江苏省南京市第十三中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题

2024年高二年级上期中模拟测（数学） （时间：120分钟 满分：150分） 命题人： 审卷人： 2024年10月28日 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z满足（i为虚数单位），则z的模（ ） A. B. 1 C. D. 5 2. 设，若点在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线在轴、轴上的截距相等，则直线与直线间的距离为（ ） A. B. C. 或 D. 0或 4. 已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角所对的边分别是，已知，且，当取得最小值时，的最大内角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为4m，深度为0.5m，则该抛物线顶点到焦点的距离为（ ） A. 0.25m B. 0.5m C. 1m D. 2m 7. 已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：（ ）. A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分． 9. 设抛物线的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（ ） A. B. 点的坐标为 C. D. 直线的方程为 10. 已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ） A. 曲线C关于原点对称 B. 曲线C存在点P，使得 C. 直线与曲线C没有交点 D. 点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向作垂线，垂足分别为A，B，则 11. 已知正方体的棱长为1，M为侧面上的动点，N为侧面上的动点，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，则M的轨迹长度为 B. 若，则到直线的距离的最小值为 C. 若，则，且直线平面 D. 若，则与平面所成角正弦的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______． 13. 已知，是圆：（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为__________． 14. 如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆． 如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校为了解本校身体素质情况，分别从男生中随机抽取人的体育测试成绩得到样本甲，从女生中随机抽取人的体育测试成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图. 已知乙样本中数据在的有个. （1）求和乙样本直方图中的值； （2）试估计该校女生本次体育测试成绩的平均值和男生本次体育测试成绩的上四分位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）； （3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在的学生中抽取人，并从这人中任取人，求这两人分数都在中的概率. 16. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，为等腰直角三角形，，，为的中点． （1）线段上是否存在一点，使得平面PAD？若存在，请说明理由； （2）求四面体的体积． 17. 在中，，. （1）求的值； （2）若，求的面积; （3）设为内一点，，，求的值. 18. 已知圆． （1）过点作圆C的切线l，求l的方程； （2）若直线AB方程为与圆C相交于A、B两点，求． （3）在（2）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值． 19. 椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数. ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值. 2024年高二年级上期中模拟测（数学） （时间：120分钟 满分：150分） 命题人： 审卷人： 2024年10月28日 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】CD 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）， （2）平均值为，四分位数为 （3） 【16题答案】 【答案】（1）在上存在一点，且F为的中点，使得平面PAD （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1）或； （2）； （3）. 【19题答案】 【答案】（1） （2）①证明：设直线：（）， 由，得， AI 设，，所以，， 所以 ， 因为直线和的斜率互为相反数， 所以，所以， 所以， 所以. 即，所以， 因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点 ② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $