甘肃省兰州市第五十一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

兰州五十一中 2024～2025 年度第一学期期中考试试卷 高一数学 第 I 卷（58 分） 一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确 的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1 ．设全集A = {x∈ N∣x < 3}, B = {0,1, 2,3}，则 AB = ( ) A ．{0,1} B ．{1, 2} C ．{0,1, 2} D ．{0,1, 2,3} 2 ．“ x = 4 ”是“ x ≥ 3 ”成立的（ ）条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要 D ．既不充分又不必要 3 ．函数y = 的定义域是 ( ) A ．[−1, +∞ ) B ．(−1, +∞ ) C ．[−1, 4) (4, +∞ ) D ．(−1, 4) U (4, +∞) 4 ．命题“ 彐x0 ∈ R ，x0 (2) + x0 +1 < 0 ”的否定是 ( ) A ．彐x0 ∈ R ，x0 (2) + x0 +1> 0 B ．彐x0 ∈ R ，x0 (2) + x0 +1≥ 0 C ．丫x∈ R，x2 + x+1> 0 D ．丫x∈ R，x2 + x+1≥ 0 5 ．不等式 的解为 ( ) A ．0 < x ≤ 1 B ．x < 0 或x ≥ 1 C ．0 ≤ x ≤ 1 D ．x ≤ 0 或x ≥ 1 6 ．已知函数 3 ，且f = 2 ，则x0 = ( ) A ． 1 B ．2 C ．3 D ．6 7 ．已知函数f (x) 是定义在[0, +∞) 上的增函数，则满足 的 x 的取值范围是 ( ) A ． B ． C ． D . 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 8 ．函数y = x+ 的值域为( ) A ．(−∞, 2] B ．[2, +∞) D . 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9 ．下列说法中正确的是( ) A ．若c > 0 ， ac > bc，则 a > b B ．若 −2 < a < 4 ，1 < b < 3 ，则 −8 < a− 2b < 2 ( m m )C ．若a > b > 0 ，m < 0 ，则 < a b D ．若 −2 < a+ b < 4 ，1 < b− 2a < 3，则 −9 < a− 2b < 3 10 ．下列命题正确的是 ( ) A ．若a，b∈R，且 ab > 0 ， a+ b ≥ 2ab ( 1 4 9 )B ．已知正数x 、y 满足x+ y = 1，则 + 的最小值为 x 1+ y 2 C ．若x > 0 ，则2 − 3x − 的最大值是2 − 4 D ．若x = (x − 2)y ，x > 0 ，y > 0 ，则 x+ 2y 的最小值是9 11 ．定义在 R 上的函数f (x)满足f (x)+ f (y) = f (x + y) ，当 x < 0 时，f (x) > 0 ，则下列说法正确 的是( ) A ．f (0) = 0 B ．f (x)为奇函数 C ．f (x)在区间[m, n]上有最大值f (n) D ．f (2x −1)+ f (x2 − 2) > 0 的解集为{x −3 < x < 1} 第 II 卷（92 分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12 ．已知A = {x| −2 < x < 4 ，x∈ Z}，则Z+ A的真子集的个数是 个. 13 ．已知f (x +1) = x2 − 3x + 2 ，则 f (x) = . 14 ．若当x > 1 时，不等式x + ≥ 2m−1恒成立，则实数m 的取值范围是 . 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 2 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 15 ．已知集合A = {x| x > 2 或x <−1} ，关于x 的不等式x2 − (2a +1)x + a2 + a > 0 的解集为 B. （1）求集合 B； （2）若 AB = B ，求实数a 的取值范围. 16 ．若正实数 a ，b 满足：a+ b = 2 . (1)求 ab的最大值； 求 的最小值； 1 1 (3)求 2 + 2 的最小值. a b 〔x + 2 x ≤ −1 17 ．已知函数f (x) 的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出f (x)的最大值； (2)解不等式f (x) < 2 ； (3)若直线y = k （k 为常数）与函数f (x)的图象有两个公共点，直接写出k 的范围. 18 ．已知函数f (x) 是R 上的偶函数，当x ≤ 0 ，f (x) = −x2 + 4x− 3 ， (1)求函数f (x) 的解析式； (2)若f (2m−1) < f (m+1) ，求实数m 的取值范围. 19．对于函数f (x)，若f (x) = x ，则称实数x 为f (x) 的“不动点”，若f (f (x)) = x ，则称实数x 为f (x) 的“稳定点”，函数f (x)的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A 和 B，即 A = {x f (x) = x}， B = {x f (f (x)) = x}. (1)对于函数f (x) = 2x −1 ，分别求出集合 A 和B； (2)设f (x) = x2 + ax+ b ，若 A = {−1, 3}，求集合B . 第 3 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 兰州五十一中2024～2025 年度第一学期期中考试试卷 高一数学 第 I 卷（58 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D D A C D C AB BC 题号 11 答案 ABD 一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确 的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1 ．C 所以 A∩ B = {0, 1, 2} . 故选：C 2 ．A 【详解】 由小范围推大范围可知为充分不必要条件. 故选：A. 3 ．D ( 〔 x - 4 ≠ 0 l x + 1 > 0 )【详解】要使函数有意义，需满足{ ，解得x > -1 且x ≠ 4 ， 所以函数 的定义域为(-1, 4) U (4, +∞) . 故选：D. 4 ．D 【详解】命题“彐x0 ∈ R ，x0 (2) + x0 +1 < 0 ”的否定是“x ∈ R ，x2 + x +1≥ 0 ”. 故选：D. 5 ．A 则 -1 ≥ 0即 得 x (1- x ) ≥ 0 且x ≠ 0 ，解得 0 < x ≤ 1， 即不等式的解集为{x | 0 < x ≤ 1} . 故选：A 6 ．C 因为f 3，且f 则 或 = 2 ，解得x0 = 3 . 故选：C 7 ．D 【详解】 由题意可知 解不等式得 . 故选：D 8 ．C 【详解】根据题意知函数定义域为 ，令t = 2-x ≥ 0， 所以y = x + 2-x = -t2 + t + 2 = - 当 时， ymax = 所以函数的值域为 . 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9 ．AB 【详解】对于 A ，因为ac > bc ，不等式两边同除以c (c > 0) ，可得a > b ，故 A 正确； 对于 B ，因为1 <b < 3 ，所以-6 < -2b < -2 ，又-2 < a < 4 ， 所以 -8 < a - 2b < 2 ，故 B 正确； 对于 C ，因为a > b > 0 ，所以0 < < ，又m < 0 ，所以 不正确； 对于 D ，令a - 2b = x(a + b) + y(b- 2a) = (x - 2y)a + (x + y)b， 则 解得 ，所以a - 2b = - 因为 -2 < a +b < 4 ，所以-4 < -(a +b) < 2 ， 因为1 < b- 2a < 3 ，所以-3 < -(b - 2a) < -1， 所以 -7 < a - 2b < 1 ，故 D 不正确. 故选：AB. 10 ．BC 【详解】对于选项A ，若a，b 均为负数，不等式不成立，所以A 错误； 对于选项B ，:x + y = 1 ，所以x +（1+ y）= 2 ， 则 ， 所以， 当且仅当 即当 时，等号成立，故B 正确； 对于选项 C ，因为x > 0 ， 3x + 当且仅当 等号成立，所以 2 - 3x - ≤ 2 - 43 ，故C 正确； 对于选项D ，因为x = y ，所以 所以x + 2y =（x + 2y） + 4 ≥ 2 + 4 = 8 ，当且仅当 即x = 4，y = 2 时，等号成 立，所以x + 2y 的最小值是8 ，故D 错误. 故选： BC . 11 ．ABD 由奇偶性的定义判断；C.判断函数的单调性求解；D.利用函数的奇偶性和单调性求解判断. 【详解】解：因为函数f (x)满足f (x) + f (y ) = f (x + y) ， 所以f (0) + f (0) = f (0) ，即2f (0) = f (0) ，则f (0) = 0 ； 令y = -x ，则f (x) + f (-x) = f (0) = 0 ，故f (x)为奇函数， 设x1 , x2 ∈ R ，且x1 < x2 ，则f (x1 ) = f (x1 - x2 + x2 ) = f (x1 - x2 ) + f (x2 ) ， 即f (x1 )-f (x2 ) = f (x1 - x2 ) > 0 ，所以f (x)在 R 上是减函数， 所以f (x)在区间[m, n]上有最大值f (m) ， 由f (2x -1) + f (x2 - 2) > 0 ，得f (x2 + 2x - 3) > f (0) ， 由f (x)在 R 上是减函数，得x2 + 2x - 3 < 0 ，即(x + 3)(x -1) < 0 ， 解得 -3 < x <1 ，所以f (2x -1) + f (x2 - 2) > 0 的解集为{x -3 < x < 1} ， 故选：ABD 第 II 卷（92 分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12 ．7 13 ． x2 - 5x + 6 所以 f (t ) = (t -1)2 - 3(t -1) + 2 = t2 - 5t + 6 ， 故f (x) = x2 - 5x + 6 . 故答案为： x2 - 5x + 6 14 ． (-∞, 2] 故只需3 ≥ 2m -1 ，解得m ≤ 2 ，所以实数m 的取值范围是(-∞, 2] . 故答案为： (-∞, 2] . 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 ．（1） {x x < a 或x > a +1} ；（2） -1≤ a ≤ 1 【解析】（1） 由x2 - (2a +1)x + a2 + a = (x - a)(x - a -1) > 0 ，解不等式，即可求出集合B ； （2） 由 A UB = B ，可得A B ，进而列出不等关系，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】（1） 由题意， x2 - (2a +1)x + a2 + a = (x - a)(x - a -1) > 0 ，即x > a +1 或x < a ， 所以集合B = {x x < a 或x > a +1}. （2）因为A UB = B ，所以A B ， 由 A = {x | x > 2 或x < -1} ， B = {x x < a 或x > a +1}， ( 〔 a ≥ - 1 )可得{la +1 ≤ 2 ，即-1≤ a ≤ 1 . 所以实数a 的取值范围是-1≤ a ≤ 1 . 16 ．(1)1 (2) (3)2 （2） 由 + = + ,) (a +b ) = 1 + + + 4), ，利用基本不等式求 + 的最小值； （3） 由 + = + 7」| =L (「)|((| ab +ba,)2 +2 ab +ba,)」7| ，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】（1）正实数a ，b 满足： a + b = 2 ， 则有 a +b = 2 ≥ 2 ，得ab ≤ 1 ，当且仅当a =b = 1 时等号成立， 所以 ab 的最大值为 1. （2）正实数a ，b 满足： a + b = 2 ， 当且仅当 即 时等号成立， 所以 + 的最小值为 . （3）正实数a ，b 满足： a + b = 2 ， 当且仅当 ，即a = b = 1 时等号成立， 所以 a =b = 1 时， 的最小值为 2. 17 ．(1)图象见解析，最大值为 4 (2){xx < ·2 或x > 4} (3) k < 0 或1 < k < 4 （2）分段求解不等式，再求并集； （3）根据图象，画出y = k 与y=f(x)有 2 个交点，求k 取值范围. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当x =2 时，取得最大值 4. （2）当x ≤ -1时， x +1 ≤1 ，所以f (x) < 2 恒成立， 当-1 < x ≤ 2 时， x2 < 2 -- < x < · , 所以-1< x < · , 当x > 2 时， -x + 6 < 2 → x > 4 ，所以x > 4 ， 综上可知， x < 或x > 4 ， 所以不等式的解集为 （3） 如图， y = k 与y=f(x)有 2 个交点，则k < 0 或1 <k < 4 . (2)(-∞, 0) U (2, +∞) （2）根据函数解析式以及奇偶性分析函数f(x) 的单调性，结合单调性和对称性可得2m -1 > m +1 ，运算 求解即可. 【详解】（1）当x > 0 时，则-x < 0 ， 由题意可得： f(x) = f (-x ) = - (-x )2 + 4(-x ) - 3 = -x2 - 4x - 3 ， 所以函数 f(x) 的解析式为 （2）因为y= - x2 +4x - 3 的开口向下，对称轴为x = 2 ， 可知函数 f(x) 在(-∞, 0] 内单调递增， 且函数f(x) 是R上的偶函数，可知函数f(x) 在[0, +∞) 内单调递减， 若f(2m -1) < f(m +1) ，则 2m -1 > m +1 ， 整理可得m2 - 2m > 0 ，解得m > 2 或m < 0 ， 所以实数m 的取值范围为(-∞, 0) (2, +∞) . 19 ．(1) A = {1}, B = {1} （2）由 A = {-1, 3} ，根据题意，列出方程组，求得a, b 的值，得到f (x) = x2 - x - 3 ，再由f (f(x)) = x ，列 出方程，求得方程的解，即可得到答案. 【详解】（1）解：由f (x) 的“不动点”和“稳定点”的集合为 A = {x f (x ) = x } ， B = {x f (f (x)) = x}， 令f (x) = x ，可得2x -1 = x ，解得x = 1 ； 令f(f (x ))＝x ，可得2(2x -1) -1 = x ，解得x = 1 ， 所以集合 A = {1}, B = {1} . （2）解：由函数f (x) = x2 + ax + b， 因为 ，可得-1 ，即 解得 a = -1, b = -3 ，所以f (x) = x2 - x - 3 ， 可得f (f(x)) = f(x2 - x - 3) = (x2 - x - 3)2 - (x2 - x - 3) - 3 = x ， 整理得(x2 - x - 3)2 - x2 = 0 ，即(x2 - 3)(x2 - 2x - 3) = 0 ， 所以(x - )(x + )( x +1)( x -3) = 0，解得x = ± 或x = 1 或x = 3 ， 所以集合 第 8 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$