精品解析：陕西省渭南市蒲城县城关镇初级中学2024-2025学年上学期九年级10月月考数学试题

2024-2025学年度上学期阶段性学科训练（一） 九年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 此题可根据因式分解法求解方程． 【详解】解： ， 故选：C． 2. 如图，在矩形中，点O、M分别是、的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 8 B. 5 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线及矩形的性质，熟练掌握三角形的中位线及矩形的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点O、M分别是、的中点，， ∴， ∴； 故选：C． 3. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可． 【详解】解：利用配方法如下： ． 故选D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键． 4. 满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形 B. 有三个角是直角的四边形 C. 有一组邻边相等的平行四边形 D. 对角线相等的菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，同时也考查了平行四边形、矩形及菱形的判定，掌握这些四边形的判定方法是关键．根据正方形的判定方法即可作出判断． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，符合题意； 故选：D． 5. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，，则的值是（ ） A. 0.5 B. 2 C. D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理等，利用矩形的性质得出，，，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 小华和小麦对关于x的一元二次方程展开讨论，小华说：若，则此方程一定有实数根；小麦说：若a，c异号，则此方程一定有实数根．下列判断正确的是（ ） A. 小华正确，小麦错误 B. 小华错误，小麦正确 C. 小华，小麦都正确 D. 小华，小麦都错误 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据“时，该方程有两个不相等的实数根，当时，该方程有两个相等的实数根，当时，该方程没有实数根”，然后问题可求解． 【详解】解：小华：当时，则，所以此方程一定有实数根； 小麦：若a，c异号，则，所以此方程一定有实数根； 所以小华，小麦的说法都正确； 故选C． 7. 如图，正方形的边长是4，菱形的边长是，则菱形的对角线的长是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握正方形、菱形的性质及勾股定理是解题的关键；连接，交于点O，由题意易得，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，交于点O，如图所示： ∵四边形是边长为4的正方形，四边形是边长为的菱形， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴； 故选A． 8. 已知关于x的一元二次方程．下列说法中正确的有（ ） ①若，则方程有一个根是1； ②若方程的两根为和2，则有成立； ③若c是方程的一个根，则有成立； A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 当时，，则方程有一个根是1；可判断①的正误；由方程的两根为和2，可得，即，可判断②的正误；由c是方程的一个根，可得，即，由，可得，则，可判断③的正误． 【详解】解：当时，， ∴方程有一个根是1；正确，故①符合要求； ∵方程的两根为和2， ∴，即，正确，故②符合要求； ∵c是方程的一个根， ∴，即， ∵， ∴， ∴，正确，故③符合要求； 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 一元二次方程的一般形式为______（二次项的系数为正数） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了将一元二次方程化为一般形式 先去括号，再移项化为一般形式即可． 【详解】解：去括号得：， ∴， 故答案为： 10. 点O是矩形的对称中心，连接、，若，则的度数是______°． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：如图， ∵点O是矩形的对称中心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为70． 11. 若关于的一元二次方程（）的解是，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握一元二次方程解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程（）的解是， ∴，即， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 12. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题．对这个问题稍作改编，如图，在中，，，，，求的长．则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，符合要求， 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，，，点M是的中点，连接，点N为线段上的一个动点，连接，则线段长度的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，连接，作于，此时线段长度最小，证明是等边三角形，由点M是的中点，可得，，由，可得，由勾股定理得，，，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，作于，此时线段长度最小， ∵菱形中，，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∵点M是的中点， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得，，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短是解题的关键． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，根据一元二次方程各项系数，用求根公式计算即可． 【详解】解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 15. 如图，在正方形中，E、F分别为，上的点，作于M．判断与是否相等？并说明理由． 【答案】 解：，理由为： ∵是正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，直角三角形的两锐角互余，平行线的性质，根据正方形的性质得到，，进而得到，根据同角的余角相等得到，即可得到结论． 【详解】略 16. 已知一元二次方程．当时，若方程的一个根为，求c的值以及方程的另一个根． 【答案】c的值为3，方程的另一个根 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，把，代入，求出c，然后把c代入方程，再解方程即可． 【详解】解：把，代入， 得， 解得， ∴原方程为， ∴， ∴或， 解得，， ∴c的值为3，方程的另一个根． 17. 如图，与是的高，是的中点，连接、．与是否相等？请说明理由． 【答案】 相等． 理由：∵与是的高， ∴， ∴和都是且是斜边， ∵点是的中点， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，直角三角形斜边中线的性质，根据三角形高的定义可得和都是，再根据直角三角形斜边中线的性质即可得证．解题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：略． 18. 如图，在矩形中，过对角线的中点O作线段，线段分别与和的延长线交于点E，F．求证：． 【答案】 证明：∵矩形， O是的中点， ∴，， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定．熟练掌握矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定是解题的关键． 由矩形， O是的中点，可得，，则，，进而可证． 【详解】略 19. 为了解决停车问题，计划将矩形空地改建，，．如图，将在矩形空地沿着边和修建宽度相同的通道，剩余矩形停车场的面积为，求通道的宽度． 【答案】通道的宽度为 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设通道的宽度为，然后根据题意可得方程，进而求解即可． 【详解】解：设通道的宽度为，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）； 答：通道的宽度为． 20. 如图，在四边形中，，，，，点M从点D出发，以的速度向点C运动，同时点N从点B出发，以的速度向点A运动，点N到达点A停止，同时点M也停止，当点M运动多长时间时，四边形为矩形． 【答案】当点M运动秒时，四边形是矩形 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键；设点N运动的时间为t，由题意易得，然后可得方程，进而问题可求解． 【详解】解：设点N运动的时间为t，由题意得， ∵，， ∴当时，四边形为矩形， ∴， 解得：， ∴当点M运动秒时，四边形是矩形． 21. 若关于x的方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若满足，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是： （1）由方程有两个实数根，得到，解不等式即可得到答案； （2）根据，得出方程有两个相等的实数根，则，即可求解． 【小问1详解】 解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 22. 如图，在中，过点A作平分交于点E，过点E分别作、的平行线、，点F、G分别在、上．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、平行四边形的判定及菱形的判定，熟练掌握各个判定定理是解题的关键；由题意易得，则有四边形是平行四边形，，然后问题可求证． 【详解】略 23. 某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元． （1）平均每天的销售量为　　　　本（用含x的代数式表示）； （2）商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 【答案】（1） （2）每本画册应降价4元 【解析】 【分析】（1）根据“画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本”列式即可． （2）根据“这种画册的销售利润平均每天达到2240元”列出方程，即每本画册的利润乘以销售量等于总利润，再求解，把不符合题意的舍去； 本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题——利润问题，根据数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 由题意可知，每天的销售量为本． 故答案为：． 【小问2详解】 由题意可得， ， 整理得， 解得，， ∵要求每本售价不低于55元， ∴符合题意． 故每本画册应降价4元． 24. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作交的延长线于点E，在上截取，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是：熟练掌握菱形的性质. （1）先证明四边形是平行四边形，然后利用矩形的判定即可得证； （2）先利用菱形的性质得出， ，，然后勾股定理求出，然后利用等面积法求出，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，对角线与交于点O ，，， ， ， 菱形的面积 ， ， ∵四边形是矩形， ． 25. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． （1）根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； （2）关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 【答案】（1）属于 （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得，；结合题意，将，分别代入，从而计算得m的值；再经检验符合m的值是否符合题意，从而完成求解． 【小问1详解】 解：解方程，得，， 解方程，得，， ∴一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， ∴一元二次方程与属于“同伴方程”； 【小问2详解】 解：解，得，， 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； ∴m的值为或． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在菱形中，，点E、F分别在边、上，连接、、，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，有一个正方形草地，，现计划将该草地扩建成四边形，，，连接，与边有交点，交点为M，边与边有交点，交点为N，连接，计划沿三边修建围栏，在区域建儿童活动区，请求出需要围栏的总长（即的周长）． 【答案】 （1）证明：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 由旋转可知：， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）需要围栏的总长为 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及正方形、菱形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及正方形、菱形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，则可知，进而问题可求证； （2）延长，交于点H，由题意易得四边形是正方形，然后可得，进而可得，然后问题可求解． 【详解】（1） 略 （2）解：延长，交于点H，如图所示： ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴； 即需要围栏的总长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期阶段性学科训练（一） 九年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 如图，在矩形中，点O、M分别是、的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 8 B. 5 C. 6 D. 3 3. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形 B. 有三个角是直角的四边形 C. 有一组邻边相等的平行四边形 D. 对角线相等的菱形 5. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，，则的值是（ ） A. 0.5 B. 2 C. D. 2.5 6. 小华和小麦对关于x的一元二次方程展开讨论，小华说：若，则此方程一定有实数根；小麦说：若a，c异号，则此方程一定有实数根．下列判断正确的是（ ） A. 小华正确，小麦错误 B. 小华错误，小麦正确 C. 小华，小麦都正确 D. 小华，小麦都错误 7. 如图，正方形的边长是4，菱形的边长是，则菱形的对角线的长是（ ） A. B. C. 4 D. 8. 已知关于x的一元二次方程．下列说法中正确的有（ ） ①若，则方程有一个根是1； ②若方程的两根为和2，则有成立； ③若c是方程的一个根，则有成立； A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 一元二次方程的一般形式为______（二次项的系数为正数） 10. 点O是矩形的对称中心，连接、，若，则的度数是______°． 11. 若关于的一元二次方程（）的解是，则的值是______． 12. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题．对这个问题稍作改编，如图，在中，，，，，求的长．则的长为______． 13. 如图，在菱形中，，，点M是的中点，连接，点N为线段上的一个动点，连接，则线段长度的最小值为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 如图，在正方形中，E、F分别为，上的点，作于M．判断与是否相等？并说明理由． 16. 已知一元二次方程．当时，若方程的一个根为，求c的值以及方程的另一个根． 17. 如图，与是的高，是的中点，连接、．与是否相等？请说明理由． 18. 如图，在矩形中，过对角线的中点O作线段，线段分别与和的延长线交于点E，F．求证：． 19. 为了解决停车问题，计划将矩形空地改建，，．如图，将在矩形空地沿着边和修建宽度相同的通道，剩余矩形停车场的面积为，求通道的宽度． 20. 如图，在四边形中，，，，，点M从点D出发，以的速度向点C运动，同时点N从点B出发，以的速度向点A运动，点N到达点A停止，同时点M也停止，当点M运动多长时间时，四边形为矩形． 21. 若关于x的方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若满足，求实数m的值． 22. 如图，在中，过点A作平分交于点E，过点E分别作、的平行线、，点F、G分别在、上．求证：四边形是菱形． 23. 某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元． （1）平均每天的销售量为　　　　本（用含x的代数式表示）； （2）商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 24. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作交的延长线于点E，在上截取，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 25. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． （1）根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； （2）关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在菱形中，，点E、F分别在边、上，连接、、，，将绕点B顺时针旋转得到，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，有一个正方形草地，，现计划将该草地扩建成四边形，，，连接，与边有交点，交点为M，边与边有交点，交点为N，连接，计划沿三边修建围栏，在区域建儿童活动区，请求出需要围栏的总长（即的周长）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $