4.3 实数（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

4.3 实数 题型一 无理数的概念与辨析 1．实数，中，无理数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在，，，3.1415，，中，无理数有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型二 估算无理数的大小 1．整数满足，则的值为　　 A．5 B．4 C．3 D．6 2．估计的值是在　　 A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 3．估算的值应在　　 A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 4．下列整数中与最接近的是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 5．请写出一个大于2且小于3的无理数　　． 6．已知的平方根为，的立方根为2， （1）求的算术平方根； （2）若是的整数部分，求的平方根． 7．已知的平方根是，是27的立方根，是的整数部分． （1）求的值； （2）若是的小数部分，求的平方根． 题型三 实数的概念与分类 1．下列各数中，属于有理数的是　　 A． B． C． D．（每相邻两个1之间0的个数依次多1个） 2．下列说法中正确的是　　 A．绝对值等于它本身的数只有零 B．最大的负数是 C．任何一个有理数都有倒数 D．无理数分为正无理数和负无理数 3．把下列各数填入相应的集合内： ，，0，，，， 有理数集合：　　； 无理数集合：　　； 正实数集合：　　； 负实数集合：　　． 4．把下列各数填在相应的集合里： 0，，0.3，，，，，，（相邻两个3之间0的个数逐次加1） （1）有理数集合：　　； （2）无理数集合：　　； （3）正数集合：　　； （4）负数集合：　　． 题型四 实数与数轴 1．下列结论正确的是　　 ①若两个数的绝对值相等，则它们互为相反数；②数轴上的点表示有理数或无理数；③几个因数相乘，积的符号由负因数的个数决定；④若，则． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 2．如图，数轴上表示1，的对应点分别为，，，则点所表示的数是　　 A． B． C． D． 3．如图，数轴上有，，，四点，则所表示的数与最接近的是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 4．如图，点，都是数轴上的点，，则数轴上点所表示的数为　　 A． B． C． D． 5．已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 题型五 实数比较大小 1．已知，，，则、、的大小关系是　　 A． B． C． D． 2．比较大小：　　． 3．把下列各数在数轴上表示出来，并用“”号把它们连接起来． ，，，， 4．为了比较与的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分别进行了研究． （1）小伍同学利用计算器得到了，，所以确定　　（填“”或“”或“”）； （2）小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出所示的图形，其中，，在上且．请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学对和的大小做出准确的判断． 题型六 实数的性质与运算 1．对于的叙述，下列说法中正确的是　　 A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它是一个无理数 C．它比0大 D．它的相反数为 2．下列说法： ①； ②数轴上的点与实数成一一对应关系； ③任何实数不是有理数就是无理数； ④两个无理数的和还是无理数； ⑤是4的平方根， 正确的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数的值 　　． 4．下列命题中正确的是　　； ①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的和一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的积一定是无理数； ④两个无理数的积一定是无理数． 5．计算： （1）； （2）． 6．计算： （1）； （2）． 1．已知、是有理数，是无理数，如果是有理数，则等于　　． 2．数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法是： 因为，所以　　2，所以　　（填“”或“” ）； 小英的方法是： ，因为，所以　　0，所以　　0，所以　　（填“”或“” ）． （1）根据上述材料填空； （2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 3．先阅读，然后解答提出的问题： 设，是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为，都是有理数，所以，也是有理数， 由于是无理数，所以，，所以，，所以． 问题：设，都是有理数，且满足，求的值． 4．数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： （1）的小数部分是多少，请表示出来． （2）为的小数部分，为的整数部分，求的值． （3）已知，其中是一个正整数，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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【详解】解：绝对值等于它本身的数是0和正数，则不合题意； 最大的负整数是，则不合题意； 0没有倒数，则不合题意； 无理数分为正无理数和负无理数，则符合题意． 故本题选：． 3．把下列各数填入相应的集合内： ，，0，，，， 有理数集合：　　； 无理数集合：　　； 正实数集合：　　； 负实数集合：　　． 【详解】解：， 有理数集合：，，0，，； 无理数集合：，； 正实数集合：，，，； 负实数集合：，． 4．把下列各数填在相应的集合里： 0，，0.3，，，，，，（相邻两个3之间0的个数逐次加1） （1）有理数集合：　　； （2）无理数集合：　　； （3）正数集合：　　； （4）负数集合：　　． 【详解】解：（1）有理数集合：，，0.3，，； （2）无理数集合：，，，（相邻两个3之间0的个数逐次加1）； （3）正数集合：，0.3，，，，（相邻两个3之间0的个数逐次加1）； （4）负数集合：，． 题型四 实数与数轴 1．下列结论正确的是　　 ①若两个数的绝对值相等，则它们互为相反数；②数轴上的点表示有理数或无理数；③几个因数相乘，积的符号由负因数的个数决定；④若，则． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【详解】解：①绝对值相等的数，它们相等或互为相反数，该选项结论错误； ②选项结论正确； ③几个不为0的因数相乘，积的符号由负因数的个数决定，该选项结论错误； ④若，则，，所以，该选项结论正确． 故本题选：． 2．如图，数轴上表示1，的对应点分别为，，，则点所表示的数是　　 A． B． C． D． 【详解】解：表示1，的对应点分别为，， ， ， ， 点所表示的数为． 故本题选：． 3．如图，数轴上有，，，四点，则所表示的数与最接近的是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【详解】解：， 在之间， 在之间． 故本题选：． 4．如图，点，都是数轴上的点，，则数轴上点所表示的数为　　 A． B． C． D． 【详解】解：、、处的点构成了直角三角形， ， ， ， 点所表示的数为． 故本题选：． 5．已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，，， ∴ ． 题型五 实数比较大小 1．已知，，，则、、的大小关系是　　 A． B． C． D． 【详解】解：，，， ， ． 故本题选：． 2．比较大小：　　． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故本题答案为：． 3．把下列各数在数轴上表示出来，并用“”号把它们连接起来． ，，，， 【详解】解：如图， ． 4．为了比较与的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分别进行了研究． （1）小伍同学利用计算器得到了，，所以确定　　（填“”或“”或“”）； （2）小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出所示的图形，其中，，在上且．请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学对和的大小做出准确的判断． 【详解】解：（1），， ， ， ， 故本题答案为：； （2），，， ，，， ， 又△中，， ． 题型六 实数的性质与运算 1．对于的叙述，下列说法中正确的是　　 A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它是一个无理数 C．它比0大 D．它的相反数为 【详解】解：是一个实数，能用数轴上的点表示出来， 选项不合题意； 是一个无理数， 选项符合题意； ， 比0小， 选项不合题意； 的相反数是， 选项不合题意． 故本题选：． 2．下列说法： ①； ②数轴上的点与实数成一一对应关系； ③任何实数不是有理数就是无理数； ④两个无理数的和还是无理数； ⑤是4的平方根， 正确的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：①，故此说法不符合题意； ②数轴上的点与实数成一一对应关系，故此说法符合题意； ③任何实数不是有理数就是无理数，故此说法符合题意； ④两个无理数的和不一定是无理数，例如：，故此说法不符合题意； ⑤是4的一个平方根，故此说法符合题意． 综上，正确的个数为3个． 故本题选：． 3．若的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数的值 　　． 【详解】解：的值为有理数， ， （答案不唯一）． 故本题答案为：（答案不唯一）． 4．下列命题中正确的是　　； ①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的和一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的积一定是无理数； ④两个无理数的积一定是无理数． 【详解】解：①有理数与无理数之和一定是无理数；是对的，例如，是无理数； ②无理数与无理数之和一定是无理数；是错误的，例如，，0是有理数； ②有理数与无理数之积一定是无理数；是错误的，例如，，0是有理数； ④无理数与无理数之积一定是无理数．是错误的，例如，，2是有理数． 综上，正确的只有①． 故本题答案为：①． 5．计算： （1）； （2）． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 6．计算： （1）； （2）． 【详解】解：（1） ； （2） ． 1．已知、是有理数，是无理数，如果是有理数，则等于　　． 【详解】解： 是无理数， ， ∴原式， 是有理数， 设，则， 整理得：， ∵、、是有理数，是无理数， ，解得：， ． 2．数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法是： 因为，所以　　2，所以　　（填“”或“” ）； 小英的方法是： ，因为，所以　　0，所以　　0，所以　　（填“”或“” ）． （1）根据上述材料填空； （2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【详解】解：（1）小华的方法是： 因为，所以，所以， 小英的方法是： ，因为，，因为，所以，所以，所以， 故本题答案为：，，，，； （2）如果选择小华的方法， ， ， ； 如果选择小英的方法， ， ， ， ， ， ． 3．先阅读，然后解答提出的问题： 设，是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得，因为，都是有理数，所以，也是有理数， 由于是无理数，所以，，所以，，所以． 问题：设，都是有理数，且满足，求的值． 【详解】解：， ， ，， 解得：，， 当，时，， 当，时，， 综上，的值是8或0． 4．数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： （1）的小数部分是多少，请表示出来． （2）为的小数部分，为的整数部分，求的值． （3）已知，其中是一个正整数，，求的值． 【详解】解：（1）， ， 的小数部分是； （2）由（1）可知：， ， ， ． ； （3）， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$