精品解析：广西钦州市第四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

广西钦州市第四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 某小组有三名女生，两名男生，先从这个小组中任意选一人当组长，则女生小丽当选为组长的概率是（ ）． A. B. C. D. 2. 法国有个名人叫做布莱尔·帕斯卡，他认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出一个问题，他们说，他们下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金700法郎，赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了.假设每局两赌徒输赢的概率各占，每局输赢相互独立，那么这700法郎如何分配比较合理（ ） A. 甲400法郎，乙300法郎 B. 甲500法郎，乙200法郎 C. 甲525法郎，乙175法郎 D. 甲350法郎，乙350法郎 3. 下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是 A. 频率就是概率 B. 频率是随机的，与试验次数无关 C. 概率是稳定的，与试验次数无关 D. 概率是随机的，与试验次数有关 4. 已知复数与在复平面内对应的点关于原点对称，且，则虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 在复平面内，下列命题是真命题的是（　　） A. 若复数z满足R，则R B. 若复数z满足R，则R C. 若复数，满足R，则 D. 若复数R，则 7. 已知复数z=（为虚数单位），则|z|=（ ） A. B. C. D. 8. 已知为虚数单位，在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 已知复数z满足，则（ ） A. z的虚部为-3 B. z在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 11. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，为共扼复数，则为实数 B. 若为虚数单位，为正整数，则 C. 复数在复平面内对应的点在第三象限 D. 复数的共轭复数为 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知复数满足，的虚部为－2，所对应的点在第二象限，则_________． 13. 若|，则的最小值为_____. 14. 已知为虚数单位，复数，则的实部为________． 四、解答题（共77分） 15. 化简：，，，，，，，． 16. 求适合下列方程的实数x，y的值： （1）； （2）． 17. 已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限. （1）求； （2）若，在复平面上的对应点分别为，，求. 18. 一个小组的3个学生在分发数学作业时，从他们3人的作业中各随机地取出了一份作业． （1）每个学生恰好拿到自己作业的概率是多少？ （2）3个学生不都拿到自己作业的概率是多少？ （3）每个学生拿的都不是自己作业的概率是多少？ 19. 古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调查，统计了他们一周课外读书时间（单位：）的数据如下： 一周课外读书时间/ 合计 频数 4 6 10 12 14 24 46 34 频率 0.02 0.03 0.05 0.06 0.07 0.12 0.25 0.17 1 （1）根据表格中提供的数据，求，，的值并估算一周课外读书时间的中位数. （2）如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人. ①求每层应抽取的人数； ②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西钦州市第四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 某小组有三名女生，两名男生，先从这个小组中任意选一人当组长，则女生小丽当选为组长的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式可得. 【详解】从这个小组中任选一人当组长，有5种选法，其中选小丽当组长只有一种选法， 根据古典概型的概率公式可得所求概率为. 故选：B 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属于基础题. 2. 法国有个名人叫做布莱尔·帕斯卡，他认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出一个问题，他们说，他们下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金700法郎，赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了.假设每局两赌徒输赢的概率各占，每局输赢相互独立，那么这700法郎如何分配比较合理（ ） A. 甲400法郎，乙300法郎 B. 甲500法郎，乙200法郎 C. 甲525法郎，乙175法郎 D. 甲350法郎，乙350法郎 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析甲可能获胜的概率来分得奖金，假定再赌一局，甲获胜的概率为；若再赌两局，甲才获胜的概率为，从而得甲获胜的概率为，可得出奖金的分配金额. 【详解】假定再赌一局，甲获胜的概率为；若再赌两局，甲才获胜的概率为， ∴甲获胜的概率为，∴甲应分得：（法郎），乙应分得：（法郎）. 故选：C. 【点睛】本题考查概率知识的实际应用，关键在于明确概率的原理，以达到理论联系实际，属于中档题. 3. 下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是 A. 频率就是概率 B. 频率是随机的，与试验次数无关 C. 概率是稳定的，与试验次数无关 D. 概率是随机的，与试验次数有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率、概率的概念，可得结果. 【详解】频率指的是：在相同条件下重复试验下， 事件A出现的次数除以总数，是变化的 概率指的是： 在大量重复进行同一个实验时， 事件A发生的频率总接近于某个常数， 这个常数就是事件A的概率，是不变的 故选：C 【点睛】本题考查频率与概率的区别，属基础题. 4. 已知复数与在复平面内对应的点关于原点对称，且，则虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算，先求解，根据复数在复平面内对应的点求解，即可求解的虚部. 【详解】解：因为，故， 所以在复平面对应的点为，则在复平面对应的点为，故， 的虚部为-1. 故选：A. 5. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算法则求，再根据共轭复数的定义求，再根据复数的几何意义求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以复数在复平面上对应的点的坐标为， 复数在复平面上对应的点位于第四象限. 故选：D. 6. 在复平面内，下列命题是真命题的是（　　） A. 若复数z满足R，则R B. 若复数z满足R，则R C. 若复数，满足R，则 D. 若复数R，则 【答案】A 【解析】 【分析】A选项，设复数为，表达出，根据得到，A正确；BCD选项，举出反例； 【详解】A选项，设复数，， 则， 若，则，所以，A为真命题； B选项，若复数，则，但，故B为假命题； C选项，若复数，，满足，但，C为假命题； D选项，如果，则无意义，D为假命题. 故选：A. 7. 已知复数z=（为虚数单位），则|z|=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简得，即得解. 【详解】解：由题得z=， 所以|z|=. 故选：A 8. 已知为虚数单位，在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】先化简复数得到复数为，即得解. 【点睛】解：， 所以该复数对应的点为，在第四象限. 故选：D 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例可判断A；根据复数相等列方程组可解p、q，然后可判断B；由虚部概念可判断C；利用两圆面积相减可判断D. 【详解】A中，令，则，故A错误； B中，若点Z的坐标为，则，所以， 整理得，所以，解得， 所以，故B正确； C中，易知的虚部为，故C错误； D中，记，则 所以， 圆的面积为，圆的面积为， 所以点的集合所构成的图形的面积为，故D正确. 故选：BD 10. 已知复数z满足，则（ ） A. z的虚部为-3 B. z在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算求解复数，根据复数的性质判断各项正误. 【详解】解：由可得，故z的虚部为3，A错误； z在复平面内对应的点为，位于第二象限，B正确； ，C正确； ，故D错误. 故选：BC. 11. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，为共扼复数，则为实数 B. 若为虚数单位，为正整数，则 C. 复数在复平面内对应的点在第三象限 D. 复数的共轭复数为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念可判断A项；利用复数的乘方运算可判断B项；利用复数的几何意义可判断C项；利用复数的除法运算结合共轭复数的概念可判断D项. 【详解】解：设，则，故，故A正确； 因为，故B错误； 因为复数在复平面内对应点的坐标为，所以在第三象限，故C正确； 因为，其共轭复数为，故D错误； 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知复数满足，的虚部为－2，所对应的点在第二象限，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】设复数，根据题干中的条件列方程组求解的值即可. 【详解】解：设复数，则，所以， 又，且的虚部为-2，则， 因为所对应的点在第二象限，即点在第二象限，所以， 故，解得，故. 故答案为：. 13. 若|，则的最小值为_____. 【答案】1 【解析】 【分析】设，根据复数的几何意义可得，则，即可求解. 【详解】设，则. 所以，即，所以， 所以， 故当时，的最小值为1. 故答案为：1. 14. 已知为虚数单位，复数，则的实部为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简复数，进而确定其实部. 【详解】由， 则的实部为：， 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 化简：，，，，，，，． 【答案】. 【解析】 【分析】由复数的乘方法则即可求解. 【详解】由复数乘方法则可知， 所以，，，， ，，，. 16. 求适合下列方程的实数x，y的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据复数相等即可得到方程组，解出即可. 【小问1详解】 由题意得，解得. 【小问2详解】 由题意得，解得. 17. 已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限. （1）求； （2）若，在复平面上的对应点分别为，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，则可得，，，，从而可求出，进而可求出； （2）先求出，，然后可求出，的坐标，从而可求出，再利用向量的夹角公式可求得结果. 【小问1详解】 设， 因为，所以， 因为，的虚部为2， 所以，得， 因为在复平面上所对应的点在第一象限， 所以，， 所以解得， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，， 因为， 所以，， 所以. 18. 一个小组的3个学生在分发数学作业时，从他们3人的作业中各随机地取出了一份作业． （1）每个学生恰好拿到自己作业的概率是多少？ （2）3个学生不都拿到自己作业的概率是多少？ （3）每个学生拿的都不是自己作业的概率是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）首先确定3人拿作业的情况包含种可能，再求概率；（2）根据（1）的结果，利用对立事件求概率；（3）首先列举基本事件，再求概率. 【详解】（1）由题意可知，每个学生恰好拿到自己作业的概率； （2）3个学生不都拿到自己作业的概率； （3）三个学生分别设为，则每个学生拿的都不是自己的作业包含的基本事件是或，共2个基本事件， 所以每个学生拿的都不是自己作业的概率. 19. 古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调查，统计了他们一周课外读书时间（单位：）的数据如下： 一周课外读书时间/ 合计 频数 4 6 10 12 14 24 46 34 频率 0.02 0.03 0.05 0.06 0.07 0.12 0.25 0.17 1 （1）根据表格中提供的数据，求，，的值并估算一周课外读书时间的中位数. （2）如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人. ①求每层应抽取的人数； ②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率. 【答案】（1），，，中位数；（2）①三层中抽取的人数分别为2，5，13；② 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方表的性质，即可求得，得到，，再结合中位数的计算方法，即可求解. （2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，根据抽样比，求得在三层中抽取的人数； ②由①知，设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为，利用列举法得到基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，可得，所以，. 设一周课外读书时间的中位数为小时， 则，解得， 即一周课外读书时间的中位数约为小时. （2）①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人，抽样比为， 又因为，，的频数分别为20，50，130， 所以从，，三层中抽取的人数分别为2，5，13. ②由①知，在，两层中共抽取7人，设内被抽取的学生分别为，内被抽取的学生分别为， 若从这7人中随机抽取2人，则所有情况为，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，共有21种， 其中2人不在同一层的情况为，，，，，，，，，，共有10种. 设事件为“这2人不在同一层”， 由古典概型的概率计算公式，可得概率为. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方表的性质，中位数的求解，以及古典概型的概率计算等知识的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $