精品解析：广西钦州市第四中学2024-2025学年高二上学期9月份考试数学试题

广西钦州市第四中学2024-2025学年高二上学期9月份考试数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，命中6环、7环、8环、9环、10环的概率依次为0.10，0.20，0.30，0.15，0.05，则该人射击命中的概率为（ ） A. 0.50 B. 0.60 C. 0.70 D. 0.80 【答案】D 【解析】 【分析】 某人射击命中的对立事件是脱靶，根据对立事件概率，即可求解, 【详解】∵某人练习射击，他脱靶的概率为0.20， ∴该人射击命中的概率. 故选:D. 【点睛】本题考查应用对立事件求概率，属于基础题》 2. 如图，正三角形内的图形来自中国古代的太极图.正三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正三角形的中心成中心对称.在正三角形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设正三角形边长为2，计算出黑色部分的面积与总面积的比即可得解. 【详解】设正三角形边长为2，则内切圆的半径为，正三角形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型的概率计算公式，得此点取自黑色部分的概率是. 故选：B. 【点睛】本题考查了面积型几何概型概率的计算，属于基础题. 3. 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为（　　） A. 第一枚为5点，第二枚为1点 B. 第一枚为6点，第二枚为1点或第一枚为1点，第二枚为6点 C. 第一枚为6点，第二枚为1点 D. 第一枚为1点，第二枚为6点 【答案】C 【解析】 【分析】第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差取值有0、1、2、3、4、5，所以“X>4” 即“X=5”，由此即可作出判断. 【详解】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X， 所以“X>4” 即“X=5”，表示的试验结果为“第一枚为6点，第二枚为1点”. 故选:C. 4. 若是相互独立事件，但不是互斥事件，则事件的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出事件包含的基本事件，再根据概率的计算公式求解即可. 【详解】解：由题意可知事件包含了三个基本事件：, 所以事件的概率为： . 故选:B. 5. 某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设徒弟加工一个零件是精品的概率为，由独立事件概率乘法公式得，即可求得徒弟加工2个零件都是精品的概率. 【详解】设徒弟加工一个零件是精品的概率为，由是否加工出精品均互不影响可得，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为， 解得，所以徒弟加工2个零件都是精品的概率为. 故选：B. 6. 数学上有种水仙花数，它是指各位数字的立方和等于其本身的三位数．水仙花数共有4个，其中仅有1个在区间内，我们姑且称它为“水仙四妹”，则从集合｛147，152，154，157，“水仙四妹”｝的5个元素中任意取3个整数，则这3个整数中含有“水仙四妹”，且其余两个整数至少有一个比“水仙四妹”小的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意求出“水仙四妹”为153，所以集合为，然后利用列举法求解即可 【详解】设“水仙四妹”为且，，依题意，知，即有，可得，即“水仙四妹”为153，所以集合为， 从该集合中任取3个元素，该试验的样本空间，共有10个样本点． 记事件表示“取出的3个整数中含有153，且其余两个整数至少有一个比153小”，则事件包含的样本点有，，，，，共5个， 故． 故选：D 7. 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可求得该产品能销售的概率，写出的取值，设表示一箱产品中可以销售的件数，则服从二项分布，分别求出的取值对于得概率，从而可得答案. 【详解】解：由题意得该产品能销售的概率为， 易知的取值范围为， 设表示一箱产品中可以销售的件数，则， 所以，， 所以， ， ， 故. 故选：B. 8. 许洋说：“本周我至少做完三套练习题．”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为（ ） A. 至多做完三套练习题 B. 至多做完两套练习题 C. 至多做完四套练习题 D. 至少做完两套练习题 【答案】B 【解析】 【分析】两个事件互为对立事件，是指它们的交集为空集，并集为全集. 由对立事件的概念可快速求解. 【详解】至少做完3套练习题包含做完3，4，5，6，…套练习题，故它的对立事件为做完0，1，2套练习题，即至多做完2套练习题． 故选：B. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 对于事件，，下列命题正确的是 （ ） A. 如果，互斥，那么与也互斥 B. 如果，对立，那么与也对立 C. 如果，独立，那么与也独立 D. 如果，不独立，那么与也不独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.利用互斥事件的定义判断；B.利用对立事件的定义判断；C.利用相互独立事件的定义判断；D.利用相互独立事件的定义判断. 【详解】A.如果，互斥，由互斥事件的定义得与不一定互斥，故错误； B.如果，对立，由对立事件的定义得与也对立，故正确； C.如果，独立，由相互独立事件的定义得与也独立，故正确； D.如果，不独立，由相互独立事件的定义得与也不独立，故正确； 故答案为：BCD 10. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据条件概率公式及相互独立事件、对立事件的概率公式计算可得； 【详解】解：，因为，所以，因此，，又，所以. 故选：AD. 11. 在一个古典概型中，若两个不同的随机事件A、B发生的概率相等，则称A和B是“等概率事件”，如：随机抛掷一个骰子一次，事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”关于“等概率事件”，以下判断正确的是（ ） A. 在同一个古典概型中，所有的基本事件之间都是“等概率事件” B. 若一个古典概型的事件总数大于2，则在这个古典概型中除基本事件外没有其他“等概率事件” C. 因为所有必然事件的概率都是1，所以任意两个必然事件都是“等概率事件” D. 同时抛掷三枚硬币一次，则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件” 【答案】AD 【解析】 【分析】根据新定义分别判断即可． 【详解】对于A，由古典概型的定义知，所有基本事件的概率都相等，故所有基本事件之间都是“等概率事件”，故A正确； 对于B，如在1，3，5，7，9五个数中，任取两个数，所得和为8和10这两个事件发生的概率相等，故B错误； 对于C，由题可知“等概率事件”是针对同一个古典概型的，故C不正确； 对于D，同时抛掷三枚硬币一次共有8种不同的结果，其中“仅有一个正面”包含3种结果，其概率为，“仅有两个正面”包含38种结果，其概率为，故这两个事件是“等概率事件”，故D正确. 故选AD. 【点睛】本题考查了新定义的学习和应用，属于基础题． 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 在一次活动上，四位同学将自己准备好的一张贺卡放在纸箱中，随后每人随机从中抽取一张，则四位同学均未取到自己的贺卡的概率为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】使用表格列出所有情况，然后由古典概型的概率公式可得. 【详解】记四位同学为甲、乙、丙、丁，他们准备的贺卡分别为1、2、3、4， 则四位同学抽到可贺卡情况如下表： 甲 乙 丙 丁 甲 乙 丙 丁 1 2 3 4 3 1 2 4 1 2 4 3 3 1 4 2 1 3 2 4 3 2 1 4 1 3 4 2 3 2 4 1 1 4 2 3 3 4 1 2 1 4 3 2 3 4 2 1 2 1 3 4 4 1 2 3 2 1 4 3 4 1 3 2 2 3 1 4 4 2 1 3 2 3 4 1 4 2 3 1 2 4 1 3 4 3 1 2 2 4 3 1 4 3 2 1 总情况有24种，满足条件的有9种， 故四位同学均未取到自己的贺卡的概率为. 故答案为： 13. 分别从1，2，3，4和5，6，7，8两组数字中随机各选择一个，则它们互素的概率是_____ 【答案】##0.6875 【解析】 【分析】求出试验的基本事件总数，再求出两个数互素地事件含有的基本事件数即可得解. 【详解】从1，2，3，4和5，6，7，8两组数字中随机各选择一个的试验有个基本事件， 其中互素的有，共11个， 所以它们互素的概率是. 故答案为： 14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字3，5，7，9，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分为3的概率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设相应事件，不妨假设甲的卡片顺序为3，5，7，9，可求得，列举求，结合古典概型运算求解. 【详解】设样本空间为，甲的总得分为3为事件A， 不妨假设甲的卡片顺序为3，5，7，9， 则乙的卡片顺序共有种，即； 若甲的总得分为3，则乙的卡片顺序为 ，， 共有11种，即， 所以. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知某种奖券的中奖率为，为了保证中奖概率大于，至少应该购买多少张奖券？ 【答案】至少应该购买6张奖券 【解析】 【分析】根据独立重复试验的概率公式列不等式求解即可. 【详解】设购买张奖券，则中奖的概率为 ， 若， 即， 因为是单调递减函数， ，， 所以， 所以至少应该购买6张奖券. 16. 同时抛掷两枚均匀的骰子，求： （1）掷出的点数中一个恰是另一个2倍的概率； （2）掷出的点数相同的概率； （3）掷出的点数中一个是偶数，另一个是奇数的概率． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据等可能事件的概率公式计算； （2）根据等可能事件的概率公式计算； （3）根据等可能事件的概率公式计算． 【小问1详解】 同时抛掷两枚均匀的骰子，含有的基本事件个数为， 事件“掷出的点数中一个恰是另一个2倍”，即两数为1和2，2和4，3和6三种情形，含有的基本事件个数为，概率为； 【小问2详解】 事件“掷出的点数相同”，即两数为11，22，33，44，55，66六种情形，含有的基本事件个数为6，概率为； 【小问3详解】 事件“掷出的点数中一个是偶数，另一个是奇数”，，概率为． 17. 战国时期，齐王与臣子田忌赛马，双方约定： （1）从各自上、中、下三等级马中各出一匹马； （2）每匹马参加且只参加一次比赛； （3）三场比赛后，以获胜场次多者为最终胜者． 已知高等级马一定强于低等级马，而在同等级马中，都是齐王的马强．求田忌赢得比赛的概率． 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法求出样本点及古典概型的概率公式即可求解. 【详解】用分别表示齐王的上、中、下三等级马，用分别表示田忌的上、中、下三等级马， 随机安排马的对位，共有种对位方式，样本空间为 ， 每个样本点都是等可能发生的，， 设“田忌能赢的对位”，则，， 所以. 18. A，B，C，D这4名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率： （1）A在边上； （2）A和B都在边上； （3）A或B在边上； （4）A与B相邻； （5）A在B的左侧（不一定相邻）， 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【解析】 【分析】（1）根据等可能事件的概率公式计算； （2）根据等可能事件的概率公式计算； （3）根据等可能事件的概率公式计算； （4）根据等可能事件的概率公式计算； （5）根据等可能事件的概率公式计算． 【小问1详解】 A，B，C，D这4名学生按任意次序站成一排，站法总数为， 事件“A在边上”含有的基本事件个数为，概率为； 【小问2详解】 事件“A和B都在边上”含有的基本事件个数为，概率为； 【小问3详解】 事件“A或B在边上”，其反面是“A，B都在中间”，因此其含有的基本事件个数为，概率为； 【小问4详解】 事件“A与B相邻”，用捆绑法求角，其含有的基本事件个数为，概率为； 【小问5详解】 事件“A在B的左侧（不一定相邻）”与“A在B的右侧（不一定相邻）”含有的基本事件个数相同为，概率为． 19. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． (1)求第七组的频率； (2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 【答案】(1)；(2)平均数为，中位数为；(3)． 【解析】 【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率； (2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数； (3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率. 【详解】解：(1)第六组的频率为， ∴第七组的频率为． (2)由直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 由于，， 设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则， 由得， 所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为 ． (3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d， 第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B， 则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况， 因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西钦州市第四中学2024-2025学年高二上学期9月份考试数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，命中6环、7环、8环、9环、10环的概率依次为0.10，0.20，0.30，0.15，0.05，则该人射击命中的概率为（ ） A. 0.50 B. 0.60 C. 0.70 D. 0.80 2. 如图，正三角形内的图形来自中国古代的太极图.正三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正三角形的中心成中心对称.在正三角形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为（　　） A. 第一枚为5点，第二枚为1点 B. 第一枚为6点，第二枚为1点或第一枚为1点，第二枚为6点 C. 第一枚为6点，第二枚为1点 D. 第一枚为1点，第二枚为6点 4. 若是相互独立事件，但不是互斥事件，则事件的概率是（ ）． A. B. C. D. 5. 某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 数学上有种水仙花数，它是指各位数字的立方和等于其本身的三位数．水仙花数共有4个，其中仅有1个在区间内，我们姑且称它为“水仙四妹”，则从集合｛147，152，154，157，“水仙四妹”｝的5个元素中任意取3个整数，则这3个整数中含有“水仙四妹”，且其余两个整数至少有一个比“水仙四妹”小的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则（ ） A. B. C. D. 8. 许洋说：“本周我至少做完三套练习题．”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为（ ） A. 至多做完三套练习题 B. 至多做完两套练习题 C. 至多做完四套练习题 D. 至少做完两套练习题 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 对于事件，，下列命题正确的是 （ ） A. 如果，互斥，那么与也互斥 B. 如果，对立，那么与也对立 C. 如果，独立，那么与也独立 D. 如果，不独立，那么与也不独立 10. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在一个古典概型中，若两个不同的随机事件A、B发生的概率相等，则称A和B是“等概率事件”，如：随机抛掷一个骰子一次，事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”关于“等概率事件”，以下判断正确的是（ ） A. 在同一个古典概型中，所有的基本事件之间都是“等概率事件” B. 若一个古典概型的事件总数大于2，则在这个古典概型中除基本事件外没有其他“等概率事件” C. 因为所有必然事件的概率都是1，所以任意两个必然事件都是“等概率事件” D. 同时抛掷三枚硬币一次，则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件” 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 在一次活动上，四位同学将自己准备好的一张贺卡放在纸箱中，随后每人随机从中抽取一张，则四位同学均未取到自己的贺卡的概率为____________． 13. 分别从1，2，3，4和5，6，7，8两组数字中随机各选择一个，则它们互素的概率是_____ 14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字3，5，7，9，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分为3的概率为_________. 四、解答题（共77分） 15. 已知某种奖券的中奖率为，为了保证中奖概率大于，至少应该购买多少张奖券？ 16. 同时抛掷两枚均匀的骰子，求： （1）掷出的点数中一个恰是另一个2倍的概率； （2）掷出的点数相同的概率； （3）掷出的点数中一个是偶数，另一个是奇数的概率． 17. 战国时期，齐王与臣子田忌赛马，双方约定： （1）从各自上、中、下三等级马中各出一匹马； （2）每匹马参加且只参加一次比赛； （3）三场比赛后，以获胜场次多者为最终胜者． 已知高等级马一定强于低等级马，而在同等级马中，都是齐王的马强．求田忌赢得比赛的概率． 18. A，B，C，D这4名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率： （1）A在边上； （2）A和B都在边上； （3）A或B在边上； （4）A与B相邻； （5）A在B的左侧（不一定相邻）， 19. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． (1)求第七组的频率； (2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $