精品解析：广东省东莞市东莞中学2024-2025学年高一上学期第一次段考数学试题

2024-2025学年第一学期第一次段考 高一数学 完成时间：120分钟 满分：150分 编者语：亲爱的同学，在数学的世界里，每一次挑战都是成长的机遇．别畏惧数学难题，那是你智慧闪耀的舞台．认真对待每一个数字和符号，你就是数学王国的勇士．勇敢前行，你定能绽放属于自己的光彩．加油哟！ 一、单选题（每小题5分，共40分，请将答案填在答题卡相应位置） 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用补集和交集的概念依次求解即得. 【详解】由，可知，， 又，故． 故选：B. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用含有一个量词命题的否定形式直接判断得出结论. 【详解】根据存在量词命题的否定形式可知命题“”的否定为“”. 故选：A. 3. 在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出不等关系即可. 【详解】由题意得. 故选：D 4. 设全集是实数集，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可解得，再由阴影部分表示的集合可得结果. 【详解】解不等式可得， 又可得， 图中阴影部分所表示的集合是. 故选：B 5. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最小值为2 C. 若，则 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式中各项为正的条件可知A错误，由等号成立条件可判断B错误，由可知，可得C错误，利用基本不等式计算可得D正确. 【详解】对于A，当异号时，易知不成立，即A错误； 对于B，易知，所以， 当且仅当，即时等号成立，显然不存在满足题意，即B错误； 对于C，若，则，可得， 当且仅当，即时，等号成立，即，所以C错误； 对于D，当时，可得，所以， 当且仅当，即时，等号成立，即，所以D正确. 故选：D 6. 如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（ ） A. 减函数且最小值是－4 B. 减函数且最大值是－4 C. 增函数且最小值是－4 D. 增函数且最大值是－4 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的对称性，在区间上的性质，可得到函数在区间上的性质，即可求解. 【详解】由题意，奇函数在区间上是减函数，根据奇函数的对称性，可得函数在 区间上也是减函数，又由奇函数在区间上的最小值是4， 即，所以，所以函数在区间上的 最大值为， 故选：B. 7. 年月日凌晨点分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”.对接时，只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向对接口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”.根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由推出关系可确定结论. 【详解】由题意知：“太空握手”“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”； “空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”“太空握手”， “梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理不正确的是（ ） A. 由图1和图2面积相等得 B. 由可得 C. 由可得 D. 由可得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图1和图2面积相等，可用表示，判断A的真假；把、用表示出来，判断B的真假；把、用表示出来，判断C的真假；把、用表示出来，判断D的真假. 【详解】对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，，， 因为，所以，整理得，故B错误； 对于C，因为D为斜边BC的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确； 对于D，因为，所以，整理得，故D错误. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：采用数形结合，分别表示出相应线段，结合图形中线段的长度关系，逐一分析各选项，即可得到答案. 二、多选题（每小题有两个或三个正确答案，每小题全部选释正确得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分，共18分，请将答案填在答题卡相应位置） 9. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据列举法，以及不等式的性质，即可判断选项. 【详解】若，，则，故A错误； 若，，则，故B错误； 若，则，，所以，故C正确； 若且，所以，，所以，故D正确. 故选：CD 10. 某校高一（1）班王伟、张诚、赵磊三名同学六次数学测试的成绩及班级平均分如下表，根据成绩表作图，则下列说法正确的是（ ） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 王伟 98 87 91 92 88 95 张诚 90 76 88 75 86 80 赵磊 68 65 73 72 75 82 班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 A. 王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平 B. 张诚同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平 C. 赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但与班平均分的差距逐步缩小 D. 赵磊同学的数学成绩波动上升 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据折线图，分别对王伟、张诚、赵磊同学的数学成绩较班级平均分进行分析，即可得出结果. 【详解】根据折线图可知， 王伟同学的数学成绩稳定且始终高于班级平均分， 张诚同学的数学成绩在班级平均分附近波动， 赵磊同学的数学成绩低于班级平均分，但与班级平均分的差距逐渐减小，波动的提升， 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数在单调递减 C. 函数值域为 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出定义域判断A；确定单调区间判断B；求出值域判断C；解不等式判断D. 【详解】对于A，函数有意义，则，解得， 的定义域为，A正确； 对于B，在上单调递减，则在上单调递减，B正确； 对于C，，函数值域为，C错误； 对于D，由，得，则，解得， 的解集为，D正确. 故选：ABD 三、填空题（每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卡相应位置） 12. 若，，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由的范围求出，由不等式的性质即可求出的取值范围. 【详解】因为，， 所以，，， 所以. 所以的取值范围是：. 故答案为：. 13. 若确定区间满足，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合关系的区间表示以及区间有意义得出不等关系，解不等式可得结果. 【详解】根据题意可知，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 14. 已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】不等式转化为或，再结合函数的性质和图象，即可求解. 【详解】或， 得或， 解得：或，或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．请将答案填写在答题卡相应位置） 15. 已知函数 （1）当时，判断函数的奇偶性，并证明． （2）若，根据函数单调性的定义证明函数在区间的单调性． 【答案】（1）当时，可得， 函数为奇函数，证明如下： 易知此时的定义域为，关于原点对称； 又对于， 均满足， 因此可得函数为奇函数； （2）单调递增，证明如下： 任意，令， 可得， 又，，可得， 即可得，所以， 因此可得函数在区间单调递增. 【解析】 【分析】（1）由可得，利用函数奇偶性定义判断即可得出结论； （2）可计算得，利用单调性定义可证明函数在区间单调递增. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，可得，解得， 即， 16. 某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：设矩形花园的长为， 因为矩形花园的总面积为，所以，可得， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，可得， 即关于的关系式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，， 则 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 17. 已知二次函数． （1）若方程两个根之和为4，两根之积为3，且过点．求的解集； （2）若关于x的不等式的解集为，设函数，求函数的最大值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理可得，再由过点可得，解不等式可得答案； （2）由不等式解集可得，即，再利用基本不等式计算即可得出的最大值为. 【小问1详解】 方程即为， 由两个根之和为4，两根之积为3可得，所以； 即，代入点可得， 即， 所以即为，解得； 因此的解集为 【小问2详解】 由关于x的不等式的解集为可知方程的两根为，且； 所以，即； 可得， 因为，所以， 即可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以可得时，， 即函数的最大值为. 18. 已知集合，， （1）若时，求 （2）解关于x的不等式： （3）若_______，求实数a的取值范围． （在①；②；③“”是“”的充分条件；这三个条件中任意选择一个，补充在本题的横线中，并按照你的选择求解问题，如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分） 【答案】（1）或； （2）时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集 ， 当时，不等式的解集. （3）选①，，选②或选③，. 【解析】 【分析】（1）首先求解集合，再根据补集运算和交集运算求解即可； （2）讨论a的取值，结合一元二次不等式的求法求解不等式即可； （3）若选①，由一元二次型不等式恒成立求a的取值；若选择②，根据（2）的结果，根据集合B的情况，由集合的关系求a取值范围；若选择③，转化为，根据集合B的情况，即可求解. 【小问1详解】 当时，，即， 解得：，即， ，或，或， 所以或； 【小问2详解】 ， 当时，，解得：， 当时，， 当时，不等式转化为，，解得：或， 当时，不等式转化为， 当时，不等式为，得， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上可知，时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集 ， 当时，不等式的解集. 【小问3详解】 若选①， 当时，，不恒成立， 所以，无解， 综上，不存在，使恒成立； 若选②, 或，且, 若， 由（2）可知，当时，不合题意，当时成立， 当时，，则，得， 当时，，则，得， 综上可知，； 若选③“”是“”的充分条件；则， 当时，不合题意， 当时，，，满足条件， 当时，，则，得 当时，，则，得， 综上可知，. 19. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同． 李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为． 韩梅梅的解法：由于，所以，而，当且仅当，即时，等号成立则最小值为． （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设都是正数，求证：； （ii）已知，且，求的最小值． 【答案】（1） 李雷的解法错误，韩梅梅的解法正确， 李雷的解法中用了2次基本不等式，一次是，等号成立的条件是，，即 第二次是，等号成立的条件是，，即， 这与矛盾，所以两根等号不能同时取到，所以最小值也不正确； （2） （ⅰ）由基本不等式可知，，，， 所以， 即， 等号成立的条件是当且仅当，即时，等号成立， 所以. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）李雷用了2次基本不等式，需判断2次等号成立的条件是否成立； （2）（ⅰ）利用基本不等式即可证明；（ⅱ）由条件变形为，再将转化为关于的式子，再利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由已知，且， 则，即， 所以， ， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是掌握基本不等式的条件“一正，二定，三相等”，最后一问的关键是转化思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期第一次段考 高一数学 完成时间：120分钟 满分：150分 编者语：亲爱的同学，在数学的世界里，每一次挑战都是成长的机遇．别畏惧数学难题，那是你智慧闪耀的舞台．认真对待每一个数字和符号，你就是数学王国的勇士．勇敢前行，你定能绽放属于自己的光彩．加油哟！ 一、单选题（每小题5分，共40分，请将答案填在答题卡相应位置） 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（ ） A. B. C. D. 4. 设全集是实数集，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 5. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最小值为2 C. 若，则 D. 当时， 6. 如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（ ） A. 减函数且最小值是－4 B. 减函数且最大值是－4 C. 增函数且最小值是－4 D. 增函数且最大值是－4 7. 年月日凌晨点分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”.对接时，只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向对接口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”.根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理不正确的是（ ） A. 由图1和图2面积相等得 B. 由可得 C. 由可得 D. 由可得 二、多选题（每小题有两个或三个正确答案，每小题全部选释正确得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分，共18分，请将答案填在答题卡相应位置） 9. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 10. 某校高一（1）班王伟、张诚、赵磊三名同学六次数学测试的成绩及班级平均分如下表，根据成绩表作图，则下列说法正确的是（ ） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 王伟 98 87 91 92 88 95 张诚 90 76 88 75 86 80 赵磊 68 65 73 72 75 82 班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 A. 王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平 B. 张诚同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平 C. 赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但与班平均分的差距逐步缩小 D. 赵磊同学的数学成绩波动上升 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数在单调递减 C. 函数值域为 D. 不等式的解集为 三、填空题（每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卡相应位置） 12. 若，，则的取值范围是___________． 13. 若确定区间满足，则实数的取值范围为_______． 14. 已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集是_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．请将答案填写在答题卡相应位置） 15. 已知函数 （1）当时，判断函数的奇偶性，并证明． （2）若，根据函数单调性的定义证明函数在区间的单调性． 16. 某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 17. 已知二次函数． （1）若方程两个根之和为4，两根之积为3，且过点．求的解集； （2）若关于x的不等式的解集为，设函数，求函数的最大值 18. 已知集合，， （1）若时，求 （2）解关于x的不等式： （3）若_______，求实数a的取值范围． （在①；②；③“”是“”的充分条件；这三个条件中任意选择一个，补充在本题的横线中，并按照你的选择求解问题，如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分） 19. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题： 已知，且，求的最小值． 李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同． 李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为． 韩梅梅的解法：由于，所以，而，当且仅当，即时，等号成立则最小值为． （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由） （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）设都是正数，求证：； （ii）已知，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $