精品解析：山东省济宁市嘉祥县第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

高二月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为． 设直线的倾斜角为，则， 又， 所以， 所以直线的倾斜角为． 故选：C 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于平面对称时，横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数即可得到答案. 【详解】根据点关于平面对称时， 横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数可知， 点关于平面的对称点为， 故选：C. 3. 如果事件互斥，记，分别为事件的对立事件，那么（ ） A. 是必然事件 B. 是必然事件 C. 与一定互斥 D. 与不可能互斥 【答案】B 【解析】 【分析】用图示法，集合表示事件，集合表示事件，选项A，由图知不是全集，可判断选项A错误，选项B，由图知，即可判断出选项B的正误，因为可能为空集，也可能不为空集，即可判断出选项C和D的正误. 【详解】如图所示，集合表示事件，集合表示事件， 对于选项A，如图，因为不是全集，所以选项A错误， 对于选项B，由图知，即是必然事件，所以选项B正确， 对于选项C，由图知不一定是空集，即与可以同时发生，所以选项C错误， 对于选项D，由图知，若，则与互斥，所以选项D错误， 故选：B. 4. 甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.2 【答案】C 【解析】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式求出该难题没被解出的概率，然后由对立事件的概率关系求解. 【详解】该难题没被解出的概率为， 所以该难题被解决出的概率为． 故选：C． 5. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】夹角为钝角只需满足，排除共线的情况即可. 【详解】由，解得 当共线时，由，即解得， 所以当夹角为钝角时， 故选：B 6. 已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线l过的定点，设为P，求出，结合图象，即可确定答案. 【详解】由可得， 即直线过定点，设为P， 结合，则， 直线与线段AB（含端点）有公共点， 则或，即或， 故m的范围为， 故选：D 7. 在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离公式即可求出结果. 【详解】分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， ,,,,,, 设平面的法向量为， ,即，取， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 8. 如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，通过表示出点坐标，利用数量积求出夹角余弦值的范围，进而得出答案. 【详解】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则， ，， 设得：， 所以， ， 由， 所以，当时，等号成立， 则，即异面直线与MN所成角的正弦值的最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在四棱柱中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】借助空间向量的线性运算可得答案． 【详解】 ，故A错误、B正确； ，故C错误、D正确． 故选：BD． 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直线的方程得横截距可判断A；把方程作为参数的恒等式求解得定点坐标可判断B；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断CD． 【详解】对于A，令时，，则在轴上的截距为，故A正确； 对于B，直线，当时，所以直线恒过，故B正确； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，等价于，解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的正弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与的数量积的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系，标点，设，根据向量垂直可得.对于A：利用空间向量求线面夹角；对于B：利用空间向量求点到线的距离；对于C：根据空间向量的模长公式分析求解；对于D：根据空间向量的数量积分析求解. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得，， 若，则，可得， 则，解得，即. 对于选项A：可知平面的法向量， 则， 所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确； 对于选项B：因为， 所以点到的距离为，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 且，可得当且仅当时，取到最大值， 所以线段的长度的最大值为3，故C错误； 对于选项D：因为，， 则， 且，可知当时，取到最小值； 当时，取到最大值； 所以与的数量积的范围是，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，利用坐标运算求解即可. 【详解】由投影向量的定义可知， ， 故答案为： 13. 已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为________________. 【答案】0或5 【解析】 【分析】分类讨论直线斜率不存在与存在两种情况，结合直线垂直的性质即可得解. 【详解】因为直线经过点，且，所以的斜率存在， 而经过点，则其斜率可能不存在， 当的斜率不存在时，，即，此时的斜率为0，则，满足题意； 当的斜率存在时，，即，此时直线的斜率均存在， 由得，即，解得； 综上，a的值为0或5. 故答案为：0或5. 14. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，运用两点间的距离公式可求得，借助二次函数，求出最小时对应的的值，然后找出二面角的平面角,借助向量夹角公式计算求解即可. 【详解】以原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 所以， 当时，最小，此时，为中点，则， 取的中点，连接，则， 因为，，所以，， 所以是平面与平面的夹角或其补角， 因为，， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值是， 所以平面与平面夹角的正弦值是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. （1）求边所在直线的方程； （2）求对角线所在直线的方程. 【答案】（1）BC所在直线方程为，AD所在直线方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，由点斜式求出直线方程； （2）求出的中点坐标，再根据垂直关系得到，利用点斜式写出直线方程，得到答案. 【小问1详解】 由菱形的性质可知，则. 所以边所在直线的方程为，即； 边所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 线段的中点为， 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则， 所以对角线所在直线的方程为，即. 16. 亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分布直方图如图所示， （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这600名学生成绩的中位数； （3）根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率． 【答案】（1） （2）80 （3） 【解析】 【分析】（1）根据各矩形面积之和为1，列式计算，即可求得a的值； （2）根据频率分布直方图，结合中位数的求解方法，即可求得答案； （3）求出内的人数之比，根据分层抽样可求得两组各抽取的人数，列举出从这5人中任意选取2人的所有可能情况，再列举出这2人中至少有1人成绩不低于90分的情况，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得， 解得； 【小问2详解】 由频率分布直方图，得， ， 则估计这600名学生成绩的中位数为80； 【小问3详解】 由题意得，成绩在的频率为， 成绩在的频率为，频率之比为， 所以按分层抽样的方法从中选取5人，成绩在的学生有2人，分别记为， 成绩在的学生有3人，分别记为， 从这5人中任意选取2人，有，共10种选法， 其中至少有1人成绩不低于90分的选法有，，共9种， 所以这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率. 17. 如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点． （1）证明：； （2）若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论； 【答案】（1）证明见解析 （2）点在平面内，证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接、交于，连接，以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，求出，计算出即可. （2）求出、、，即可得到，从而得到、、、四点共面，即可得证. 【小问1详解】 连接、交于，连接，由正四棱锥的性质可得平面，底面为正方形，则， 所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，， 则，，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， ，， 又，得， ，所以， 所以、、、四点共面，即点在平面内． 18. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上. （1）求证：平面； （2）若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） 因为底面，、底面，所以，， 所以，， 所以矩形是正方形，所以， 因为，所以平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）由条件可得，，然后算出的长度可得矩形是正方形，然后可得，即可证明； （2）、、两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知、、两两垂直，建系如图， ，0，，，2，，，0，，，2，，，1，， ，，，，1，，，2，， 设平面的法向量为， 则，，即 所以可取，0，， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证四边形是平行四边形，可知，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）先利用面面垂直的性质定理证明平面，再证，，两两垂直，然后以为坐标原点建立空间直角坐标系，（ⅰ）利用向量法求平面与平面的夹角即可；（ⅱ）设，利用向量法表示出点到平面的距离，可得关于的方程，解之即可． 【小问1详解】 取的中点N，连接， 如图所示：为棱的中点，， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面． 【小问2详解】 ， ∵平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面，而，  ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， 为棱的中点，                      （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为，           ， ∴平面PDM与平面BDM的余弦值为； （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设，则，       由（2）知平面的一个法向量为，， ∴点Q到平面的距离是，  ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 3. 如果事件互斥，记，分别为事件的对立事件，那么（ ） A. 是必然事件 B. 是必然事件 C. 与一定互斥 D. 与不可能互斥 4. 甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.2 5. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在四棱柱中，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的正弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与的数量积的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______ 13. 已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为________________. 14. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点. （1）求边所在直线的方程； （2）求对角线所在直线的方程. 16. 亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分布直方图如图所示， （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这600名学生成绩的中位数； （3）根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率． 17. 如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点． （1）证明：； （2）若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论； 18. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上. （1）求证：平面； （2）若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $