精品解析：青海省西宁市海湖中学2024-2025学年高一上学期第一阶段测试数学试卷

西宁市海湖中学2024—2025学年度第一学期 高一数学第一阶段学情考试 时间：120分钟 满分：150分 命题人： 审题人： 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. ，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，若有两个元素，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 8. 《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. ≤(a>0，b>0) B. a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C. ≥(a>0，b>0) D. ≥ (a>0，b>0) 二、多选题（每小题6分，共18分，多选错选不得分） 9. 下列四个结论中正确的是（ ） A. 命题“若，则”的逆命题为真命题 B. 命题“”的否定是“” C. “”的充要条件是“” D. “”是“”的必要不充分条件 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 下列结论中，错误的结论有（ ） A. 取得最大值时的值为 B. 若，则的最大值为 C. 函数的最小值为 D. 若，，且，那么的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知集合的所有非空真子集的元素之和为2023，则__________. 13. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______． 14. 已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是___________ 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 设，已知集合，． （1）当时，求和； （2）设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 16. （1）设a、b为实数，比较与的值的大小； （2）已知，求的取值范围； （3）写出集合的所有子集. 17. 已知，关于的不等式的解集为或． （1）求的值； （2）解关于的不等式． 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 19. 已知函数. （1）若的解集是或，求实数的值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，若时函数有解，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市海湖中学2024—2025学年度第一学期 高一数学第一阶段学情考试 时间：120分钟 满分：150分 命题人： 审题人： 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集运算求解即可. 【详解】, 故选：C. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】，，则. 故选：D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得答案． 【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知： 命题“”的否定是：． 故选：B． 4. 命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分不必要条件转化为，即可求解. 【详解】由于的一个充分不必要条件是，故是的充分不必要条件， 故，故， 故选：D 5. 若正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 6. ，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两个集合相等，则元素相同，据此分类讨论求解即可. 【详解】由题意，或，∴或， 由集合元素互异性可知， 则实数的取值集合为. 故选：A. 7. 已知集合，若有两个元素，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解出集合，结合有两个元素求解即可. 【详解】因为， 由于有两个元素， 则或， 解得或， 所以实数的取值范围是或. 故选：C. 8. 《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. ≤(a>0，b>0) B. a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C. ≥(a>0，b>0) D. ≥ (a>0，b>0) 【答案】C 【解析】 【分析】先明确的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断选项. 【详解】由题意可知， 由 可知 ，即， 所以；在中，，即 当时，点重合， ，此时，所以错误； 在中，可得即， 所以， 由于，所以， 当时，,此时，所以正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故中的不等式无法通过这种几何方法来证明， 故选：C. 二、多选题（每小题6分，共18分，多选错选不得分） 9. 下列四个结论中正确的是（ ） A. 命题“若，则”的逆命题为真命题 B. 命题“”的否定是“” C. “”的充要条件是“” D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】CD 【解析】 【分析】结合不等式性质即可判断A；根据含有一个量词命题的否定可判断B；根据充要条件以及必要不充分条件的判断可判断CD. 【详解】对于A，命题“若，则”的逆命题为“若，则”， 取，则，故逆命题为假命题，A错误； 对于B，根据全称量词命题的否定为存在量词命题知： 命题“”的否定为：，B错误； 对于C，若，则，反之，若，则， 所以“”的充要条件是“”，C正确； 对于D，若，则不一定成立，如，但， 反之，若，则，所以“”是“”的必要不充分条件，正确. 故选：CD 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确； 对于C，利用作差法知， 由，，知， 即，故C正确； 对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确. 故选：BCD 11. 下列结论中，错误的结论有（ ） A. 取得最大值时的值为 B. 若，则的最大值为 C. 函数的最小值为 D. 若，，且，那么的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二次函数的性质判断A，利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】对于A，因为，则函数的对称轴为， 所以取得最大值时的值为，故A错误； 对于B，令， 若，，，，当时取等号， 所以，则，则的最大值为，故B错误； 对于C，函数， 令，当时，解得，不满足题意，故C错误； 对于D，若，，且， 所以， 当时，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知集合的所有非空真子集的元素之和为2023，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】写出集合的非空真子集，得到，求出. 【详解】因为集合的所有非空真子集为： ， ， 所以有. 故答案为：289 13. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______． 【答案】－3 【解析】 【分析】根据交集定义，若，则且，从而讨论集合的情况，确定实数a的值. 【详解】由题意可得，且， 当时，解得， 此时，，，不符合题意，舍去； 当时，解得， 当时，，，中元素不满足互异性，不符合题意，舍去， 当时，，，，符合题意， 综上所述，， 故答案为：－3. 14. 已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】对进行和分类，再结合不等式的解集为讨论求解即可. 【详解】当时，，与客观事实矛盾， 故此时不等式的解集为，符合； 当时，为一元二次不等式，若此不等式的解集为， 则有， 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 设，已知集合，． （1）当时，求和； （2）设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 【答案】（1） ，或； （2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据并集，补集和交集的概念求出答案； （2）由必要不充分条件得到是的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 因为，所以， ， ， 故或； 【小问2详解】 由题可得是的真子集， 当，则；     当， 则或，解得， 综上，. 16. （1）设a、b为实数，比较与的值的大小； （2）已知，求的取值范围； （3）写出集合的所有子集. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）作差法比较出大小； （2）利用不等式的性质得到，； （3）先得到，列举出所有子集. 【详解】（1）由， 又a、b为实数，，，则， 所以. （2）因为，所以，， 又，所以； （3）因为， 所以的子集为：. 17. 已知，关于的不等式的解集为或． （1）求的值； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理，即可求解； （2）根据（1）的结果，不等式为，分解因式后，讨论的取值，解不等式. 【小问1详解】 因为不等式的解集为或， 所以与是方程的两个实数根， 由根与系数的关系，得， 解得：，； 【小问2详解】 由（1）知不等式为， 即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为． 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】（1）采用方案二；理由如下： 方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）24 【解析】 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 采用方案二，花费更少，理由略； 【小问2详解】 由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 19. 已知函数. （1）若的解集是或，求实数的值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，若时函数有解，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得的值. （2）对进行分类讨论，结合判别式来求得正确答案. （3）对进行分类讨论，根据一元二次不等式在区间上有解列不等式，求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 依题意，的解集是或， 所以，解得. 【小问2详解】 若恒成立，则恒成立. 当时，不恒成立； 当时，，解得：. 实数的取值范围为：. 【小问3详解】 时，在有解， 即在有解， 因为的开口向上，对称轴， ①即，时，函数取得最小值，即， ∴. ②即时，当取得最小值，此时， 解得. ③当即时，当时取得最小值，此时， 解得， 综上，或. 所以：的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $