精品解析：甘肃省庆阳市2025届高三上学期阶段性调研测试（一模）数学试题

高三阶段性调研测试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知复数，则的实部为（ ） A. B. C. D. 3. 若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（ ） A. 3 B. 12 C. 15 D. 3或15 4. 已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行四边形ABCD中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（    ） A. B. 是奇函数 C. D. 的图象关于点对称 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆：，则（ ） A. 的焦点在轴上 B. 的焦距为10 C. 的离心率为 D. 的长轴长是短轴长的5倍 10. 设函数的最小正零点为，则（ ） A. 的图象过定点 B. 的最小正周期为 C. 是等比数列 D. 的前10项和为 11. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在正方体中，，则（ ） A. 在四面体中，点的曲率为 B. 在四面体中，点的曲率大于 C. 四面体外接球的表面积为 D. 四面体内切球半径的倒数为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据1，2，3，3，5，1，6，8，则这组数据的第60百分位数为_______；若从这组数据中任意抽取2个数据，则这2个数据不相等的概率为______． 13. 为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小明10月1日运动了5分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从10月1日到10月的最后一天，小明运动的总时长为________分钟． 14. 若过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，且，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，，． （1）求BC的长； （2）设D为AC边上一点，且，求sin∠BDA． 16. 如图，平面，平面，四边形为正方形，，位于平面的两侧． （1）证明：平面平面． （2）若，，，求平面与平面夹角（锐角）的余弦值． 17. 贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为，这10个贵妃杏的平均质量恰等于克． （1）求． （2）求． （3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望． 18. 已知动点在抛物线上，，点到的准线的距离为，且的最小值为5. （1）求的方程； （2）若过点的直线与交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，求的斜率. 19. 定义：对于函数，若，则称“”为三角形函数. （1）已知函数，若为二次函数，且，写出一个，使得“”为三角形函数； （2）已知函数，若“”为三角形函数，求实数的取值范围； （3）若函数，证明：“”为三角形函数.（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三阶段性调研测试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合的交集即可得出元素个数. 【详解】因为集合，， 所以，即集合中有2个元素. 故选：B 2. 已知复数，则的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法法则求的代数形式，再求其实部即可. 【详解】因为， 所以， 所以的实部为. 故选：B. 3. 若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（ ） A. 3 B. 12 C. 15 D. 3或15 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线方程求得，再利用双曲线的定义即可得解. 【详解】因为双曲线方程为，所以，则， 设双曲线的左､右焦点分别为， 又点在双曲线的右支上，且， 所以，则. 故选：C. 4. 已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆台体积公式计算即得. 【详解】根据题意，可得该圆台的体积为: . 故选：B. 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数与对数函数的性质即可得解. 【详解】对于，有，解得， 对于，其图象开口向下，对称轴为， 当时，，当时，， 所以当时，，即， 又在其定义域内单调递增， 所以，则， 则的值域为. 故选：D. 6. 在平行四边形ABCD中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量的基本定理求解即可. 【详解】 如图：. 故选：C 7. 若锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用齐次式法求值可求出，进而求出的值，再利用两角和的正切公式即可求得答案. 【详解】由题意可得， 解得或，而为锐角，故舍去， 则， 故. 故选：C. 8. 已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（    ） A. B. 是奇函数 C. D. 的图象关于点对称 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法可得，即可判断A，利用，即可根据奇函数的定义判断B，结合奇函数的性质，即可求解C，利用可判断的图象关于点对称，即可判断D. 【详解】对于A，取，则， 即，得，故A正确； 对于B，取，则， 得，故是奇函数，B正确； 对于C，对任意的都有， 可得，即， 因此，故C正确； 对于D，由于， 因此的图象关于点对称，故D错误. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆：，则（ ） A. 的焦点在轴上 B. 的焦距为10 C. 的离心率为 D. 的长轴长是短轴长的5倍 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质即可逐一求解. 【详解】对于椭圆：，可得， 故椭圆的焦点在轴上，焦距为，离心率为， 长轴长为，短轴长为，故AD错误，BC正确. 故选：BC 10. 设函数的最小正零点为，则（ ） A. 的图象过定点 B. 的最小正周期为 C. 是等比数列 D. 的前10项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接将定点代入判断A，利用三角函数的周期公式判断B，利用整体代入法求得的零点，进而求得，再利用等比数列的定义判断C，利用等比数列求和公式判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，令，得，所以， 整理得，即的零点为， 而是的最小正零点，则，， 显然，，， 所以是，的等比数列，故C正确； 对于D，的前10项和为，故D正确. 故选：ACD. 11. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在正方体中，，则（ ） A. 在四面体中，点的曲率为 B. 在四面体中，点的曲率大于 C. 四面体外接球的表面积为 D. 四面体内切球半径的倒数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正方体的性质及四面体的内切球与外切球的半径算法，结合曲率的定义分别计算各选项. 【详解】在正方体中，易证为正三角形，，， 在四面体中，点的曲率为，A选项正确； 在正方体中，，，，在四面体中，点的曲率为，B选项正确； 四面体外接球的半径即为正方体外接球的半径为， 四面体外接球的表面积为，C选项错误； 四面体的体积， 四面体的表面积， 四面体内切球的半径， 即，D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据1，2，3，3，5，1，6，8，则这组数据的第60百分位数为_______；若从这组数据中任意抽取2个数据，则这2个数据不相等的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由百分位数的概念求解即可；由古典概型的概率公式求解即可. 【详解】将数据从小到大排列为：1，1，2，3，3，5，6，8，共个数， 由于，所以这组数据的第60百分位数为：； 从这组数据中任意抽取2个数据，则样本空间为： ， 共个样本点， 则这2个数据相等的有共个，所以不相等的有个样本点， 所以这2个数据不相等的概率为. 故答案为：； 13. 为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小明10月1日运动了5分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从10月1日到10月的最后一天，小明运动的总时长为________分钟． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，小明每天运动时长构成等差数列，利用等差数列求和公式得解. 【详解】由题意小明每天的运动时长构成等差数列，其中，， 所以（分钟）， 即小明运动的总时长为1085分钟. 故答案为： 14. 若过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，且，则__________． 【答案】2或4 【解析】 【分析】根据圆的切线性质可求出相关线段的长，利用，即可求出答案. 【详解】如图，记圆的圆心为与交于点，圆的半径为r， 由题意可得， ，所以， 即，解得或16，即或4， 经检验，都满足题意． 故答案为：2或4 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，，． （1）求BC的长； （2）设D为AC边上一点，且，求sin∠BDA． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出的长. （2）利用正弦定理求出即可. 【小问1详解】 在中，， 由余弦定理得：. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得， 所以. 16. 如图，平面，平面，四边形为正方形，，位于平面的两侧． （1）证明：平面平面． （2）若，，，求平面与平面夹角（锐角）的余弦值． 【答案】（1） 因为平面，平面， 所以， 所以点四点共面， 因为平面，平面， 所以， 因为四边形为正方形， 所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论. （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，， 因为四边形为正方形，所以， 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 因为，，， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，故， 令，可得，， 故为平面的一个法向量， 因为平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 所以. 所以平面与平面夹角（锐角）的余弦值为. 17. 贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为，这10个贵妃杏的平均质量恰等于克． （1）求． （2）求． （3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1）100 （2）0.3 （3） 0 1 2 3 4 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04 . 【解析】 【分析】（1）由平均数的求法，直接求出的值； （2）由正态分布的对称性即可算出结果. （3）由数据得出个人获赠个数对应的概率，在得到两个人总共获赠可能个数及其对应的概率，从而得出分布列和数学期望. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为，所以， 所以． 【小问3详解】 设1人获赠贵妃杏的个数为，则． 依题意可得的可能取值为， ， ， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 4 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04 所以. 18. 已知动点在抛物线上，，点到的准线的距离为，且的最小值为5. （1）求的方程； （2）若过点的直线与交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，求的斜率. 【答案】（1） （2）4或 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义转化一个距离，则可用两点间距离线段最短得解； （2）利用方程组思想结合韦达定理，转化到坐标法来研究，即可得解. 【小问1详解】 设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得， 则， 当三点共线且点在线段上时，取得最小值， 则，整理得，解得或， 因为，所以，故的方程为. 【小问2详解】 设过点的直线. 联立，消元得，显然， 所以， 由， 得 代入韦达定理得： 化简得， 得或. 故的斜率为4或. 19. 定义：对于函数，若，则称“”为三角形函数. （1）已知函数，若为二次函数，且，写出一个，使得“”为三角形函数； （2）已知函数，若“”为三角形函数，求实数的取值范围； （3）若函数，证明：“”为三角形函数.（参考数据：） 【答案】（1）由，， 得，令，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以. 因为为二次函数，且，所以的对称轴为， 设， 要使“”为三角形函数，只要， 取，则， ，满足， 则，即成立. 故若，取，可使得“”为三角形函数. （答案不唯一，参考函数，写出任意一个满足题意的都可以） （2） （3）证明:，. 由（1）知，， 则任意，； 下面证明. 由，， 则， 令， 则，所以在上单调递减. 又，由参考数据可知，， 则存在唯一的实数，使，即(). 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 故， 由()式可知， 则， 令， 则， 所以在单调递增， 故. 即. 所以成立，即. 故“”为三角形函数，命题得证. 【解析】 【分析】（1）由定义中的任意性，将条件不等式转化为.求，构造二次函数，使即可； （2）按与的大小分类讨论，求解函数的值域，再结合定义建立关于的不等式求解可得； （3）利用（1）结论得，转化命题证明，构造函数，设出隐零点探求零点范围，证明即，将零点满足关系式代回化简换元，再构造新函数，证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ①当时，， 则任意，故“”为三角形函数. ②当时，由， 则，； 要使“”为三角形函数， 由，解得， 则有， 所以； ③当时，则， 要使“”为三角形函数，由，解得， 则有， 所以； 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $