精品解析：江西省上饶市玉山文苑学校2024-2025学年高一上学期第二次检测数学试卷

江西省上饶市玉山文苑学校2024-2025学年高一上学期第二次检测数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据全集和补集的概念可直接得结果. 【详解】因为，，所以或. 故选：B 2. “”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的包含关系以及小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围即可求解. 【详解】解：， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知均为实数，下列不等关系推导不成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，利用不等式的性质即可判断；对于D，举反例判断． 【详解】对于A，利用不等式的对称性易知，若，则，故A正确： 对于B，，说明，则，故B正确： 对于C，利用不等式的可加性易知，若，，则，故C正确： 对于D，取，，，，满足条件，但，故D错误． 故选：D． 4. 已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（    ） A. B. 是奇函数 C. D. 的图象关于点对称 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法可得，即可判断A，利用，即可根据奇函数的定义判断B，结合奇函数的性质，即可求解C，利用可判断的图象关于点对称，即可判断D. 【详解】对于A，取，则， 即，得，故A正确； 对于B，取，则， 得，故是奇函数，B正确； 对于C，对任意的都有， 可得，即， 因此，故C正确； 对于D，由于， 因此的图象关于点对称，故D错误. 故选：D. 5. 下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可. 【详解】A中，（），故A错误； B中，，故B错误； C中，（），故C正确； D中，，故D错误. 故选：C. 6. 已知函数，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将代入分段函数的解析式计算即可. 【详解】， 又， 所以. 故选：C. 7. 下列命题中，不正确命题的个数为（ ）． ①函数与它的反函数的图像没有公共点； ②若函数有反函数，则它一定是单调函数； ③若函数存在反函数，则必有成立； ④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】根据原函数与反函数图象和性质之间的关系，逐一分析四个结论的真假，可得答案． 【详解】当时，，， 此时函数与它的反函数的图像有两个公共点，故①错误； ②若函数有反函数， 则函数一定是一一映射，但它不一定是单调函数；故②错误 ③若函数存在反函数，若x不属于函数的定义域时， 无意义； 当x不属于函数的定义域时，无意义；故③错误； ④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性，故④正确； 故不正确的命题的个数为3个， 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知不等式的解集为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 有最大值 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法判断A；由题意可知方程的一个根为，将代入，再结合，可得，从而判断B；将代入，可得，从而得，利用基本不等式判断C；将、代入，求解后即可判断D. 【详解】解：因为不等式的解集为， 所以，故A正确； 由题意可知方程的一个根为， 所以， 又因为， 所以，即，故B错误； 因为，， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 因为，， 所以， 即为，， 即， 解得：或， 所以原不等式的解集为：，故D正确. 故选：ACD. 9. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，下列叙述正确的是（ ） A. B. 关于对称 C. 关于对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用奇偶性得到恒等式，再利用赋值思想即可判断选项. 【详解】因为为奇函数，所以则可推出关于对称，即故A正确，B错误； 因为为偶函数，所以则关于对称，故C正确；由令得，， 由令得，， 所以，所以， 又因为，则，所以，故D正确， 故选：ACD. 10. 已知函数的定义域为R，且，的图象关于对称.当时，，若，则下列说法正确的是（ ） A. 的周期为4 B. 的图象关于对称 C. D. 当时， 【答案】AB 【解析】 【分析】由已知可得，结合，可求周期判断A；由已知可得的图象关于对称，结合对称性与周期性可得的图象关于对称，判断B；由已知可得，，结合已知可求判断C；利用对称性可求当时，的解析式判断D. 【详解】因为的图象关于对称，所以， 又，所以，所以， 所以的周期为4，故A正确； 因为的图象关于对称，所以的图象关于对称， 因为，所以关于对称，所以的图象关于对称， 又的周期为4，所以可得的图象关于对称，故B正确； 因为关于对称，所以， 又的图象关于对称，所以，所以， ， 又，所以，解得, 所以当时，， ，故C错误； 当，则， 因为，所以，故D错误. 故选：AB. 【点睛】思路点睛：本题解题思路在于利用函数的对称性及相关条件推断出函数具备的轴对称和中心对称的特征，再利用对称性推断结论，得到相关点的函数值，确定参数值，得到函数的解析式，再利用函数对称性求出相应解析式. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数t的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式变形为，然后由单调性可知恒成立，利用二次函数性质求解即可. 【详解】， 因为在上单调递增，在上单调递增，且连续， 所以在上单调递增， 所以不等式， 所以对任意，恒成立，即 因为开口向下， 所以，解得. 故答案为： 12. 函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一段函数的值域，再求并集即可. 【详解】当时，在上单调递减，所以； 当时，在上单调递增，所以； 综上所述，， 故答案为：. 13. 已知实数x，y满足，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】设，利用同构结合二次方程的解可得，故可求的值. 【详解】设，则， 故即， 整理得到：， 故为方程的正根， 故，故，故， 故答案为：3. 【点睛】思路点睛：与对数有关的求值问题，应该利用指对数的转化把对数问题转化指数问题来处理，转化过程中注意观察所得代数式的结构便于利用同构策略处理, 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 14. 函数 （1）当恒成立时，求实数的取值范围； （2）当时方程有两个实数根，且，求实数的取值范围 （3）若恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1）； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）讨论，根据一元二次不等式恒成立及判别式列不等式求参数范围； （2）由一元二次不等式根的个数得或，再应用韦达定理及已知条件求参数范围； （3）根据不等式恒成立，将主元看作并结合一元一次不等式性质列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 当时，恒成立； 当时，恒成立，则，解得； 当时，显然不恒成立. 综上，的取值范围是. 【小问2详解】 由有两个实数根，所以，且，解得或，所以， 因为，即，则，解得或， 综上，或. 【小问3详解】 若恒成立， 对恒成立， 则，即为. 15. 已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ∴， ，即， 所以函数在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解. 【小问1详解】 ，， ，解得， . 【小问2详解】 在上单调递减，证明略； 【小问3详解】 由对任意恒成立得， 由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， ， 所求实数的取值范围为. 16. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数. （1）证明：函数是奇函数，并写出函数的对称中心； （2）判断函数的单调性（不用证明），若，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明: 由题意，令， 显然函数的定义域为全体实数，它关于原点对称， 且， 所以函数是奇函数， 所以函数的图象关于点对称. （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇偶函数的判定方法证得为奇函数，根据的对称中心即可判断出函数的对称中心； （2）由（1）可以判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质即可求得不等式的范围. 【小问1详解】 证明略，对称中心为； 【小问2详解】 由复合函数单调性可知在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由（1）知函数是奇函数， 又，即， 所以，， 解得，所以实数的取值范围为. 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求参数的值. （2）把问题转化成函数在上的值域是函数在上值域的子集，根据集合的包含关系求实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，的定义域为，且为奇函数， 所以 所以恒成立，所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 因为，所以， 所以当时，的值域． 又， 设，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域． 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以， 解得，即实数的取值范围是． 18. 已知函数在上的最大值为2，集合. （1）求的值，并用区间的形式表示集合； （2）若，对，都，使得，求实数的值. 【答案】（1）2， （2）. 【解析】 【分析】（1）通过换元，先求得的范围，在通过，和讨论确定，即可求解； （2）通过换元，构造，通过和的讨论即可求解. 【小问1详解】 ，则， 当时，（舍） 当时，满足， 故. ，故集合 【小问2详解】 由集合， 设，则当，即时， 由对勾函数的性质可知， 故， 设，则由题意得为当时，的值域的子集. 当即时，易知在上单调递增， 故，得 当，即时，在上的最大值为和中的较大值， 若得， 若得，而，故不合题意； 当，即时，易知在上单调递减， 故，不等式组无解. 综上所述：实数的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上饶市玉山文苑学校2024-2025学年高一上学期第二次检测数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 2. “”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知均为实数，下列不等关系推导不成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（    ） A. B. 是奇函数 C. D. 的图象关于点对称 5. 下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 下列命题中，不正确命题的个数为（ ）． ①函数与它的反函数的图像没有公共点； ②若函数有反函数，则它一定是单调函数； ③若函数存在反函数，则必有成立； ④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知不等式的解集为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 有最大值 D. 不等式的解集为 9. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，下列叙述正确的是（ ） A. B. 关于对称 C. 关于对称 D. 10. 已知函数的定义域为R，且，的图象关于对称.当时，，若，则下列说法正确的是（ ） A. 的周期为4 B. 的图象关于对称 C. D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数t的取值范围是__________． 12. 函数的值域为______． 13. 已知实数x，y满足，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 14. 函数 （1）当恒成立时，求实数的取值范围； （2）当时方程有两个实数根，且，求实数的取值范围 （3）若恒成立，求实数的取值范围 15. 已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 16. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数. （1）证明：函数是奇函数，并写出函数的对称中心； （2）判断函数的单调性（不用证明），若，求实数的取值范围. 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数在上的最大值为2，集合. （1）求的值，并用区间的形式表示集合； （2）若，对，都，使得，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $