精品解析：河南省驻马店市经济开发区2024-2025学年高一上学期第一次月考（10月）数学试题（A卷）

2024—2025学年度上期第一次月考 高一数学试卷（A卷） 一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 下列所给的对象能组成集合的是（ ） A. “金砖国家”成员国 B. 接近1的数 C. 著名的科学家 D. 漂亮的鲜花 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合元素的确定性对选项逐一分析，由此判断出正确选项. 【详解】对于A，“金砖国家”成员国即巴西，俄罗斯，印度，中国，南非，能组成集合，故A正确； 对于B，C，D三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合. 故选：A. 2. 已知集合，则集合中的元素个数为 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】由已知得中的元素均为偶数， 应为取偶数，故 ，故选D. 3. 设集合，，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，则=，所以 故选B. 4. 若，是两个集合，则下列命题中是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】A 【解析】 【分析】由交集，并集，补集的定义直接求解即可； 【详解】对于A，如果，那么，故A正确； 对于B，如果，那么，故B错误； 对于C，如果，那么，故C错误； 对于D，如果，那么，故D错误. 故选：A. 5. 若，则“”是“”的 A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件的定义：若 ,那么是的充分条件，判断即可得出答案． 【详解】∵， ∴是的充分条件． 或，所以不是的必要条件． 综上选A. 【点睛】本题考查充分条件的定义，需要注意分清楚谁是条件，谁是结果，谁可以推出谁，属于基础题． 6. “”是“”的（ ）． A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用两个方程成立的条件考察它们的推出关系即可得解. 【详解】由得x=0且y=2，一定有成立， 由得x=0或y=2，不一定有成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 7. 将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价（元/个）的取值范围应是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，结合条件列式，根据，求的取值范围，即可得到的取值范围. 【详解】设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元， 则. 要使商家利润有所增加，则必须使，即，得，所以的取值为. 故选：A 8. 给出下面三个推导过程： ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以2； ②因为a∈R，a≠0，所以a≥24；； ③因为x，y∈R，xy<0，所以[（）+（）]≤﹣22 其中正确的推导过程为（ ） A. ①② B. ②③ C. ② D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据∈(0，＋∞)，（），（）均为正数，符合基本不等式成立的条件，判断①，③正确；根据，a不一定是正数判断②错误 【详解】①因为a，b∈(0，＋∞)，所以∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确； ②因为a∈R，a≠0，，a不一定是正数，故不符合基本不等式成立的条件， 所以＋a≥24是错误的； ③由xy<0得均为负数，但在推导过程中将看成一个整体提出负号后，（），（）均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确． 故选：D 【点睛】本题考查的知识点是基本不等式的适用范围，正确理解基本不等式使用时“一正，二定，三相等”三个原则的实际含义是解答的关键． 二、多选题：（每题共3小题每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对一个得3分；若共有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 下面给出的几个关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据集合的关系判断，注意集合中的元素． 【详解】A选项，中有元素，中有元素、，不包含于，A错， B选项，中有元素，中有元素、，不包含于，B错， C选项，∵，∴，正确，C正确， D选项，是任意集合的子集，D对， 故选：CD． 10. (多选)对下列命题的否定，其中说法正确的是（ ） A. p：∀x≥3，x2－2x－3≥0；p的否定：∃x≥3，x2－2x－3<0 B. p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p的否定：每一个四边形的四个顶点共圆 C. p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形 D. p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；p的否定：∀x∈R，x2＋2x＋2>0 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题，直接写出四个命题的否定，即可判断. 【详解】对于A：p：∀x≥3，x2－2x－3≥0；因为对全称命题的否定用特称量词，所以p的否定：∃x≥3，x2－2x－3<0.故A正确. 对于B：p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；因为对特称命题的否定用全称量词，所以p的否定：每一个四边形的四个顶点共圆.故B正确. 对于C：若p：有的三角形为正三角形，则p的否定：所有的三角形都不是正三角形，故C错误． 对于D：p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；因为对特称命题的否定用全称量词，所以p的否定：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.故D正确. 故选：ABD 11. 如图所示，4个长为，宽为的长方形，拼成一个正方形，中间围成一个小正方形，则以下说法中正确的是（ ） A. B. 当时，，，，四点重合 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据图形的构成，结合面积之间的关系即可求出答案. 【详解】由图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有，故A正确； 因为正方形的面积为，结合图形可知，且当α=b时，，，四点重合，故BD正确； 但是正方形的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定，因此选项C错误. 故选：ABD 【点睛】本题考查了，，的几何意义，利用图形可得到面积之间的关系，考查了数形结合思想，属于中档题. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 一元二次函数的图象的顶点坐标是_______. 【答案】 【解析】 【分析】把一元二次函数写成顶点式，根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标． 【详解】由， 则一元二次函数的图象的顶点坐标是， 故答案为： 13. 不等式的解集为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可； 【详解】不等式等价于，即， 解得， 所以不等式的解集为， 故答案为：. 14. 已知不等式的解集为，则_______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用三个二次的关系，将不等式的解集转化成方程的根，利用韦达定理求出即得. 【详解】依题意，方程有两根为1和2，且， 由韦达定理，，解得，故. 故答案为：4. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，. （1）若是的真子集，求的取值范围； （2）若是的子集，求的取值范围； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由真子集的定义，确定的取值范围； （2）由子集的定义，确定的取值范围； （3）由集合相等求出的值. 【小问1详解】 若是的真子集，则由图知，， 故的取值范围为. 【小问2详解】 若是的子集，已知，则， 则由图知，， 故的取值范围为. 【小问3详解】 若，则. 16. 已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(∁UA)＝∅，求实数m的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据可知，集合是集合的子集.再对的值进行分类讨论，求得实数的值. 【详解】A＝{－1,2}，B∩(∁UA)＝∅等价于B⊆A. 当m＝0时，B＝∅⊆A； 当m≠0时，B＝{－}． ∴－＝－1或－＝2，即m＝1或m＝－. 综上，m的值为0,1，－. 【点睛】本小题主要考查集合交集、集合并集、集合补集的概念，还考查了子集的概念.在考虑集合时，用到了分类讨论的数学思想.属于中档题. 17. 用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假. （1）所有实数x都能使x2+x+1＞0成立； （2）对所有实数a，b，方程ax+b＝0恰有一个解； （3）一定有整数x，y，使得3x﹣2y＝10成立； （4）所有的有理数x都能使x2x+1是有理数. 【答案】（1）∀x∈R，x2+x+1＞0；真命题；（2）∀a，b∈R，ax+b＝0恰有一个解；假命题；（3）∃x，y∈Z，3x﹣2y＝10；真命题；（4）∀x∈Q，x2x+1是有理数；真命题. 【解析】 【分析】对于题目中的命题，先用量词符号“∀”“∃”表述命题，再判断真假性即可. 【详解】解：对于（1），所有实数x都能使x2+x+1＞0成立，改写为：∀x∈R，x2+x+1＞0， 因为判别式＝1﹣4＝﹣3＜0，所以x2+x+1＞0，（1）是真命题； 对于（2），对所有实数a，b，方程ax+b＝0恰有一个解，改写为：∀a，b∈R，ax+b＝0恰有一个解，因为a＝0，b≠0时，方程ax+b＝0无解，所以（2）是假命题； 对于（3），一定有整数x，y，使得3x﹣2y＝10成立，改写为：∃x，y∈Z，3x﹣2y＝10， 因为x＝4，y＝1时，3×4﹣2×1＝10，所以（3）是真命题； 对于（4），所有的有理数x都能使x2x+1是有理数，改写为：∀x∈Q，x2x+1是有理数，因为、、1和x都是有理数，所以x2x+1是有理数，（4）是真命题. 18. 已知，，求证：. 【答案】 ，，又， ，即，即，当且仅当，即时取等号. 【解析】 【分析】由题意可得且，将所证不等式转化为证明不等式，并将不等式的左边变形为，利用基本不等式证明即可. 【详解】略 【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式成立，证明时要注意对代数式进行合理配凑，同时也要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 19. 解关于的不等式：. 【答案】 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】先将不等式分解因式，对参数分类讨论，结合二次函数的图象即可依次求解. 【详解】由，可得， ① 当时，可得，不等式的解集为； ② 当时，不等式可化为， 若，则，不等式解集为； 若，则不等式解集为； 若，则，不等式解集为. ③ 当时，不等式可化为， 其解集为. 综上可得：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上期第一次月考 高一数学试卷（A卷） 一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 下列所给的对象能组成集合的是（ ） A. “金砖国家”成员国 B. 接近1的数 C. 著名的科学家 D. 漂亮的鲜花 2. 已知集合，则集合中的元素个数为 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 设集合，，，则 A. B. C. D. 4. 若，是两个集合，则下列命题中是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 5. 若，则“”是“”的 A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 无法判断 6. “”是“”的（ ）． A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价（元/个）的取值范围应是（ ） A. B. C. D. 8. 给出下面三个推导过程： ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以2； ②因为a∈R，a≠0，所以a≥24；； ③因为x，y∈R，xy<0，所以[（）+（）]≤﹣22 其中正确的推导过程为（ ） A. ①② B. ②③ C. ② D. ①③ 二、多选题：（每题共3小题每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对一个得3分；若共有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 下面给出的几个关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. (多选)对下列命题的否定，其中说法正确的是（ ） A. p：∀x≥3，x2－2x－3≥0；p的否定：∃x≥3，x2－2x－3<0 B. p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p的否定：每一个四边形的四个顶点共圆 C. p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形 D. p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；p的否定：∀x∈R，x2＋2x＋2>0 11. 如图所示，4个长为，宽为的长方形，拼成一个正方形，中间围成一个小正方形，则以下说法中正确的是（ ） A. B. 当时，，，，四点重合 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 一元二次函数的图象的顶点坐标是_______. 13. 不等式的解集为_______. 14. 已知不等式的解集为，则_______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，. （1）若是的真子集，求的取值范围； （2）若是的子集，求的取值范围； （3）若，求的值. 16. 已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(∁UA)＝∅，求实数m的值． 17. 用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假. （1）所有实数x都能使x2+x+1＞0成立； （2）对所有实数a，b，方程ax+b＝0恰有一个解； （3）一定有整数x，y，使得3x﹣2y＝10成立； （4）所有的有理数x都能使x2x+1是有理数. 18. 已知，，求证：. 19. 解关于的不等式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $