精品解析：山东省聊城市冠县育才双语学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年第一次月考九年级数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 下列图形中，不是相似图形的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，对各选项进行一一分析，即可得出结论． 【详解】解：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，掌握相似图形的定义并能结合具体图形进行准确判断是解题的关键． 2. 已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（　　） A. 70° B. 60° C. 50° D. 30° 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值可得α﹣10°＝60°，进而可得α的值． 【详解】解：∵sin（α﹣10°）＝， ∴α﹣10°＝60°， ∴α＝70°． 故选A． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主． 3. 如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，A错误，不符合题意； ∵， ∴，B正确，符合题意； ∵， ∴，C错误，不符合题意； ∵， ∴，D错误，不符合题意， 故选：B． 4. 在中，，已知a和A，则下列关系式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦与余弦定义判定即可． 【详解】解：∵在中，，已知a和A， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查三角函数的定义，熟练掌握在中，，，，是解题的关键． 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 6. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到．以下说法中错误的是（　　） A. B. 点、、三点在同一直线上 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ，点、、三点在同一直线上，，， 选项A、B、C说法正确，不符合题意； ， ， ， ，故选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形． 7. 在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，的三个顶点均在格点上．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数，将所求角放到直角三角形中是关键．将放入直角三角形，然后利用网格及勾股定理确定三边长，即可得答案． 【详解】解：是的一个锐角， ， ∵， ， 故选：B． 8. 如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9. 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3， ∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处， ∴AF＝AD＝5，EF＝DE， 在Rt△ABF中，BF＝， ∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1， 设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x 在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2， ∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝， ∴DE＝EF＝3﹣x＝， ∴tan∠DAE＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键． 10. 如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使．按照此规律，线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键．根据直角三角形的性质，先求出前几个水平线段的长，找出规律再求解． 【详解】解：，且，， ， ， 同理：， ， ， 同理：， ； ， 线段的长为：， 故选：B． 二、填空题（共6小题） 11. cos30°的相反数是 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】先将特殊角的三角函数值代入求解，再求出其相反数． 【详解】解：∵cos30°=， 所以其相反数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及相反数的概念． 12. 已知两个相似三角形的周长分别为8和6，则他们面积的比是________． 【答案】16：9 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质直接解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是8：6=4：3， ∴它们的面积比是16：9， 故答案为：16：9． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 13. 如图，AB∥CD，AD、BC相交于O，且AO=5，BO=4，CO=16，那么DO=______________； 【答案】20 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，得到，利用AO、BO、CO的长度，求出DO的长度． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴， ∵AO=5，BO=4，CO=16， ∴ ， 解得：DO=20． 故答案为20． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 14. 如图，在中，，，点P从点B开始沿边向点A以每秒的速度移动，点Q从点A开始沿边向点C以每秒的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过_____秒钟与相似？ 【答案】0.8或2 【解析】 【分析】设在开始运动后第秒，与相似，由题意表示出，，，分两种情况考虑：当，时，；当，时，，分别由相似得比例，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果． 【详解】解：设在开始运动后第秒，与相似， 由题意得：cm，cm，cm， 分两种情况考虑： 当，时，； ， 即， 解得：， 当秒时，与相似； 当，时，， ∴，即， 解得：， 当秒时，与相似， 综上，当秒或2秒时，与相似． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，E点为边延长线一点，且．连接交边于点F，过点D作于点H，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定与性质求得线段的长，进而求得的长，利再用勾股定理求出的长，最后根据三角形的面积公式，即可求出的长． 【详解】解：四边形为矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 三．解答题（共9个小题） 16. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米，求车宽的长度． 【答案】米 【解析】 【分析】过点作，垂足为，交于点，根据题意，设米，由得，，证明，得出，根据列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则，设米， 由得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴车宽的长度为米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 17. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）写出点的坐标为______； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【答案】（1） （2）如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查位似图形及位似变换 （1）分别延长、、，它们的交点为点，再写出点坐标； （2）把、点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点并连线即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可． 解题的关键是掌握：当相似的两个图形的对应顶点的连线相交于一点时，就说这两个图形位似，此时的相似比称为位似比，交点称为位似中心；在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或；如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【小问1详解】 解：如图，分别延长、、，它们的交点为点， ∵与是关于点为位似中心的位似图形， 则点为所作，点坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 如图，，， 把、点的横纵坐标都乘以得：、， 连接、，， 则即为所作； 【小问3详解】 ∵的内部一点M的坐标为， 由（1）知：与是关于原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴点在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用特殊角的三角函数值化简，然后运用二次根式的混合运算计算即可； （2）先用特殊角的三角函数值化简，再用负整数幂、算术平方根、绝对值化简，然后运用二次根式的混合运算计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算、负整数次幂等知识点，牢记特殊角的三角函数值成为解答本题的关键． 19. 如图，点D在的边BC上，，，，求BD的长． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，进而证明，得到，最后求得BD的长． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵ ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握基础知识和基本题型． 20. 在中，，，为锐角且． （1）求的面积； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． 【小问2详解】 ∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． 【小问3详解】 在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 21. 如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB=，tanA=，AC=， （1）求∠B 的度数和 AB 的长． （2）求 tan∠CDB 的值． 【答案】（1）∠B的度数为45°，AB的值为3；（2）tan∠CDB的值为2． 【解析】 【分析】（1）作CE⊥AB于E，设CE=x，利用∠A的正切可得到AE=2x，则根据勾股定理得到AC=x，所以x=，解得x=1，于是得到CE=1，AE=2，接着利用sinB=得到∠B=45°，则BE=CE=1，最后计算AE+BE得到AB的长； （2）利用CD为中线得到BD=AB=1.5，则DE=BD-BE=0.5，然后根据正切的定义求解． 【详解】（1）作 CE⊥AB 于 E，设 CE＝x， 在Rt△ACE中，∵tanA＝＝， ∴AE＝2x， ∴AC＝＝x， ∴x＝，解得x＝1， ∴CE＝1，AE＝2， 在Rt△BCE中，∵sinB＝， ∴∠B＝45°， ∴△BCE为等腰直角三角形， ∴BE＝CE＝1， ∴AB＝AE+BE＝3， 答：∠B的度数为45°，AB的值为3； （2）∵CD为中线， ∴BD＝AB＝1.5， ∴DE＝BD﹣BE＝1.5﹣1＝0.5， ∴tan∠CDE=＝＝2，即tan∠CDB的值为2． 【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决此类题目的关键是熟练应用勾股定理和锐角三角函数的定义． 22. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是判断．根据正方形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”．设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴． 设正方形零件的边长为，则，． ∵， ∴， ∴， 解得． ∴这个正方形零件的边长是． 23. 如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆的高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，此时，旗杆顶端、标杆的顶端、人眼恰好在一条直线上．求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高为． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求的长度分成了2个部分，和部分，其中，剩下的问题就是求的长度，利用，得出，把相关条件代入即可求得，从而得出的长即可． 【详解】解：过点E作于点H，交于点G，则四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， 经检验，是上述分式方程的解， ∴， 故答案为：． 24. 2019年6月5日我国航天首次完成海上发射，用长征十一号运载火箭将七颗卫星送入太空，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为，火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加．（结果精确到0.1千米，参考数值，） （1）求发射站点M到海岸边雷达站N的距离． （2）求此时火箭所在点A处上升到B处的距离． 【答案】（1）距离为6.9千米； （2）此时火箭所在点A处上升到B处的距离为2.9千米． 【解析】 【分析】（1）利用已知结合锐角三角函数关系即可得出的长； （2）在中，由锐角三角函数关系可求得，证得为等腰直角三角形得到，有线段的和差即可求得结果． 本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，能够借助仰角构造直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得：在中，，， 由得：， （千米）， 所以发射站点到海岸边雷达站的距离为6.9千米； 【小问2详解】 解：在中，，，， （千米）， 又在中， ， 为等腰直角三角形， （千米）， （千米）， 此时火箭所在点处上升到处的距离为2.9千米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一次月考九年级数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 下列图形中，不是相似图形的一组是（ ） A. B. C. D. 2. 已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（　　） A. 70° B. 60° C. 50° D. 30° 3. 如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 在中，，已知a和A，则下列关系式中正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到．以下说法中错误的是（　　） A. B. 点、、三点在同一直线上 C. D. 7. 在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，的三个顶点均在格点上．则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使．按照此规律，线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题） 11. cos30°的相反数是 _____． 12. 已知两个相似三角形的周长分别为8和6，则他们面积的比是________． 13. 如图，AB∥CD，AD、BC相交于O，且AO=5，BO=4，CO=16，那么DO=______________； 14. 如图，在中，，，点P从点B开始沿边向点A以每秒的速度移动，点Q从点A开始沿边向点C以每秒的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过_____秒钟与相似？ 15. 如图，在矩形中，，，E点为边延长线一点，且．连接交边于点F，过点D作于点H，则_________． 三．解答题（共9个小题） 16. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米，求车宽的长度． 17. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）写出点的坐标为______； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 如图，点D在的边BC上，，，，求BD的长． 20. 在中，，，为锐角且． （1）求的面积； （2）求的值； （3）求的值． 21. 如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sinB=，tanA=，AC=， （1）求∠B 的度数和 AB 的长． （2）求 tan∠CDB 的值． 22. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？ 23. 如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆的高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，此时，旗杆顶端、标杆的顶端、人眼恰好在一条直线上．求旗杆的高度． 24. 2019年6月5日我国航天首次完成海上发射，用长征十一号运载火箭将七颗卫星送入太空，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为，火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加．（结果精确到0.1千米，参考数值，） （1）求发射站点M到海岸边雷达站N的距离． （2）求此时火箭所在点A处上升到B处的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $