专题4.3 平面直角坐标系与几何综合（3大考点9类题型）（考点梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题4.3 平面直角坐标系与几何综合（3大考点9类题型）（考点梳理与题型分类讲解） 第一部分【考点梳理与题型目录】 【考点一】平面直角坐标系中的特殊三角形 【题型1】平面直角坐标系中的等腰三角形...............................................1 【题型2】平面直角坐标系中的直角三角形...............................................2 【题型3】平面直角坐标系中的等边三角形...............................................3 【考点二】平面直角坐标系中的几何变换 【题型4】平面直角坐标系中的图形平移.................................................3 【题型5】平面直角坐标系中的图形轴对称（折叠）.......................................4 【题型6】平面直角坐标系中的图形的旋转...............................................5 【考点三】平面直角坐标系中的其他几何问题 【题型7】平面直角坐标系中“将军饮马”问题...........................................6 【题型8】平面直角坐标系中几何动点问题...............................................6 【题型9】平面直角坐标系中几何规律问题...............................................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】平面直角坐标系中的等腰三角形 【例1】（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点，点C在x轴上，若为等腰三角形，则点C的坐标为 ． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点的坐标为，点为轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，则的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，平面直角坐标系中，，若，且点在轴正半轴上，则点的坐标为（      ） A． B． C． D． 【题型2】平面直角坐标系中的直角三角形 【例2】（23-24八年级上·江西九江·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，点P在坐标轴上，若是直角三角形，则点P的坐标是 ． 【变式1】23-24七年级下·四川德阳·期中）已知三个点，则以这三个点为顶点的三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【变式2】（21-22八年级上·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，，．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【题型3】平面直角坐标系中的等边三角形 【例3】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）在平面直角坐标系中，等边三角形的两个顶点的坐标分别为，，则点的坐标是 ． 【变式1】（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，等边三角形的三个顶点都在坐标轴上，，过点B作，垂线交x轴于点D，则点D的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，点在轴上，是等边三角形，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【题型4】平面直角坐标系中的图形平移 【例4】（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，平移线段至线段，点在线段上，当三角形的面积为时，则点的坐标为 ． 【变式1】（23-24八年级下·四川成都·期中）如果将点向右平移4个单位后，得到的点在第四象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，三角形在平面直角坐标系中，其中点，点，点，将三角形的A，B，C三点中的任意一点平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是 ．    【题型5】平面直角坐标系中的图形轴对称（折叠） 【例5】（22-23八年级下·河南郑州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点、点点C是y轴上一动点，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴上的点D处，则点C的坐标为 ．    【变式1】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点恰好落在边上的点处，若点的坐标为，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式2】（20-21八年级上·广东深圳·期中）如图，长方形，，将其沿折叠，A点落在O点，C点落在D点，折痕为，则D的坐标为 ． 【题型6】平面直角坐标系中的图形的旋转 【例6】（2024·河南洛阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的“赵爽弦图”，正方形的中心与原点重合，轴，正方形的面积为5，正方形的面积为1，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（21-22七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知点、射线上，等于，等于，如果绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示，如果将绕点按顺时针旋转到，那么点的位置可以表示为 ． 【变式2】（2024·内蒙古兴安盟·二模）如图，将绕点O逆时针方向旋转，得到，若点A的坐标为，则点坐标为 ． 【题型7】平面直角坐标系中“将军饮马”问题 【例7】（23-24七年级下·福建·期中）如图，点在坐标轴上，为线段上一动点，为线段上的一动点，则的最小值为 ． 【变式1】（24-25九年级上·安徽宣城·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点、分别是轴、轴的正半轴上的动点，，点是的中点，点的坐标为，则的最小值是（） A． B．5 C． D． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，点坐标为，点在边上，点在的角平分线上移动，则的最大值是 ． 【题型8】平面直角坐标系中几何动点问题 【例8】（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为 ，以线段为边在第三象限内作等边点 D为x轴负半轴上一动点， 连接， 以线段为边在第三象限内作等边，直线与y轴交于点A，则点 A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第一象限内作等边，点为轴正半轴上一动点（），连接，以线段为边在第一象限内作等边，直线与轴交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，动点P，Q分别按照和的路线同时开始运动，到各自的终点时停止．直线l经过原点O，且，过P，Q分别作l的垂线段，垂足分别为E，F．若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒4个单位长度，运动时间为t秒，当与等时，t的值为 ． 【题型9】平面直角坐标系中几何规律问题 【例9】（2024·四川广安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，所有三角形均为等边三角形，已知点，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是 ．    【变式1】（22-23八年级下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为直角边构造等腰直角三角形，再以为直角边构造等腰直角三角形，再以为直角边构造等腰直角三角形，…按此规律进行下去．    （1）的长度为 ；点的坐标为 ； （2）若的面积为16，则n的值为 ． 【变式2】（20-21八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，…，观察每次变换前后的三角形的变化规律，找出规律，推测的坐标分别是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.3 平面直角坐标系与几何综合（3大考点9类题型）（考点梳理与题型分类讲解） 第一部分【考点梳理与题型目录】 【考点一】平面直角坐标系中的特殊三角形 【题型1】平面直角坐标系中的等腰三角形...............................................1 【题型2】平面直角坐标系中的直角三角形...............................................4 【题型3】平面直角坐标系中的等边三角形...............................................6 【考点二】平面直角坐标系中的几何变换 【题型4】平面直角坐标系中的图形平移.................................................9 【题型5】平面直角坐标系中的图形轴对称（折叠）......................................11 【题型6】平面直角坐标系中的图形的旋转..............................................14 【考点三】平面直角坐标系中的其他几何问题 【题型7】平面直角坐标系中“将军饮马”问题..........................................17 【题型8】平面直角坐标系中几何动点问题..............................................20 【题型9】平面直角坐标系中几何规律问题..............................................23 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】平面直角坐标系中的等腰三角形 【例1】（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点，点C在x轴上，若为等腰三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，坐标与图形、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义，注意分类讨论是解题的关键．分当时，时，当时，当时，分别求解即可． 解：， ， 在中，， ， ， 如图，当时，则； 当时，则； 当时， ， 是等边三角形， ， 当时， ， 是等边三角形， ， 即与、重合， 综上所述，点的坐标为或，故答案为：或． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点的坐标为，点为轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，则的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查图形与坐标，涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的定义、坐标与图形性质等知识点的应用，作轴于，求出，证，求出，证，推出，即可得出答案．主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应角相等，对应边相等． 解：作轴于，如图所示： ∵等腰、等腰， ∴， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ， 又点的坐标为， ， ， 故选C． 【变式2】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，平面直角坐标系中，，若，且点在轴正半轴上，则点的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形性质，能根据所给点的坐标得出及的长是解题的关键． 根据所给点的坐标可得出的长，进而得出的长，最后利用勾股定理即可解决问题． 解：点坐标为，点坐标为， ，． 又， ． 在中，，点的坐标为．故选：． 【题型2】平面直角坐标系中的直角三角形 【例2】（23-24八年级上·江西九江·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，点P在坐标轴上，若是直角三角形，则点P的坐标是 ． 【答案】，， 【分析】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理．分类讨论是解题的关键． 如图，由题意知，，则，由题意知，是直角三角形，分，，，三种情况求解即可． 解：如图，由题意知，， ∴， 由题意知，是直角三角形，分，，，三种情况求解； ①当时，如图，则， ②当时，如图， ∴， ∴， ∴； ③当时，如图，同理②可得，； 综上所述，点P的坐标是，，， 故答案为：，，． 【变式1】23-24七年级下·四川德阳·期中）已知三个点，则以这三个点为顶点的三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据点的坐标特点确定位置为平行于x轴，y轴即可确定三角形的形状． 解：，两点的连线平行于轴，，两点的连线平行于y轴， ∵x轴y轴， ∴三角形是直角三角形， 故选D． 【变式2】（21-22八年级上·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，，．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，分别以为边、根据直角三角形全等的判定定理作出符合条件的三角形即可． 解：如图：分别以为边作与全等的三角形各有4个，其中有5个是重合的， 则所有符合条件的三角形个数为7． 故选：D． 【点拨】本题考查的是直角三角形全等的判定，坐标与图形的性质，灵活运用分情况讨论思想、根据直角三角形全等的判定定理不重不漏的找出所有符合条件的三角形是解题的关键． 【题型3】平面直角坐标系中的等边三角形 【例3】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）在平面直角坐标系中，等边三角形的两个顶点的坐标分别为，，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等边三角形的性质、坐标与图形的性质、勾股定理等知识，关键是根据题意画出图形，再根据点的坐标求出等边三角形的高．先根据题意画出图形，求出等边三角形的边长，再求出等边三角形的高，最后可得出答案． 解：如图，当点C在第四象限时，   等边的顶点、的坐标分别为、， ， 过点作于点， 则， ， 点的坐标是， 当点C在第三象限时， 同理可得，点的坐标是， 故答案为：或． 【变式1】（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，等边三角形的三个顶点都在坐标轴上，，过点B作，垂线交x轴于点D，则点D的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，根据，结合三线合一性质，得，继而得到，根据，，得到，继而得到，计算即可． 解：∵等边三角形的三个顶点都在坐标轴上，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，点在轴上，是等边三角形，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质、勾股定理，由题意得出，过点作于，由等边三角形的性质得出，再由勾股定理求出的长，即可得解． 解：∵点的坐标为， ∴， 如图，过点作于， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【题型4】平面直角坐标系中的图形平移 【例4】（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，平移线段至线段，点在线段上，当三角形的面积为时，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，平行线的性质，三角形的面积，坐标与图形变化-平移，表示出面积是解题的关键． 根据平移得出和四边形是平行四边形，再表示出，列出方程解答即可求解； 解：∵，平移线段至线段， ， ∴四边形是平行四边形， ∵ ， 当三角形的面积为时，， 解得：， 则点的坐标为． 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级下·四川成都·期中）如果将点向右平移4个单位后，得到的点在第四象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平移的坐标变换，各象限内点的坐标特征，解不等式组．熟练掌握平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 根据平移的性质表示出平移后的点的坐标，再利用第四象限内点的坐标特点得出答案． 解：∵将点向右平移4个单位后，得到点的坐标为， ∵点在第四象限， ∴， 解得：． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，三角形在平面直角坐标系中，其中点，点，点，将三角形的A，B，C三点中的任意一点平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是 ．    【答案】或或 【分析】本题考查了平移的性质，分点分别平移至点的位置三种情况讨论即可求解，得到平移的方向和距离是解答本题的关键． 解：当点平移至点的位置时，即点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴点向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度的对应点的坐标是，即， 当点平移至点的位置时，即点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点向右平移8个单位长度，再向下平移3个单位长度的对应点的坐标是，即， 当点平移至点的位置时，即点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点的对应点的坐标是， 故答案为：或或． 【题型5】平面直角坐标系中的图形轴对称（折叠） 【例5】（22-23八年级下·河南郑州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点、点点C是y轴上一动点，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴上的点D处，则点C的坐标为 ．    【答案】 【分析】利用勾股定理得，根据折叠得，可得到点的坐标，设点，然后根据勾股定理得，即可求出答案 解：， ， ， ； 由折叠得：， ， ∴点的坐标为， 设点，则， 由折叠得， 在中，， ， 解得：， ． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查的是勾股定理的应用和翻折的性质，能够根据题意计算出相应线段的长是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点恰好落在边上的点处，若点的坐标为，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，根据题意求出EC的长为，是解题的关键．根据折叠的性质得到，所以在中，利用勾股定理求得，则，然后设，则，根据勾股定理列方程求出的长，可得点E的坐标，即可得到答案． 解：∵四边形为长方形，D的坐标为， ∴， ∵矩形沿折叠，使D落在上的点F处， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中， ， 即， 解，即的长为， ∴点E的坐标为，则点的纵坐标为 故选：B． 【变式2】（20-21八年级上·广东深圳·期中）如图，长方形，，将其沿折叠，A点落在O点，C点落在D点，折痕为，则D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，图形的折叠问题．先过D作于G，设，则，根据在中，根据勾股定理可得关于x的方程，进而得到，再根据面积法得到，根据勾股定理得到中，可得，即可得到D的坐标． 解：如图，过D作于G， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， 设，则， ∵， 在中，， ，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 【题型6】平面直角坐标系中的图形的旋转 【例6】（2024·河南洛阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的“赵爽弦图”，正方形的中心与原点重合，轴，正方形的面积为5，正方形的面积为1，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图象，勾股定理等知识，先判断出将绕点顺时针旋转，每次旋转，旋转4次回到原来的位置，则第2024次旋转结束时点回到起点，过G作于M，利用勾股定理求出，，利用等面积法求出，利用勾股定理求出，进而求出，即可求出点G的坐标． 解：∵， ∴每4次一循环， ∵， ∴第2024次旋转结束时，点回到起点， 过G作于M，    ∵正方形的面积为5，正方形的面积为1， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴G的坐标为， 故选：D． 【变式1】（21-22七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知点、射线上，等于，等于，如果绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示，如果将绕点按顺时针旋转到，那么点的位置可以表示为 ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得到最后与的夹角为，点到点的距离为，然后根据点的位置的表示方法求解． 解：将绕点按顺时针旋转到，此时与的夹角为，点到点的距离为，所以点的位置可以表示为． 故答案为： 【点拨】此题主要考查了角的定义，解决本题的关键是理解新坐标系的含义． 【变式2】（2024·内蒙古兴安盟·二模）如图，将绕点O逆时针方向旋转，得到，若点A的坐标为，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化：利用旋转的性质得，，然后利用第二象限内点的坐标特征写出点坐标． 解：∵， ∴， ∵绕点O逆时针方向旋转，得到， ∴，， ∴点坐标为． 故答案为：． 【题型7】平面直角坐标系中“将军饮马”问题 【例7】（23-24七年级下·福建·期中）如图，点在坐标轴上，为线段上一动点，为线段上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，根据点到直线距离垂线段最段可知，的最小值为时，垂线段的长度，连接，如图所示，根据图形与坐标，数形结合得到相关线段长，再由等面积法列方程求解即可得到答案． 解：根据题意，根据点到直线距离垂线段最段可知，的最小值为时，垂线段的长度，连接，如图所示： ， ， 在中，，则， ， ， ，即，解得，则的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查动点最值问题-点到直线距离垂线段最短，涉及图形与坐标、勾股定理、等面积法求线段长等知识，数形结合求出线段长是解决问题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·安徽宣城·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点、分别是轴、轴的正半轴上的动点，，点是的中点，点的坐标为，则的最小值是（） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线性质，勾股定理，三角形三边关系及坐标与图形性质，熟练掌握直角三角形斜边中线性质是解题的关键．连接，在中，点是的中点，可得，从而得出，所以当三点共线时，的值最小，且的最小值，再求解即可． 解：如图，连接， 中，点是的中点， ， 当三点共线时，的值最小，且的最小值， ， ， 的最小值为5， 故选：B 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，点坐标为，点在边上，点在的角平分线上移动，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，得出点关于的对称点在上，作点关于的对称点，过点作交于点，连接，并延长交于点，根据轴对称的性质可得，，结合三角形的三边关系可得出当点移动到点的位置时，，此时值的最大；根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半得出，根据勾股定理求出，得出点的坐标，进一步求出的值． 解：∵，， ∴， ∵点在的角平分线上， ∴， 即点关于的对称点在上， 作点关于的对称点，过点作交于点，连接，并延长交于点，如图： 根据对称可得，， 则在中，， 当点移动到点的位置时，，此时值的最大； 在中，， ∴， 故，， ∴， 故点与点的纵坐标相同， 则此时． 故答案为：． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的三边关系，轴对称的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【题型8】平面直角坐标系中几何动点问题 【例8】（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为 ，以线段为边在第三象限内作等边点 D为x轴负半轴上一动点， 连接， 以线段为边在第三象限内作等边，直线与y轴交于点A，则点 A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、含角直角三角形的性质、勾股定理，先证明得到，进而得出，根据含角直角三角形的性质结合勾股定理求出，即可得解，求出是解此题的关键． 解：、为等边三角形， ，，， ， ， 在和， ， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ， ， 点的坐标为，故选：D． 【变式1】（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第一象限内作等边，点为轴正半轴上一动点（），连接，以线段为边在第一象限内作等边，直线与轴交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“手拉手”的模型是全等三角形，根据三角形全等的性质可得，进而可得，根据含30°角的直角三角形的性质，结合勾股定理即可求解点坐标． 解：，为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ，即点坐标为：，故选：A． 【点拨】本题考查等边三角形中的“手拉手”模型、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，求出的度数是解题关键． 【变式2】（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，动点P，Q分别按照和的路线同时开始运动，到各自的终点时停止．直线l经过原点O，且，过P，Q分别作l的垂线段，垂足分别为E，F．若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒4个单位长度，运动时间为t秒，当与等时，t的值为 ． 【答案】1或2或5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和一元一次方程的应用，解题的关键是恰当分类并利用全等三角形的性质建立方程．判断出再分三种情况讨论，表示出，建立一元一次方程求解即可． 解：∵，， ∴，， 由题意，和是两直角三角形的斜边， 当与全等时，， ①当点P在上，点Q在上时， 根据题意可得，时，，， ∴，， ∴， 解得； ②当点P，Q都在上时，点P，Q重合时，两三角形重合时， P点行程为，Q点行程为， ∴， 解得； ③当点P在上，点Q在上且点Q与点A重合时， ， ∴． 解得； 综上所述，当与全等时，满足题意的t的值为1或2或5．故答案为：1或2或5． 【题型9】平面直角坐标系中几何规律问题 【例9】（2024·四川广安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，所有三角形均为等边三角形，已知点，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及规律型中点的坐标，找出点坐标变化的规律“为奇数时横坐标为，为偶数时横坐标为3，纵坐标为”成为解题的关键． 根据等边三角形的性质可得出根据点的变化找出变化规律为奇数时横坐标为，为偶数时横坐标为3，纵坐标为，然后根据规律即可解答． 解：根据等边三角形的性质可得出以及坐标可得： 观察发现规律：为奇数时横坐标为，为偶数时横坐标为3，纵坐标为， ∵为偶数， ∴的横坐标为3，纵坐标为， ∴的坐标是． 故答案为：． 【变式1】（22-23八年级下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为直角边构造等腰直角三角形，再以为直角边构造等腰直角三角形，再以为直角边构造等腰直角三角形，…按此规律进行下去．    （1）的长度为 ；点的坐标为 ； （2）若的面积为16，则n的值为 ． 【答案】 2 6 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，，，…，，再利用、、、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴的特点可得到点在y轴负半轴上，即可确定点的坐标； （2）由（1）得：，，，，…， 可得，的面积为，再建立方程求解即可． 解：（1）∵，等腰直角三角形的直角边在x轴的负半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，…， ∴，，，，…， ∵、、、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴， ， ∴点在第三象限， ∵， 由等腰直角三角形的性质可得的横坐标与纵坐标都为， ∴点的坐标为：． 故答案为：；； （2）由（1）得：，，，，…， ∴， ∴的面积为， ∵的面积为16， ∴， ∴， ∴，解得； 故答案为：6 【点拨】本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于；斜边等于直角边的倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征，勾股定理的应用． 【变式2】（20-21八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，…，观察每次变换前后的三角形的变化规律，找出规律，推测的坐标分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图中各点的坐标的变化，依次写出，．再根据点的坐标变化的特点写出的坐标即可． 解：， ； ， ； 故选：D． 【点拨】此题考查了坐标与图形的变化，正确写出前几个点的坐标、找出坐标变化的规律是解答此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$