，最后根据三角形面积公式解题． 【详解】解：（1）将x=1，y=b代入y=2x-3，得b=-1，所以交点坐标是(1，)， 将x=1，y=代入y=ax2，得a=， 所以a=，b=； (2)抛物线的解析式为y=-x2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x=0(即y轴)； (3) a=<0，抛物线图象开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大， 即当x＜0时，y随x的增大而增大． (4)设直线y=- 2与抛物线y=-x2相交于A、B两点，抛物线顶点为O(0，0)． 由，得 ∴A(，-2)，B(，-2) ∴AB=|-(-)|=2，|-2|=2 ∴． 【点睛】本题考查一次函数与抛物线综合题，是重要考点，涉及抛物线与一元二次方程、一次函数解析式、抛物线的图象与性质、三角形面积等知识，掌握相关知识是解题关键． 46．已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2-4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2.点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m. （1）求这条抛物线的解析式； （2）用含m的代数式表示线段CO的长； （3）当tan∠ODC=时，求∠PAD的正弦值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先根据勾股定理求得的长度，从而确定的坐标，代入抛物线解析式即可； （2）可借助三角形相似，∽，利用对应边成比例得到的表达式； （3）再一次利用三角形相似，∽，先求出的表达式，结合，求出的值，进而得到坐标以及相关的线段长度，再将的正弦值放到中求解即可． 【详解】作图如下： （1）∵，， ∴，即， ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）由（1）得（）， ∴，， ∵， ∴∽， ∴，即， ∴； （3）∵， ∴∽， ∴，即，解得， ∵， ∴， 解得或（舍）， ∴，，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$