甘肃省兰州市第五十一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

第 1 页 共 3 页 兰州五十一中 2024～2025 年度第一学期期中考试试卷 高一数学 命题人：张娅琴 审题人：李清芳 第 I 卷（58 分） 一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确 的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．设全集  { 3}, 0,1,2,3NA x x B=   =∣ ，则 A B =（ ） A． 0,1 B． 1, 2 C． 0,1, 2 D． 0,1,2,3 2．“ 4x = ”是“ 3x  ”成立的（ ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 3．函数 ( ) 0 1 4 1 x y x x + = − + + 的定义域是（ ） A． )1,− + B． ( )1,− + C． ) ( )1, 4 4,− + D． ( ) ( )1,4 4, −  + 4．命题“ 2 0 0 0 1 0Rx x x  + + ， ”的否定是 （ ） A． 2 0 0 0 1 0Rx x x  + + ， B． 2 0 0 0 1 0Rx x x  + + ， C． 2 1 0Rx x x  + + ， D． 2 1 0Rx x x  + + ， 5．不等式 2 1 x x −  的解为（ ） A．0 1x  B． 0x  或 1x  C．0 1x  D． 0x  或 1x  6．已知函数 2 1, 2 ( ) 1, 2 3 7, 3 x f x x x x x   = −    −  ，且 ( )0 2f x = ，则 0x =（ ） A．1 B．2 C．3 D．6 7．已知函数 ( )f x 是定义在[0, )+ 上的增函数，则满足 1 (2 1) 3 f x f   −      的 x 的取值范围是（ ） A． 1 2 , 3 3       B． 1 2 , 3 3      C． 1 2 , 2 3       D． 1 2 , 2 3      第 2 页 共 3 页 8．函数 2y x x= + − 的值域为（ ） A． ( , 2]− B．[2, )+ C． 9 , 4   −    D． 9 , 4   +   二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是（ ） A．若 0c  ， ac bc ，则 a b B．若 2 4a−   ，1 3b  ，则 8 2 2a b−  −  C．若 0a b  ， 0m  ，则 m m a b  D．若 2 4a b−  +  ，1 2 3b a −  ，则 9 2 3a b−  −  10．下列命题正确的是 （ ） A．若a b， R，且 0ab  ， 2a b ab+  B．已知正数 x 、 y 满足 1x y+ = ，则 1 4 1x y + + 的最小值为 9 2 C．若 0x  ，则 4 2 3x x − − 的最大值是2 4 3− D．若 ( )2x x y= − ， 0x  ， 0y  ，则 2x y+ 的最小值是9 11．定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( ) ( )f x f y f x y+ = + ，当 0x  时， ( ) 0f x  ，则下列说法正确 的是（ ） A． ( )0 0f = B． ( )f x 为奇函数 C． ( )f x 在区间 ,m n 上有最大值 ( )f n D． ( ) ( )22 1 2 0f x f x− + −  的解集为 3 1x x−   第 II 卷（92 分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知 2 4{ |A x x−=   ， }x Z ，则Z A+ 的真子集的个数是 个． 13．已知 ( ) 21 3 2f x x x+ = − + ，则 ( )f x = . 14．若当 1x  时，不等式 1 2 1 1 x m x +  − − 恒成立，则实数m 的取值范围是 . 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 3 页 共 3 页 15．已知集合 { | 2A x x=  或 1}x  − ，关于 x 的不等式 ( )2 22 1 0x a x a a− + + +  的解集为 B. （1）求集合 B； （2）若 A B B= ，求实数a 的取值范围． 16．若正实数 a，b 满足： 2a b+ = . (1)求 ab 的最大值； (2)求 1 4 a b + 的最小值； (3)求 2 2 1 1 a b + 的最小值. 17．已知函数 ( )f x 的解析式为 ( ) 2 2, 1 , 1 2 6, 2 x x f x x x x x +  −  = −   − +  (1)画出这个函数的图象，并写出 ( )f x 的最大值； (2)解不等式 ( ) 2f x  ； (3)若直线 y k= （ k 为常数）与函数 ( )f x 的图象有两个公共点，直接写出 k 的范围． 18．已知函数 ( )f x 是R 上的偶函数，当 0x  ， 2( ) 4 3f x x x= − + − ， (1)求函数 ( )f x 的解析式； (2)若 (2 1) ( 1)f m f m−  + ，求实数m 的取值范围. 19．对于函数 ( )f x ，若 ( )f x x= ，则称实数 x 为 ( )f x 的“不动点”，若 ( )( )f f x x= ，则称实数 x 为 ( )f x 的“稳定点”，函数 ( )f x 的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为 A 和 B，即 ( ) A x f x x= = ， ( )( ) B x f f x x= = . (1)对于函数 ( ) 2 1f x x= − ，分别求出集合 A 和 B； (2)设 ( ) 2f x x ax b= + + ，若  1,3A = − ，求集合 B . 第 1 页 共 8 页 兰州五十一中 2024～2025 年度第一学期期中考试试卷 高一数学 命题人：张娅琴 审题人：李清芳 第 I 卷（58 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D D A C D C AB BC 题号 11 答案 ABD 一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确 的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．C 【分析】利用列举法表示集合A ，再利用交集的定义求解即得. 【详解】依题意， {0,1,2}A  ，而  0,1,2,3B  ， 所以  0,1,2A B  . 故选：C 2．A 【分析】根据小范围推大范围即可判断. 【详解】由小范围推大范围可知为充分不必要条件. 故选：A. 3．D 【分析】根据 0 的 0 次幂无意义，分母不为 0 和偶次根式下不小于 0 列出不等式组，解出即可. 【详解】要使函数有意义，需满足 4 0 1 0 x x      ，解得 1x   且 4x  ， 所以函数  0 14 1 xy x x      的定义域为 ( 1, 4) (4, )  . 故选：D. 4．D 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解. 【详解】命题“ 20 0 0 1 0x x x    R， ”的否定是“ 2 1 0x x x    R， ”. 第 2 页 共 8 页 故选：D. 5．A 【分析】把分式不等式转化为整式不等式，即可解得. 【详解】 2 2 2 21 1 0 0x x x x x x       则 即 得  1 0x x  且 0x  ，解得0 1x  ， 即不等式的解集为 | 0 1x x  . 故选：A 6．C 【分析】根据分段函数解析式分段讨论得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为 2 1, 2 ( ) 1,2 3 7, 3 x f x x x x x         ，且  0 2f x  ， 则 0 0 2 3 1 2 x x      或 0 2 0 3 7 2 x x     ，解得 0 3x  . 故选：C 7．D 【分析】利用函数的定义域及单调性计算即可. 【详解】由题意可知 2 1 0 12 1 3 x x       ，解不等式得 1 2, 2 3 x     . 故选：D 8．C 【分析】利用换元法转化为二次函数求解值域即可． 【详解】根据题意知函数定义域为 ( , 2] ，令 2 0t x   ， 所以 2 22 1 92 2 4 y t tx tx               ， 当 1 2 t  时， max 9 4 y  ，所以函数的值域为 9, 4     . 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．AB 【分析】利用不等式的性质，逐项计算判断即可. 第 3 页 共 8 页 【详解】对于 A，因为 ac bc ，不等式两边同除以  0c c  ，可得 a b ，故 A 正确； 对于 B，因为1 3b  ，所以 6 2 2b     ，又 2 4a   ， 所以 8 2 2a b    ，故 B 正确； 对于 C，因为 0a b  ，所以 1 10 a b   ，又 0m  ，所以 m m a b  ，故 C 不正确； 对于 D，令 2 ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( )a b x a b y b a x y a x y b         ， 则 2 1 2 x y x y       ，解得 1 1 x y      ，所以 2 ( ) ( 2 )a b a b b a      ， 因为 2 4a b    ，所以 4 ( ) 2a b     ， 因为1 2 3b a   ，所以 3 ( 2 ) 1b a      ， 所以 7 2 1a b    ，故 D 不正确. 故选：AB. 10．BC 【分析】利用基本不等式逐项判断，注意不等成立的前提条件． 【详解】对于选项A ，若 a b， 均为负数，不等式不成立，所以A 错误； 对于选项B， 1x y  ，所以 1 2x y  （ ） ， 则  1 4 1 4 4 1 4 12 1 5 2 5 9 1 1 1 1 x y x yx y x y x y y x y x                   （ ） （ ）（ ） ， 所以， 1 4 9 1 2x y    ，当且仅当 4 1 1 1 x y y x x y       ，即当 2 3 1 3 x y       时，等号成立，故B 正确； 对于选项C ，因为 0x  ， 4 43 2 3 4 3x x x x     ，当且仅当 43x x  即 2 3 3 x  时，等号成立，所以 42 3 2 4 3x x     ，故C正确； 对于选项D ，因为  2x x y  ，所以 1 2 1y x  ， 所以 1 2 4 42 2 4 2 4 8x y x yx y x y y x y x y x           （ ）（ ） ，当且仅当 4x y y x  即 4 2x y ， 时，等号成 立，所以 2x y 的最小值是8，故D 错误． 故选：BC． 11．ABD 【分析】A.由      f x f y f x y   ，利用赋值法求解判断；B. 由      f x f y f x y   ，令 y x  ， 第 4 页 共 8 页 由奇偶性的定义判断；C.判断函数的单调性求解；D.利用函数的奇偶性和单调性求解判断. 【详解】解：因为函数  f x 满足      f x f y f x y   ， 所以      0 0 0f f f  ，即    2 0 0f f ，则  0 0f  ； 令 y x  ，则      0 0f x f x f    ，故  f x 为奇函数， 设 1 2, Rx x  ，且 1 2x x ，则        1 1 2 2 1 2 2f x f x x x f x x f x      ， 即      1 2 1 2 0f x f x f x x    ，所以  f x 在 R 上是减函数， 所以  f x 在区间 ,m n 上有最大值  f m ， 由    22 1 2 0f x f x    ，得    2 2 3 0f x x f   ， 由  f x 在 R 上是减函数，得 2 2 3 0x x   ，即   3 1 0x x   ， 解得 3 1x   ，所以    22 1 2 0f x f x    的解集为 3 1x x   ， 故选：ABD 第 II 卷（92 分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．7 【分析】根据集合交集的定义求出 AZ  ，最后求出 AZ  的真子集的个数. 【详解】因为  1,2,3A Z  ，所以 AZ  的真子集的个数为： 32 1 7  . 故答案为：7 【点睛】本题考查了集合的交集定义，考查了集合真子集个数问题，属于基础题. 13． 2 5 6x x  【分析】应用换元法求函数解析式. 【详解】令 1t x  ，则 1x t  ， 所以   2 2( 1) 3( 1) 2 5 6f t t t t t        ， 故   2 5 6f x x x  . 故答案为： 2 5 6x x  14．  , 2 第 5 页 共 8 页 【分析】由基本不等式求出 1 3 1 x x    ，从而得到3 2 1m  ，求出答案. 【详解】因为 1x  ，所以 1 1 11 1 2 ( 1) 1 3 1 1 1 x x x x x x              ， 当且仅当 11 1 x x    ，即 2x  时，等号成立， 故只需3 2 1m  ，解得 2m  ，所以实数m的取值范围是 ( , 2] . 故答案为： ( , 2] . 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1）x x a 或 1x a  ；（2） 1 1a   【解析】（1）由     2 22 1 1 0x a x a a x a x a         ，解不等式，即可求出集合 B； （2）由 A B B ，可得 A B ，进而列出不等关系，即可求出实数 a的取值范围. 【详解】（1）由题意，     2 22 1 1 0x a x a a x a x a         ，即 1x a  或 x a ， 所以集合 B x x a  或 1x a  . （2）因为 A B B ，所以 A B ， 由 { | 2A x x  或 1}x   ， B x x a  或 1x a  ， 可得 1 1 2 a a      ，即 1 1a   . 所以实数 a的取值范围是 1 1a   . 16．(1)1 (2) 9 2 (3)2 【分析】（1）利用基本不等式 2 2a b ab   ，求 ab的最大值； （2）由  1 4 1 1 4 1 41 4 2 2 b aa b a b a b a b                   ，利用基本不等式求 1 4 a b  的最小值； （3）由    2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 4 4 a b a b a b a b a b a b b a b a                               ，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】（1）正实数 a，b满足： 2a b  ， 则有 2 2a b ab   ，得 1ab  ，当且仅当 1a b  时等号成立， 所以 ab的最大值为 1. （2）正实数 a，b满足： 2a b  ， 第 6 页 共 8 页  1 4 1 1 4 1 4 1 4 91 4 5 2 2 2 2 2 b a b aa b a b a b a b a b                            ， 当且仅当 4b a a b  ，即 2 4, 3 3 a b  时等号成立， 所以 1 4 a b  的最小值为 9 2 . （3）正实数 a，b满足： 2a b  ，    2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 11 1 2 4 4 4 a b a b b b a a a b a b a b a b a a b b b a b a                                                         ， 2 2a b a b b a b a     ，当且仅当 a b b a  ，即 1a b  时等号成立， 则   2 21 12 2 2 2 2 4 4 a b a b b a b a                      ， 所以 1a b  时， 2 2 1 1 a b  的最小值为 2. 17．(1)图象见解析，最大值为 4 (2){ 2x x  或 4}x  (3) 0k  或1 4k  【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）分段求解不等式，再求并集； （3）根据图象，画出 y k 与 有 2 个交点，求 k取值范围. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当 2x  时，取得最大值 4. （2）当 1x   时， 1 1x   ，所以   2f x  恒成立， 当 1 2x   时， 2 2 2 2x x     ，所以 1 2x   ， 当 2x  时， 6 2 4x x     ，所以 4x  ， 第 7 页 共 8 页 综上可知， 2x  或 4x  ， 所以不等式的解集为{ 2x x  或 4}x  ； （3） 如图， y k 与 有 2 个交点，则 0k  或1 4k  . 18．(1) 2 2 4 3, 0 ( ) 4 3, 0 x x x f x x x x           (2)    ,0 2,  【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义求 0x  时，函数 ( )f x 的解析式，即可得结果； （2）根据函数解析式以及奇偶性分析函数 ( )f x 的单调性，结合单调性和对称性可得 2 1 1m m   ，运算 求解即可. 【详解】（1）当 0x  时，则 0x  ， 由题意可得：      2 2( ) 4 3 4 3f x f x x x x x            ， 所以函数 ( )f x 的解析式为 2 2 4 3, 0 ( ) 4 3, 0 x x x f x x x x           . （2）因为 2= +4 3y x x  的开口向下，对称轴为 2x  ， 可知函数 ( )f x 在  ,0 内单调递增， 且函数 ( )f x 是 上的偶函数，可知函数 ( )f x 在 0,  内单调递减， 若 (2 1) ( 1)f m f m   ，则 2 1 1m m   ， 整理可得 2 2 0m m  ，解得 2m  或 0m  ， 所以实数m的取值范围为    ,0 2,    . 19．(1)    , 11A B  第 8 页 共 8 页 (2)  3, 1,3, 3B    【分析】（1）根据函数  f x 的“不动点”和“稳定点”的定义，列出方程，即可求解； （2）由  1,3A   ，根据题意，列出方程组，求得 ,a b的值，得到   2 3f x x x   ，再由  ( )f f x x ，列 出方程，求得方程的解，即可得到答案. 【详解】（1）解：由  f x 的“不动点”和“稳定点”的集合为   A x f x x  ，    B x f f x x  ， 令  f x x ，可得2 1x x  ，解得 1x  ； 令   f f x x＝ ，可得2(2 1) 1x x   ，解得 1x  ， 所以集合    , 11A B  ． （2）解：由函数   2f x x ax b   ， 因为  1,3A   ，可得 ( 1) 1 (3) 3 f f      ，即  2 2 1 1 3 3 3 a b a b           ， 解得 1, 3a b    ，所以   2 3f x x x   ， 可得   2 2 2 2( ) ( 3) ( 3) ( 3) 3f f x f x x x x x x x           ， 整理得  22 23 0x x x    ，即    2 23 2 3 0x x x    ， 所以     3 3 1 3 0x x x x     ，解得 3x   或 1x  或 3x  ， 所以集合  3, 1,3, 3B    .