精品解析：黑龙江省黑河市嫩江市高级中学等学校（龙西北名校联盟）2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

2024-2025学年度龙西北名校联盟期中考试 （高一）数学试题 命题人：龙江一中 方和民 审核人：宛佳红 本试卷共150分，考试时间120分钟 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 6. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数的图像三等分，即BM=MN=NA,那么（ ） A. B. .2 C. 1 D. 8. 定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分；当正确选项为2个时，部分选对得3分；当正确选项为3个时，部分选对得2分或者4分，选错或不选得0分. 9. 设，若，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 2 10. （多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B. 若关于x的不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 C. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D. 若，则的最小值为 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，满分15分） 12. 函数的值域为______. 13. 已知幂函数是偶函数，且在区间内单调递增，则实数t的值为______. 14. 已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围是__________________. 四､解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 在①“命题”是真命题；②命题是真命题；这两个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合，， （1）当时，求． （2）若选_____，求实数的取值范围． 16. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 17. 设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是M、m，集合． 若，且，求M和m的值； 若，且，记，求的最小值． 18. LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． （1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本) （2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）求函数在上的值域； （3）设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度龙西北名校联盟期中考试 （高一）数学试题 命题人：龙江一中 方和民 审核人：宛佳红 本试卷共150分，考试时间120分钟 一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集，补集运算解决即可. 【详解】由题知，集合，， 所以， 所以， 故选：D 2. 设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由全称量词命题为真命题，求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由命题p为真命题，得，解得，显然， 所以“命题p为真命题”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 下列函数与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的定义域、对应关系是否完全相同即可得答案 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一函数； 对于B，，两个函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于C，函数的定义域为，定义域不同，与不是同一函数； 对于D，，对应关系不相同，不是同一函数. 故选：B 4. 已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】因为为定义在上的偶函数，且，可得， 且在上为减函数，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 6. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 7. 幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数的图像三等分，即BM=MN=NA,那么（ ） A. B. .2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出M、N的坐标，分别带入函数解析式即可求得a、b，然后根据换底公式可得. 【详解】因为M、N为线段AB的三等分点， 易得，分别带入得， 解得， 所以. 故选：C 8. 定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的定义可得，根据已知条件确定函数在不同区间的符号，通过不等式性质解不等式可得所求解集. 【详解】由奇函数的定义可得， 当时，则，， 当时，则，， 由或， 根据分析可得解集为. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分；当正确选项为2个时，部分选对得3分；当正确选项为3个时，部分选对得2分或者4分，选错或不选得0分. 9. 设，若，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，先将集合化简，再由集合子集的定义求解，即可得到结果. 【详解】因为，且，则， 当时，，符合题意； 当时，则，则或，解得或； 综上所述，或或. 故选：ABC 10. （多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B. 若关于x的不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 C. 若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，原问题等价于，解一元二次不等式即可验证；对于B，原问题等价于在上恒成立，由此即可验证；对于C，首先得，然后解分式不等式即可验证；对于D，首先由基本不等式得，然后由即可验证，注意取等条件是否成立. 【详解】对于A，二次函数，开口向上， 若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小， 则，解得，故A正确； 对于B，若关于x的不等式在上恒成立， 则只需，即在上恒成立即可， 则实数k的取值范围是，故B错误； 对于C，若关于x的不等式的解集是，则， 所以关于x的不等式或，故C正确；‘ 对于D，若，则，解得，等号成立当且仅当， 所以，等号成立当且仅当，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：A选项的关键是得，B选项的关键是得在上恒成立，C选项的关键是得，D选项的关键是利用基本不等式得，然后适当变形即可求解. 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，满分15分） 12. 函数的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设，，则， 所以，等号成立 所以函数的值域为. 故答案为：. 13. 已知幂函数是偶函数，且在区间内单调递增，则实数t的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可得，根据的值得函数解析式检验奇偶性与单调性即可得结论. 【详解】因为幂函数， 所以，解得或， 当时，函数，其定义域为，且， 则满足函数为上的偶函数，且在区间内单调递增； 当时，函数，其定义域为，且， 则函数为上的奇函数，不符合题意； 综上，实数t的值为. 故答案为：. 14. 已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围是__________________. 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，数形结合根据图象交点个数，即可求得参数范围. 【详解】画出函数f(x)图像如图所示， 而函数有三个零点， 也就是说函数与函数的图象有三个交点， 利用数形结合的方法可知：，解得. 故答案为： 【点睛】本题考查数形结合由函数零点个数求参数范围，属综合基础题. 四､解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 在①“命题”是真命题；②命题是真命题；这两个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合，， （1）当时，求． （2）若选_____，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 若选①，实数的取值范围是；若选②，实数的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）明确集合，根据并集的运算求. （2）根据所选条件，确定集合的关系，根据集合的关系求参数的取值范围. 【小问1详解】 当，，，所以. 【小问2详解】 若选①，则， 因为，所以， 由，所以实数的取值范围是：. 若选②，则，由. 且或或或， 得：或或或.所以 所以实数的取值范围是：. 16. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【答案】（1）7； （2）①36；②. 【解析】 【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案； （2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由题. 当且仅当，即时取等号； 【小问2详解】 ①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 17. 设二次函数在区间上的最大值、最小值分别是M、m，集合． 若，且，求M和m的值； 若，且，记，求的最小值． 【答案】 （Ⅰ），；（Ⅱ）. 【解析】 【详解】（1）由……………………………1分 又 …………………3分 …………4分 ……………………………5分 ……………………………6分 （2） x=1 ∴，即 ……………………………8分 ∴f（x）=ax2+（1-2a）x+a, x∈[-2,2] 其对称轴方程为x= 又a≥1，故1-……………………………9分 ∴M=f（-2）="9a-2 " …………………………10分 m= ……………………………11分 g（a）=M+m=9a--1 ……………………………14分 = ………16分 18. LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． （1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本) （2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元． 【解析】 【分析】(1)根据“年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本”，分和即可求出L(x)的解析式； (2)根据二次函数和基本不等式分别求出L(x)在和时的最大值，比较即可得到答案． 【小问1详解】 ∵每件产品售价为6元，∴万件产品的销售收入为万元， 依题意得，当时，， 当时，． ∴ 【小问2详解】 当时，，当时，取得最大值． 当时，，当且仅当，即时，取得最大值15． ∵，∴当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元． 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）求函数在上的值域； （3）设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义与，求出参数即可； （2）由（1）得，再判断单调性，然后求解即可； （3）现将“若对任意的，对任意的，使得成立”转化为“当时，恒成立”然后分类讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意，得到， 所以，整理得到，所以， 又，得到，解得. 所以，. 【小问2详解】 由（1）可知. 设， 则， 因为，所以，则，，， 所以，即. 所以函数在上单调递增. 又，，所以函数在上的值域为. 【小问3详解】 由（2）知，可将问题转化为，当时，恒成立. 若，则在区间上为增函数，由，得到， 若，则，此时在上恒成立， 若，则在上为减函数，由，得到. 综上可知：，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $