训练04 不等式性质及二次不等式47道期中期末真题训练-2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 训练04 不等式性质及二次不等式47道期中期末真题训练 一、单选题 1．（2023-24高一上·江苏盐城·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（2023-24高一上·广东东莞·期中）设，，，则的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 3．（2023-24高三上·山东聊城·期中）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 4．（2023-24高二下·云南昭通·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2023-24高一上·河北石家庄·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（2023-24高一下·浙江杭州·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2023-24高一上·云南·期中）小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低 C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D．丙次购买葡萄的平均价格无法比较 8．（2023-24高三上·贵州贵阳·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2023-24高一上·广东佛山·期中）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（2023-24高三上·山东聊城·期中）若使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（2023-24高三上·山东聊城·期中）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（2023-24高一·全国·课后作业）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 13．（2023-24高一上·湖北武汉·期中）设，已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 14．（2023-24高一上·天津·期中）已知表示不超过的最大整数，例如，则关于的方程的解集为（    ） A． B．，或 C． D．，或 15．（2023-24高一上·辽宁沈阳·期中）设，若关于的不等式的解集中的整数解个数恰为3个，则满足条件的实数所在区间可以是（    ） A． B． C． D． 16．（2023-24高一上·广东佛山·期中）已知的解集为，关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 17．（2023-24高一上·湖北孝感·期中）已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 18．（2023-24高一上·河南·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 19．（2023-24高一上·浙江·期中）设表示不超过的最大整数，如，，则当时，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（2023-24高一上·河南·期中）已知，则下列选项可以成立的是（    ） A． B． C． D． 21．（2023-24高二上·山东威海·期末）已知关于x的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 22．（2023-24高一上·江苏南京·期中）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值可以是（    ） A．6 B． C． D．2 23．（2023-24高一上·江苏连云港·期中）对于给定实数，关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C．R D． 24．（2023-24高二下·河南开封·期末）有下列式子：①；②；③；④.其中，可以是的一个充分条件的序号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 25．（2023-24高一上·河南洛阳·期末）若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 26．（2023-24高一上·山西太原·期中）若不等式的解集为R，则实数a可能的取值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 三、填空题 27．（2023-24高一上·北京·期中）能说明“若，则”为假命题的一组的值依次为 ; ． 28．（2023-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）已知，则的取值范围是 . 29．（2023-24高一上·江西·期中）已知，则与的大小关系为 . 30．（2023-24高一上·全国·课后作业）单板滑雪是北京冬奥会比赛项目之一，如图，若，某运动员自起跳点起跳后的运动轨迹（虚线部分）可近似看作一元二次函数图象，运动员竖直高度（单位：m）与距离起跳点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系式，则运动员竖直高度不低于48m时，水平距离最多为 m. 31．（2023-24高一上·上海浦东新·期中）不等式的解集为，则实数的取值范围为 32．（2023-24高二下·福建福州·期中）已知，若关于的不等式的解集中恰有3个整数解，则的取值范围是 ． 33．（2023-24高二下·湖南张家界·期末）记为，，中最小的数.已知，且，则的最大值为 . 34．（2023-24高一上·辽宁沈阳·期中）若，，，则，的大小关系是 . 35．（2023-24高一下·江苏连云港·期中）已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是 36．（2023-24高一上·上海·期末）设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是 ． 37．（2023-24高一上·江苏盐城·期末）若关于的不等式的解集中只有一个元素，则实数的取值集合为 . 38．（2023-24高一下·河北唐山·期末）已知关于x的不等式组的整数解的集合为,则实数k的取值范围是 ． 39．（2017·天津·一模）已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为 ． 四、解答题 40．（2023-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 41．（2023-24高一上·湖南衡阳·期中）（1）若，试比较与的大小； （2）已知，，求的取值范围. 42．（2023-24高一上·海南儋州·期中）比较下列两组代数式的大小 (1)和 (2)与 43．（2023-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）设命题：实数满足，其中，命题：实数满足. (1)若，且和都是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 44．（2023-24高一上·广东汕头·期末）已知关于x的不等式 的解集为或. (1)求a， b的值; (2)当，且满足 时，有 恒成立，求k的取值范围. 45．（2023-24高一上·辽宁·期中）已知. (1)当时，方程的两根分别为，，若存在x，使成立，求m的取值范围； (2)若，求不等式的解集. 46．（2023-24高一上·山东济宁·期中）已知关于的不等式，其解集为. (1)求该不等式的解集； (2)对，不等式恒成立，试求实数的取值范围. 47．（2023-24高一上·江西宜春·期中）已知关于的一元二次方程. (1)若方程两根之差的绝对值为，试求的值； (2)若方程两不等实根都小于5，试求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 训练04 不等式性质及二次不等式47道期中期末真题训练 一、单选题 1．（2023-24高一上·江苏盐城·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】A选项：当时，，A选项错误； B选项：当，时，成立，，B选项错误； C选项：，，，所以，C选项错误； D选项：，则，又，所以，D选项正确； 故选：D. 2．（2023-24高一上·广东东莞·期中）设，，，则的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 而，，而， ，即，综上. 故选：B． 3．（2023-24高三上·山东聊城·期中）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】由，解得或， 又“或”“”， “” “或”， 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：C. 4．（2023-24高二下·云南昭通·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由得或，所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 5．（2023-24高一上·河北石家庄·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为，即，解得， 所以不等式的解集是． 故选：A 6．（2023-24高一下·浙江杭州·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，满足，但，故充分性不成立， 若，当时，必有成立，当时，必有，故必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件，故B正确. 故选：B 7．（2023-24高一上·云南·期中）小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低 C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D．丙次购买葡萄的平均价格无法比较 【答案】A 【详解】设两次葡萄的单价分别为元/千克和元/千克，且， 则小海两次均购买3千克葡萄，平均价格为元/千克， 小港两次均购买50元葡萄，平均价格为元． 因为， 所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低． 故选：A. 8．（2023-24高三上·贵州贵阳·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，则， 因为， 当且仅当时等号成立，由，解得. 故的最小值为. 因为恒成立， 所以，即， 解得，即. 故选：D. 9．（2023-24高一上·广东佛山·期中）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 10．（2023-24高三上·山东聊城·期中）若使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设不等式的解集，不等式的解集， 由题意知，， 又不等式，解得，或， 即， 又不等式， 当，即时，解得，即，满足， 当时，解得，即，满足， 当，即时，解得，即， 要使，则，解得 综上知，， 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的关键是将问题转化为集合包含关系求参数的范围，再解含参数的不等式讨论什么时候符合条件. 11．（2023-24高三上·山东聊城·期中）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以且，即且， ， ，则，，当且仅当时等号成立， 所以， 故选：D． 12．（2023-24高一·全国·课后作业）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， 得，即， ， 所以，即， 故选：D 13．（2023-24高一上·湖北武汉·期中）设，已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】时，， ， 故. 故选：B. 14．（2023-24高一上·天津·期中）已知表示不超过的最大整数，例如，则关于的方程的解集为（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】D 【详解】由题意得，从而可知：， 化简得：，解之得：或， 故解集为：，故D项正确. 故选：D 15．（2023-24高一上·辽宁沈阳·期中）设，若关于的不等式的解集中的整数解个数恰为3个，则满足条件的实数所在区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】原不等式等价于，不妨设不等式的解集为， 作出函数的图象如图所示， 易知当，此时不等式的解集不只有三个整数解， 要满足题意需， 又，所以， 则，， 此时还需，整理得， 此时C正确，其余选项错误. 故选：C. 16．（2023-24高一上·广东佛山·期中）已知的解集为，关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的解集为，则，且，即. 故，即，则， 故，解得或；或，无解. 综上有. 故选：A 17．（2023-24高一上·湖北孝感·期中）已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由题知， 因为a，b为正实数，所以由得，即， 所以， 当且仅当，且，即，时，等号成立， 所以，即， 所以，整理得， 解得，所以正数x的最大值为2． 故选：D． 二、多选题 18．（2023-24高一上·河南·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意得，A正确； 由，得，所以，B正确； 由，得，则，C错误； 由，得，D正确. 故选：ABD. 19．（2023-24高一上·浙江·期中）设表示不超过的最大整数，如，，则当时，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，因为表示不超过的最大整数，所以，故A对； 对于B，取，则，得， ，故B不成立. 对于C，取，， ，得，故C不成立. 对于D，设，， 则，而； 当时，，此时， 当时，，此时， 综上：，故D对. 故选：AD 20．（2023-24高一上·河南·期中）已知，则下列选项可以成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】当时，此时，则可取2，故A正确； 当时，此时，不成立，故B错误； 当时，此时，则可取3，故C正确； 当时，即，此时不成立，故D错误. 故选：AC. 21．（2023-24高二上·山东威海·期末）已知关于x的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】BD 【详解】A选项，∵关于x的不等式的解集为或， ∴，A选项错误； BC选项，已知和3是关于x的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； D选项，不等式，即，即， 解得或，D正确． 故选：BD 22．（2023-24高一上·江苏南京·期中）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值可以是（    ） A．6 B． C． D．2 【答案】BC 【详解】原不等式可化为：， 由解集中恰有2个整数，可得， 故选：BC. 23．（2023-24高一上·江苏连云港·期中）对于给定实数，关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C．R D． 【答案】ACD 【详解】时，不等式化为，，解集为， 时，不等式化，解集为， 时，不等式化为，，即解集为， 时，不等式化为， 时，或，解集为或， 时，或，解集为或， 故选：ACD． 24．（2023-24高二下·河南开封·期末）有下列式子：①；②；③；④.其中，可以是的一个充分条件的序号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BCD 【详解】，， ，，. ②③④是的充分条件. 故选：BCD. 25．（2023-24高一上·河南洛阳·期末）若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由已知可得，和是方程的两根，且， 所以. 又，则，则． 又，则，则． 故选:BC． 26．（2023-24高一上·山西太原·期中）若不等式的解集为R，则实数a可能的取值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BCD 【详解】因为不等式的解集为R，则当时，恒成立，即有符合题意， 当时，，解得， 所以实数a的取值范围是，选项A不满足，BCD都满足. 故选：BCD 三、填空题 27．（2023-24高一上·北京·期中）能说明“若，则”为假命题的一组的值依次为 ; ． 【答案】 1（答案不唯一） （答案不唯一，只要或或均可） 【详解】若，则由，因此假命题时，只要满足或或即可，如， 故答案为：1；．（答案不唯一） 28．（2023-24高一上·辽宁葫芦岛·期中）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以. 因为，所以，则. 故答案为： 29．（2023-24高一上·江西·期中）已知，则与的大小关系为 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以，故. 故答案为：. 30．（2023-24高一上·全国·课后作业）单板滑雪是北京冬奥会比赛项目之一，如图，若，某运动员自起跳点起跳后的运动轨迹（虚线部分）可近似看作一元二次函数图象，运动员竖直高度（单位：m）与距离起跳点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系式，则运动员竖直高度不低于48m时，水平距离最多为 m. 【答案】97.5 【详解】由题意可得，， 即， 解得， 因此，运动员水平距离最多为97.5m. 故答案为：97.5. 31．（2023-24高一上·上海浦东新·期中）不等式的解集为，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】当时，恒成立，满足题意； 当时，由题知，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 32．（2023-24高二下·福建福州·期中）已知，若关于的不等式的解集中恰有3个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由于，， 则不等式的解为， 由于恰有3个解，其中，于是3个解为， 则要求，解出， 综上，． 故答案为： 33．（2023-24高二下·湖南张家界·期末）记为，，中最小的数.已知，且，则的最大值为 . 【答案】 【详解】设t=min{y-x,z-y,1-z}, 则t≤y-x, 即2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z, 三式累加可得：4t≤1+(y-2x) ≤1,所以t≤. 取显然满足且,此时t= 所以 故答案为： 34．（2023-24高一上·辽宁沈阳·期中）若，，，则，的大小关系是 . 【答案】 【详解】由,有，， 则，故, 故答案为：. 35．（2023-24高一下·江苏连云港·期中）已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是 【答案】 【详解】当时，，与客观事实矛盾， 故此时不等式的解集为，符合； 当时，为一元二次不等式，若此不等式的解集为， 则有， 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 36．（2023-24高一上·上海·期末）设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为， 由不等式的解集是区间的真子集，可得； 当时，不等式的解集为，不符合题意； 当时，不等式的解集为，符合题意， 综上可得，的取值范围是. 故答案为： 37．（2023-24高一上·江苏盐城·期末）若关于的不等式的解集中只有一个元素，则实数的取值集合为 . 【答案】 【详解】当时，原不等式即为，原不等式的解集中有无数个元素，不合乎题意； 当时，不等式等价于，因为不等式组的解集中只有一个元素， 则恒成立且方程有两个相等的实数根， 即，解得； 当时，不等式等价于，因为不等式组的解集中只有一个元素， 则恒成立且方程有两个相等的实数根， 即，解得. 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 38．（2023-24高一下·河北唐山·期末）已知关于x的不等式组的整数解的集合为,则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，解得或， 由，即， 当时，的解为， 故不等式组的解集为， 因为，不符合不等式组的解集中有整数，故舍去； 当时，不等式为 ，即， 所以不等式无解，不符合题意，故舍去； 当时，的解为， 若需不等式组的整数解的集合为， 由数轴可知只需，解得， 综上，实数k的取值范围是. 故答案为：. 39．（2017·天津·一模）已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为 ． 【答案】 【详解】因为对于一切实数恒成立， 所以，且，所以； 再由，使成立， 可得，所以， 所以， 因为，即，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为， 故答案为： 四、解答题 40．（2023-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1），所以， 故不等式的解集为； （2），所以， 故不等式的解集为； （3）因为的判别式， 故原不等式的解集为； （4），所以或， 故不等式的解集为. 41．（2023-24高一上·湖南衡阳·期中）（1）若，试比较与的大小； （2）已知，，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）因为， 所以； （2）设， 则，解得， 所以， 因为，则， 所以，即. 42．（2023-24高一上·海南儋州·期中）比较下列两组代数式的大小 (1)和 (2)与 【答案】(1)； (2). 【详解】（1） （2） 43．（2023-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）设命题：实数满足，其中，命题：实数满足. (1)若，且和都是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，不等式为，解得，即， 由，得，即， 由和都是真命题，得， 所以实数的取值范围是. （2）由，，得，即命题，由（1）知命题， 因为是的充分不必要条件，因此或，解得或，即， 所以实数的取值范围是. 44．（2023-24高一上·广东汕头·期末）已知关于x的不等式 的解集为或. (1)求a， b的值; (2)当，且满足 时，有 恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1), (2) 【详解】（1）因为不等式的解集为或（）， 所以1和a是方程的两个实数根且， 所以，解得； （2）由（1）知，且，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 依题意有，即， 所以，解得， 所以k的取值范围为. 45．（2023-24高一上·辽宁·期中）已知. (1)当时，方程的两根分别为，，若存在x，使成立，求m的取值范围； (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）解：由题意知，方程的两根分别为， 则，，所以， 因为，所以， 根据绝对值的几何意义，可得， 当且仅当时，等号成立， 又因为存在，使成立，可得，解得， 所以m的取值范围为. （2）解：若，不等式等价于， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为或； ④当时，不等式的解集为； ⑤当时，不等式的解集为或. 46．（2023-24高一上·山东济宁·期中）已知关于的不等式，其解集为. (1)求该不等式的解集； (2)对，不等式恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）不等式等价于，即， 所以，解得， 故所求不等式的解集. （2）令， 对， 不等式恒成立等价， 即，解得. 所求实数的取值范围是. 47．（2023-24高一上·江西宜春·期中）已知关于的一元二次方程. (1)若方程两根之差的绝对值为，试求的值； (2)若方程两不等实根都小于5，试求的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）若方程两根为，，则，且，， 所以，即， 所以或，经检验满足，故或. （2）令，若方程两不等实根都小于5，则，可得或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$