精品解析：山西省运城市盐湖区解州高级中学2025学年届高三上学期10月份月考数学试题

2025届高三10月联考 数学 木试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1､答题前､考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2､回答选择题时､选出每小题答案后､用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后､再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3､考试结束后､将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，.若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】用列举法表示集合，根据求的值. 【详解】由得，解得， ∴. ∵，， ∴，解得. 故选：A. 2. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明，根据充分、必要条件结合指数函数单调性分析判断. 【详解】当，时，，但是，故； 当，时，，但是，故； 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3. 已知是关于的方程的一个虚根，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据实系数一元二次方程虚数根共轭和韦达定理可求的值. 【详解】因为是关于的方程的一个虚根， 所以是关于的方程的另一个虚根， 所以，解得. 故选：C 4. 设是锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式，结合齐次式弦化切可得，进而可得答案. 【详解】因为且， 所以， 故，结合， 解得. 故选：C. 5. 已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分段求出函数的导函数，则恒成立，参变分离求出参数的取值范围，即可得解. 【详解】因为， 当时，，则恒成立， 所以在上恒成立，则； 当时，，则恒成立， 所以在上恒成立，所以； 又，综上可得的取值范围是. 故选：B. 6. 已知点，，.动点满足，则的最大值为（ ） A. B. C. 30 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】设，分析可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，整理可得，结合圆的性质运算求解. 【详解】设， 则， 整理可得， 故点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 又因为， 且， 可得，所以的最大值为30. 故选：C. 7. 存在函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义分别判断各选项. 【详解】对于A，令，则，有个函数值对应，故A错误； 对于C，取，可知，再取，可知，故C错误； 对于D，取，，取，，故D错误； 对于B选项，令，对于每一个，都有唯一的与之对应，也即有唯一的与之对应，因此符合函数定义，故B正确； 故选：B. 8. 已知，是双曲线的左、右顶点，为双曲线上一点，且若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设在第一象限，直线，的倾斜角分别为，，由题意，利用点坐标，可得，进一步可求，根据方程组，可求，从而得到点坐标，求得的面积. 【详解】如图： 由题意可知：、. 不妨设在第一象限，设，的倾斜角分别为，，则. 故，注意到， 因此， 解得，， 故，，代入解得：，. 故的面积为. 故选：A 【点睛】方法点睛：本题的关键是求出点坐标.不妨设在第一象限，结合三角形的外角定理得，用点坐标表示，可得，结合两角和与差的正切公式，可求的值，进一步可求出点坐标. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. ，为奇函数 B. 当时，单调递增 C. ，使得恰有一个极值点 D. 当时，存在三个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用奇偶性定义判断A；利用导数得到单调性可判断B；根据极值的定义判断C；求出函数零点判断D. 【详解】对于A选项，函数定义域为R,，，为奇函数,A正确； 对于B选项，当时，，单调递增，B正确； 对于C选项，若恰有一个极值，则有一个解，可得，此时恒成立，单调递增， 无极值点，故不存在，使得恰有一个极值，C错误； 对于D选项，，存在三个零点0，，，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知正项等比数列的前项积为，且是互不相等的正整数，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由通项公式可推出等比数列下标和的性质，选项A正确；当等比数列公比为1时选项B错误；根据条件和等比数列下标和性质得出，推出，选项C正确，反之也成立可得选项D正确. 【详解】设已知正项等比数列的公比为， A.∵， ∴， 选项A正确. B.当时，等比数列各项均相等，恒成立，故选项B错误. C. 由题意得，. 不妨设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 选项C正确. D.由选项C的推导过程得反之也成立，选项D正确. 故选：ACD. 11. 如图，正方体中，为棱的中点，为平面上的动点，设直线与底面所成的角为，直线EP与底面所成的角为，平面与底面的夹角为，平面与底面的夹角为，则（ ） A. 若，则点在圆上 B. 若，则点在双曲线上 C. 若，则点在抛物线上 D. 若，则点在直线上 【答案】AC 【解析】 【分析】根据建系求出轨迹方程可以判断A,根据线面角及二面角定义作图计算判断B,C,应用边长关系判断D. 【详解】对于A选项，如图1，连接PA，PB，由，可知，故， 以点为原点，AB为轴，AD为轴建系，，设，则， 即，故点的轨迹为圆，A正确； 对于B选项，如图2，作于，于，则， 同理作于M，于，则，由可知，， 故为的平分线，点的轨迹为直线，B错误； 对于C选项，如图3，，，由可知，， 根据抛物线的定义可知点的轨迹为抛物线，C正确； 对于D选项，由C选项可知，显然不是直线，D错误. 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量，，则，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用向量线性运算及垂直的坐标表示列方程求参数. 【详解】由题设，且， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知，，，且恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助基本不等式计算可得，即可得解. 【详解】由，，， 故， 当且仅当、，即，时，等号成立， 故，即，则的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数在上单调递减，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数的周期性，在一个周期范围内根据导数判断函数单调性，即可得函数单调递减区间，进而可得解. 【详解】， 由与的周期均为， 则的周期为，不妨设， ， 令，即， 解得， 综上所述的单调递减区间为，， 故， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且. （1）若，求； （2）若，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化角为边，得出边的关系后，由余弦定理求解； （2）由余弦定理及数量积的定义求得，再利用基本不等式求得的最大值，最后由面积公式得结论． 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 又，所以，， 从而. 【小问2详解】 由余弦定理可知，则， 又，故， 即，故，即， 从而， 当时取等号，即的面积的最大值为3. 16. 如图，，分别为椭圆的左、右顶点，为第一象限上一点，且，过点的直线与有唯一的公共点. （1）求的方程； （2）过原点作直线的平行线与椭圆C交于M，N两点，证明：P，M，，N四点共圆，并求该圆的标准方程. 【答案】（1） （2）证明： 依题意，直线MN的方程为，联立椭圆可得， 即，即，，，. 设圆的方程为，代入，P，M，可得： ，解得， 此时圆方程为， 将点代入上述方程，得， 所以点也在此圆上，故P，M，，N四点共圆， 其标准方程为. 【解析】 【分析】（1）法一：利用直线与椭圆的位置关系计算即可求解；法二：利用导数的几何意义计算即可求解. （2）先求出点，P，M，的坐标，利用待定系数法求出过，P，M的圆方程，将点的坐标代入计算即可，P，M，四点共圆.. 【小问1详解】 法一：，由，得，解得， 代入椭圆方程得，所以，设直线， 联立椭圆方程，得， 即. 由， 整理得，解得， 因此直线的方程为：. 法二：，则，， 令，则， 故直线的方程为：， 【小问2详解】 证明略，圆的标准方程为 17. 如图，四棱锥的底面为正方形，E，F分别为PA，PC的中点，且平面平面，平面BEF和平面ABCD不垂直. （1）证明：； （2）若，当四棱锥的体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）设，，过点作于， 由平面平面，且平面平面，平面， 故平面，由于平面，所以； 因为E，F分别为PA，PC的中点，因此，因此. 由底面为正方形可知，由于平面， 因此平面，由于平面，故， 因为为AC的中点，因此； （2） 【解析】 【分析】（1）设，通过证明来证得. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，以为坐标原点，OA为轴，OB为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 由（1）可知，点在yOz平面内，设，由， 即，即， 当的体积最大时，， 此时，则，， 则，，. 设平面的法向量为，则，即， 令，则. 设平面的法向量为，则，即， 令，则， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 若数列共有项，都有，其中为常数，则称数列是一个项数为的“对数等和数列”，其中称为“对数等和常数”.已知数列是一个项数为的对数等和数列，对数等和常数为. （1）若，，，求的值； （2）定义数列满足：，，2，3，…，m. （i）证明：数列是一个项数为的对数等和数列； （ii）已知数列是首项为1024，公比为的等比数列，若，求的值. 【答案】（1） （2）（i）依题意，则，因此， 从而，即数列是一个项数为的对数等和数列. （ii） 【解析】 【分析】（1）由题干信息可得，即可得答案； （2）（i）注意到，即可证明结论； （ii）由题可得表达式，后由裂项求和法可得答案. 【小问1详解】 依题意，又， 所以，即. 【小问2详解】 （i）略 （ii）依题意，， 即，即， 则， 又，故，即， 此时，即，， 注意到， 所以. 19. 已知函数（，且）. （1）当时，证明：为增函数； （2）若存在两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）设的极大值为，求的取值范围. 【答案】（1）依题意，， 设，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 故，即，单调递增. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用导数证得为增函数. （2）（i）先换元设，然后利用多次求导的方法，对进行分类讨论，根据极值点个数来求得的取值范围. （ii）根据（i），通过换元以及构造函数，结合导数来求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）设，则， 则. 设，则，即在上单减，在上单增， 当时，令，由，且在上单调递增， 故仅有一个零点，不符合题意； 当时，， ①当时，则，此时，，单调递增，不符合题意； ②当时，则，此时存在两个零点， 当时，；当时，，； 当时，，，存在两个极值点，符合题意. 综上可知，. （i i）由（i）可知，且，满足， 故， 设，则， 设，则， 故单调递减，且，则， 即. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三10月联考 数学 木试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1､答题前､考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2､回答选择题时､选出每小题答案后､用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后､再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3､考试结束后､将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，.若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知是关于的方程的一个虚根，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 4. 设是锐角，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，.动点满足，则的最大值为（ ） A. B. C. 30 D. 31 7. 存在函数满足：对任意都有（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是双曲线的左、右顶点，为双曲线上一点，且若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. ，为奇函数 B. 当时，单调递增 C. ，使得恰有一个极值点 D. 当时，存在三个零点 10. 已知正项等比数列的前项积为，且是互不相等的正整数，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，正方体中，为棱的中点，为平面上的动点，设直线与底面所成的角为，直线EP与底面所成的角为，平面与底面的夹角为，平面与底面的夹角为，则（ ） A. 若，则点在圆上 B. 若，则点在双曲线上 C. 若，则点在抛物线上 D. 若，则点在直线上 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量，，则，则__________. 13. 已知，，，且恒成立，则的取值范围是__________. 14. 已知函数在上单调递减，则的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且. （1）若，求； （2）若，求的面积的最大值. 16. 如图，，分别为椭圆的左、右顶点，为第一象限上一点，且，过点的直线与有唯一的公共点. （1）求的方程； （2）过原点作直线的平行线与椭圆C交于M，N两点，证明：P，M，，N四点共圆，并求该圆的标准方程. 17. 如图，四棱锥的底面为正方形，E，F分别为PA，PC的中点，且平面平面，平面BEF和平面ABCD不垂直. （1）证明：； （2）若，当四棱锥的体积最大时，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 若数列共有项，都有，其中为常数，则称数列是一个项数为的“对数等和数列”，其中称为“对数等和常数”.已知数列是一个项数为的对数等和数列，对数等和常数为. （1）若，，，求的值； （2）定义数列满足：，，2，3，…，m. （i）证明：数列是一个项数为的对数等和数列； （ii）已知数列是首项为1024，公比为的等比数列，若，求的值. 19. 已知函数（，且）. （1）当时，证明：为增函数； （2）若存在两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）设的极大值为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $