2024-2025学年湘教版九年级数学上册期末模拟试卷

九上期末模拟卷 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．关于反比例函数，下列说法中正确的是（ ） A．它的图象分布在第一、四象限 B．它的图象过点(3，-2) C．当＜0时，的值随的增大而增大 D．它的图像是轴对称图形，有一条对称轴 2．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A． B． C． D． 3．在一个不透明的袋子中，有2个白球和2个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地摸出一个球记下颜色放回．再随机地摸出一个球．则两次都摸到白球的概率为（ ） A． B． C． D． 4．下列说法中正确的是（ ）． A．想了解某河段的水质，宜采用全面调查 B．想了解某种饮料中含色素的情况，宜采用抽样调查 C．数据1，1，2，2，3的众数是3 D．一组数据的波动越大，方差越小 5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC=4，那么下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．在比例尺为1：1000000的地图上，相距8cm的A、B两地的实际距离是（　　） A．0.8km B．8km C．80km D．800km 7．若关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≥2 B．k≥﹣2 C．k＞﹣2且k≠0 D．k≥﹣2且k≠0 8．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　） A． ∠ADC＝∠ACB B． C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB 9．我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（　　） A．70（1+x）2＝220 B．70（1+x）+70（1+x）2＝220 C．70（1﹣x）2＝220 D．70+70（1+x）+70（1+x）2＝220 10．在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx+3的图象大致是（　　） A． B． C． D． 11．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF；④EF•AB＝CF•BC，其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，在x轴上方，∠BOA=90°且其两边分别与反比例函数y=﹣、y=的图象交于B、A两点，则∠OAB的正切值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题(每小题2分，共12分) 13．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=1：2，则△ADE与△ABC的面积的比为__________． 14． 设，是方程的两个实数根，则的值为______． 15． 某灯泡厂一次质量检查中，从300个灯泡中抽查了50个，其中有3个不合格，则在这300个灯泡中估计有_____个为不合格产品． 16．如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行________海里． 17．某商场4月份随机抽查了6天的营业额，结果分别如下（单位：万元）：2.8、3.2、3.4、3.7、3.0、3.1．试估算该商场4月份的总营业额，大约是　 　万元． 18．如图，是反比例函数y＝和y＝（k1＞k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝4，则k1﹣k2的值是　 　． 三．解答题（本大题共8小题，共72分） 19．（6分）计算：． 20． （6分）解方程： （1）x（x﹣4）＝2x﹣8． （2）x2+4x﹣5＝0 21．（10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中： （1）画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1． （2）以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2． （3）求△CC1C2的面积． 22．（10分）“足球运球”是中考体育选考项目之一．某学校为了解今年九年级学生足球运球的情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．（说明：A级：8分﹣10分，B级：7分﹣7.9分，C级：6分﹣6.9分，D级：1分﹣5.9分） 根据所给信息，解答以下问题： （1）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是　 　度； （2）补全条形统计图； （3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在　 　等级； （4）该校九年级有500名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？ 23．（10分）某商场销售一种小商品，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为180件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少10件．设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件． （1）请写出y与x的函数关系式． （2）商场要想每天销售该商品的利润为3900元，则每件涨价多少元？ （3）设商场每天销售该商品的利润为w元，则该商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 24．（10分）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346） 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第一、三象限的A、B两点，与x轴交于点C、与y轴交于点D，OC＝1、BC＝5， sin∠BCO＝． （1）求反比例函数与一次函数的表达式． （2）在y轴上有一点E（O点除外），使得S△BDE＝3S△BDO，求点E的坐标． （3）根据图像直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． 26．（10分）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为，，动点M，N分别从O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，设M、N运动的时间为t秒． （1）P点的坐标为（ ）， （用含t的代数式表示）； （2）求当t为何值时，以C、P、N为顶点的三角形与△ABC相似； （3）在平面内是否存在一个点E，使以C、P、N、E为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，说明理由． 九上期末模拟卷 一、单选题 1．关于反比例函数，下列说法中正确的是（ ） A．它的图象分布在第一、四象限 B．它的图象过点(3，-2) C．当＜0时，的值随的增大而增大 D．它的图像是轴对称图形，有一条对称轴 【答案】C 【分析】 反比例函数的图象时位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；时位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大；根据这个性质选择则可． 【详解】 解：反比例函数中， 该函数图象位于二、四象限，故选项不符合题意； 当时，，即它的图象过点，故选项不符合题意； 当时，的值随的增大而增大，故选项符合题意； 它的图象是中心对称图形，关于原点对称，故选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象的性质：解题的关键是掌握：①当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．②当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大．注意反比例函数的图象应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析． 2．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据配方法的步骤，求得方程的变形形式即可． 【详解】 解： 移项： 加上一次项系数一半的平方，得： 即 故选：C 【点睛】 此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤． 3．在一个不透明的袋子中，有2个白球和2个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地摸出一个球记下颜色放回．再随机地摸出一个球．则两次都摸到白球的概率为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此，4个球，白球记为1、2黑球记为3、4，画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的只有4种情况， ∴两次都摸到黑球的概率是．故选C． 4．下列说法中正确的是（ ）． A．想了解某河段的水质，宜采用全面调查 B．想了解某种饮料中含色素的情况，宜采用抽样调查 C．数据1，1，2，2，3的众数是3 D．一组数据的波动越大，方差越小 【答案】B 【分析】 分别根据全面调查和抽样调查的定义，众数的定义，方差的性质进行判断即可． 【详解】 解：A、想了解某河段的水质，宜采用抽样调查，故本选项不正确，不符合题意； B、想了解某种饮料中含色素的情况，宜采用抽样调查，故本选项正确，符合题意； C、数据1，1，2，2，3的众数是1和2，故本选项不正确，不符合题意； D、一组数据的波动越大，方差越大，故本选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】 本题考查了全面调查和抽样调查，方差，众数，选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC=4，那么下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据三角函数的定义即可求解． 【详解】 解：如图，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，AC＝3，BC=4， ∴, ∴，，． 故选：D 【点睛】 本题考查了三角函数的意义，熟知三角函数的意义是解题的关键． 6．在比例尺为1：1000000的地图上，相距8cm的A、B两地的实际距离是（　　） A．0.8km B．8km C．80km D．800km 【考点】S2：比例线段．版权所有 【分析】图上距离除以比例尺，算出实际距离，进而把cm换算成km即可． 【解答】解：8÷＝8000000cm＝80km． 故选：C． 7．若关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≥2 B．k≥﹣2 C．k＞﹣2且k≠0 D．k≥﹣2且k≠0 【考点】A1：一元二次方程的定义；AA：根的判别式．版权所有 【分析】讨论：当k＝0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当k≠0时，根据判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4k×（﹣2）≥0，解得k≥﹣2且k≠0，然后综合两种情况得到k的范围． 【解答】解：当k＝0时，方程变形为﹣4x﹣2＝0，解得x＝﹣； 当k≠0时，△＝（﹣4）2﹣4k×（﹣2）≥0，解得k≥﹣2且k≠0， 综上所述，k的范围为k≥﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 8．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ADC＝∠ACB B． C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB 【考点】S8：相似三角形的判定．版权所有 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断可得． 【解答】解：A、由∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意； B、由不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意； C、由∠ACD＝∠B，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意； D、由AC2＝AD•AB，即＝，且∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 9．我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（　　） A．70（1+x）2＝220 B．70（1+x）+70（1+x）2＝220 C．70（1﹣x）2＝220 D．70+70（1+x）+70（1+x）2＝220 【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．版权所有 【分析】等量关系为：四月份共借出图书+五月份共借出图书＝220． 【解答】解：四月份共借出图书量为70×（1+x），五月份共借出图书量为70×（1+x）（1+x），那么70（1+x）+70（1+x）2＝220． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意四月份共借出图书量是在三月份共借出图书量的基础上得到的． 10．在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx+3的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【考点】F3：一次函数的图象；G2：反比例函数的图象．版权所有 【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答． 【解答】解：A、由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx+3的图象k＞0一致，故A选项正确； B、因为y＝kx+3的图象交y轴于正半轴，故B选项错误； C、因为y＝kx+3的图象交y轴于正半轴，故C选项错误； D、由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx+3的图象k＜0矛盾，故D选项错误． 11．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF；④EF•AB＝CF•BC，其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 根据全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质即可. 【详解】 解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线， ∴∠MBC＝∠C =45°,BM=AM=MC ∵DB＝DE, ∴∠DBE＝∠DEB 即∠DBM+45°＝∠CDE+45°. ∴∠DBM＝∠CDE. ∵EF⊥AC, ∴∠DFE＝∠BMD=90° 在△BMD和△DFE中 ∴△BMD≌△DFE. 故①正确. 由① 可得∠DBE＝∠DEB，∠MBC＝∠C ∴△NBE∽△DCB， 故②错，对应字母没有写在对应的位置上. ∵△BMD≌△DFE， ∴BM=DF, ∵BM=AM=MC， ∴AC=2BM, ∴AC＝2DF. 故③正确 易证△EFC∽△ABC,所以=, ∴EFAB＝CFBC 故④正确 故选C. 【点睛】 本题主要考查的是全等三角形、相似三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质， 掌握基础知识是解题的关键. 12．如图，在x轴上方，∠BOA=90°且其两边分别与反比例函数y=﹣、y=的图象交于B、A两点，则∠OAB的正切值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】作辅助线；首先证明△BOM∽△OAN，得到，设B（-m，），A（n，），得到BM=，AN=，OM=m，ON=n，进而得到mn=，mn=，运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=． 【详解】如图，分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴； ∵∠AOB=90°， ∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°， ∴∠BOM=∠OAN， ∵∠BMO=∠ANO=90°， ∴△BOM∽△OAN， ∴, 设设B（-m，），A（n，）， 则BM=，AN=，OM=m，ON=n， ∴mn=，mn=； ∵∠AOB=90°， ∴tan∠OAB=①； ∵△BOM∽△OAN, ∴= ==②, 由①②知tan∠OAB=. 故正确选项为：B. 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答． 二、填空题 13．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=1：2，则△ADE与△ABC的面积的比为__________． 【答案】1：9 【详解】 分析：根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB=1：3，因而面积的比是1：9，问题得解． 详解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵AD：DB=1：2， ∴AD：AB=1：3， ∴S△ADE：S△ABC=1：9． 故答案为1：9． 点睛：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 14．设，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】 由韦达定理可分别求出与的值，再化简要求的式子，代入即可得解． 【详解】 解：由方程可知 ， ． 故答案为： 【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用韦达定理可简便运算． 15．某灯泡厂一次质量检查中，从300个灯泡中抽查了50个，其中有3个不合格，则在这300个灯泡中估计有_____个为不合格产品． 【答案】 【分析】 先求解样本的频率，再利用样本估计总体即可得到答案. 【详解】 解： 从300个灯泡中抽查了50个，其中有3个不合格， 样本的频率 这300个灯泡中估计有（个）， 故答案为： 【点睛】 本题考查的是频率的计算，利用样本估计总体，掌握利用样本估计总体是解题的关键. 16．如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行________海里． 【答案】2 【详解】 试题解析： 过点作交于点, ∵甲货船从港沿北偏东的方向以海里/小时的速度出发， ∵乙货船从港沿西北方向出发， ∴乙货船每小时航行 故答案为. 点睛：该题目是实际生活中的问题，题目中涉及了边角的关系，首先考虑用三角函数来解决此类问题.题目中没有直角三角形，考虑添加辅助线来构造直角三角形. 17．某商场4月份随机抽查了6天的营业额，结果分别如下（单位：万元）：2.8、3.2、3.4、3.7、3.0、3.1．试估算该商场4月份的总营业额，大约是　96　万元． 【考点】V5：用样本估计总体．版权所有 【分析】先计算6个数据的平均数，用此平均数估计4月份每天的平均营业额，然后乘以30天即可得到该商场4月份的总营业额． 【解答】解：数据2.8、3.2、3.4、3.7、3.0、3.1的平均数＝＝3.2， 3.2×30＝96， 所以该商场4月份的总营业额大约是96万元． 故答案为96． 【点评】本题考查了用样本估计总体：用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 18．如图，是反比例函数y＝和y＝（k1＞k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝4，则k1﹣k2的值是　8　． 【考点】G2：反比例函数的图象；G4：反比例函数的性质；G5：反比例函数系数k的几何意义．版权所有 【分析】设A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到k1＝ab，k2＝cd，根据三角形的面积公式求出ab﹣cd＝8，即可得出答案． 【解答】解：设A（a，b），B（c，d）， 代入得：k1＝ab，k2＝cd， ∵S△AOB＝4， ∴ab﹣cd＝4， ∴ab﹣cd＝8， ∴k1﹣k2＝8， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出ab﹣cd＝8是解此题的关键． 3、 解答题 19．计算：． 【考点】6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．版权所有 【分析】本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式＝2+﹣1﹣× ＝2+3﹣1﹣3 ＝1 【点评】．本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 20．解下列方程： （1）x2+4x﹣5＝0（2）（x﹣3）2＝2（3﹣x） 【答案】（1）x＝﹣5或x＝1；（2）x＝3或x＝1． 【分析】 （1）根据因式分解法即可求解； （2）先移项，使方程右边为零，然后将方程左边进行因式分解，使分解后的两个一次因式分别为零，即可解答． 【详解】 解：（1）∵x2+4x-5＝0， ∴（x+5）（x-1）＝0， 则x+5＝0或x-1＝0， 解得x＝-5或x＝1； （2）∵（x-3）2+2（x-3）＝0， ∴（x-3）（x-1）＝0， 则x-3＝0或x-1＝0， 解得x＝3或x＝1． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的解法，解题方法多样，关键在于熟练掌握解一元二次方程的步骤，第（2）题要特别注意先进行移项使方程右边为零． 22．“足球运球”是中考体育选考项目之一．某学校为了解今年九年级学生足球运球的情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．（说明：A级：8分﹣10分，B级：7分﹣7.9分，C级：6分﹣6.9分，D级：1分﹣5.9分） 根据所给信息，解答以下问题： （1）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是　 　度； （2）补全条形统计图； （3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在　 　等级； （4）该校九年级有500名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？ 【答案】（1）；（2）见解析；（3）B；（4）50． 【分析】 （1）首先根据B等级的人数和所占的百分比求出总人数，然后求出C等级的人数和所占的百分比，进而可求出C对应的扇形的圆心角的度数； （2）根据（1）中求出的C等级的人数补全条形统计图即可； （3）把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，根据题意求解即可； （4）根据样本中A等级的人数和总人数可求出所占的百分比，即可求出九年级500名学生中A等级的学生人数． 【详解】 解：（1）∵B等级的人数是18，所占的百分比是， ∴总人数为(人)， ∴C等级的人数为(人)， ∴C等级的人数所占的百分比为， ∴C对应的扇形的圆心角是； （2）由（1）可得，C等级的人数为13(人)， ∴如图所示， （3）由（1）可得，共有40名学生， ∴中位数为第20位学生和第21位学生成绩的平均数， ∵A等级有4人，B等级有18人， ∴第20位学生和第21位学生成绩都在B等级， ∴所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在B等级， 故答案是：B； （4）∵A等级的学生有4人，总人数有40人， ∴A等级的人数所占的百分比为， ∴九年级500名学生中A等级的学生人数为(人)． 【点睛】 此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，正确分析统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键．条形统计图能清楚的表示出每个项目的数据；扇形统计图能直接反映部分占总体的百分比大小． 23．某商场销售一种小商品，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为180件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少10件．设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件． （1）请写出y与x的函数关系式． （2）商场要想每天销售该商品的利润为3900元，则每件涨价多少元？ （3）设商场每天销售该商品的利润为w元，则该商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣5x+180；（2）6元或10元；（3）销售价定为68元时，每天获得的利润最大，最大利润是3920元 【分析】 （1）根据销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少10件，列出y与x的函数解析式即可； （2）利润等于每件的利润乘以销售量列出关于x的一元二次方程，解方程即可； （3）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出w与x的函数关系式并根据函数的性质求最值． 【详解】 解：（1）由题意得：y＝180﹣×10＝﹣5x+180， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+180； （2）由题意得：（60+x﹣40）（﹣5x+180）＝3900， 整理得：x2﹣16x+60＝0， 解得：x1＝6，x2＝10， ∴商场要想每天销售该商品的利润为3900元，则每件涨价6元或10元； （3）由题意得：w＝（60+x﹣40）（﹣5x+180） ＝﹣5x2+80x+3600 ＝﹣5（x﹣8）2+3920， ∵﹣5＜0， ∴当x＝8时，w最大，最大值为3920， ∴每件涨价8元，销售价定为68元时，每天获得的利润最大，最大利润是3920元． 【点睛】 本题考查二次函数、一次函数以及一元二次方程的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式和一元二次方程． 24．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346） 【答案】中原福塔CD的总高度约为389m． 【分析】 设AC为xm，则CD=（x+120）m，在Rt△ACB中，可得BC=AC=x，从而得到CE=x+20，然后在Rt△DCE中，利用锐角三角函数，可得到tan∠DEC=，即可求解． 【详解】 解：如图，设AC为xm，则CD=（x+120）m， 在Rt△ACB中，∠ABC=45°， ∴BC=AC=x， ∴CE=x+20， 在Rt△DCE中，tan∠DEC=，∠DEC=53.4°， 即≈1.346， 解得：x≈269.0， ∴CD=x+120=389.0≈389米， 答：中原福塔CD的总高度约为389m． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形及其应用，明确题意，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第一、三象限的A、B两点，与x轴交于点C、与y轴交于点D，OC＝1、BC＝5， sin∠BCO＝． （1）求反比例函数与一次函数的表达式． （2）在y轴上有一点E（O点除外），使得S△BDE＝3S△BDO，求点E的坐标． （3）根据图像直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． 【答案】（1），； （2），； （3）或 【分析】 （1）过点作轴，根据三角函数的定义，求得、，进而求得点坐标，代入解析式求解即可； （2）根据解析式求得点坐标，设，根据S△BDE＝3S△BDO，列方程求解即可； （3）联立一次函数和反比例函数，求得点坐标，观察函数图像，即可求解． 【详解】 解：过点作轴，如下图： 由三角函数的定义可得： 又∵ ∴， 由勾股定理可得：， ∴ 将代入得，，解得，即 由题意可得，将、代入一次函数解析式得 ，解得，即 故答案为：， （2）将代入得，即 设，则， ， ∵S△BDE＝3S△BDO 则，即 ∴ 即或 解得或 即或 故答案为， （3）联立一次函数和反比例函数，得 即 解得， ，∴ 由图像可得，在之间或的右边时，一次函数的值大于反比例函数的值 此时或 故答案为：或 【点睛】 此题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及了三角函数的定义，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的有关性质，利用数形结合的思想进行求解． 26．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为，，动点M，N分别从O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，设M、N运动的时间为t秒． （1）P点的坐标为（ ）， （用含t的代数式表示）； （2）求当t为何值时，以C、P、N为顶点的三角形与△ABC相似； （3）在平面内是否存在一个点E，使以C、P、N、E为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；；（2）t=；（3）或． 【分析】 （1）根据题意表示出OM的长度，即求出P点的横坐标，然后根据△APM∽△ACO即可表示出PM和AP的长度，即求出点P的纵坐标和PC的长度； （2）当时，，可得点P和点N的横坐标相等，然后列方程求解即可，当时，分别表示出CN，CP的长度，根据相似三角形对应边成比例列方程求解即可； （3）当四边形CPEN是菱形时，可得CP=CN，分别表示出CP和CN的长度列方程求解即可；当四边形CPNE是菱形时，根据菱形的性质可得N点的横坐标是P点横坐标的两倍，列方程求解即可；当四边形CEPN是菱形时，根据菱形的性质得到CN=PN，列方程求解即可． 【详解】 解：（1）∵点A，B的坐标分别为，， ∴CO=6，AO=8， ∴， ∵点M以每秒1个单位的速度运动，运动的时间为t秒， ∴OM=t，AM=AO-OM=8-t， ∴P点的横坐标为t， ∵MP⊥OA， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴点P的坐标为， ∴； （2）由（1）可知点P的坐标为， 由题意可知，BN=t， ∴CN=8-t， ∴点N的坐标为， 当时， 由题意可得， ∴点P和点N的横坐标相等， ∴，解得：t=4， ∵， ∴应舍去． 当时， ∴，即， 解得：． （3）如图所示，当四边形CPEN是菱形时， ∴CP=CN， ∵CP=，CN=8-t， ∴， 解得：； 如图所示，当四边形CPNE是菱形时， 根据菱形的性质可得，PE垂直平分CN， ∴N点的横坐标是P点横坐标的两倍， ∴8-t=2t， 解得：； 如图所示，当四边形CEPN是菱形时， 根据菱形的性质可得CN=PN， ∴，整理得：， 解得：(舍去)，，应舍去； 综上所述，或． 【点睛】 此题考查了矩形的性质和动点问题，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意表示出点P和点N的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$