精品解析：云南省红河州开远市第一中学校2024-2025学年高二上学期10月检测数学试题

开远市第一中学校2024年秋季学期高二年级10月考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案填涂在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教版必修1、2选修1、2（等比数列的概念和性质）. 一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 （ ）. A. B. C. D. 2. 若复数为纯虚数，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 5 3. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，若为边上的中线，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的最小值是． A. B. C. D. 6. 已知函数的周期为2，当时，．如果，那么的零点个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知圆：与双曲线：的渐近线相切，则的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知在三棱锥中，平面，，，且三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下述四个结论正确的是（ ） A. 过点与圆相切的直线方程为 B. 直线与圆相交的充分不必要条件是 C. 直线表示过点的所有直线 D. 过点且在坐标轴上截距相等的直线方程是 10. 设为正实数，已知函数，则下列结论正确的是（    ） A. 当时，函数的图象的一条对称轴为 B. 已知，，且的最小值为，则 C. 当时,函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数 D. 若在区间上单调递增，则的取值范围是 11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的值域是 B. 的图象关于直线对称 C. 当时，有 D. 方程有四个不同的根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则______． 13. 已知且，则______． 14. 已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于两个不同的点A，B．如果，2，成等差数列，那么______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明步骤或演算步骤 15. 已知是各项均为正数的等比数列，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若的面积是，，求b． 17. 如图，在直三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 18. 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过的部分按0.5元收费，超过但不超过的部分按0.8元收费，超过的部分按1.0元收费. （1）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：）的函数解析式 （2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率直方图.若这100户居民中，今年1月份电费不超过260元的占80%，求，的值； （3）在（2）的条件下，计算月用电量的75%分位数. 19. 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为. （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开远市第一中学校2024年秋季学期高二年级10月考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案填涂在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教版必修1、2选修1、2（等比数列的概念和性质）. 一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 （ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合，根据集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】由题意知，， 故， 故选：A 2. 若复数为纯虚数，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数运算法则及纯虚数定义可得，利用模长公式即可得. 【详解】由为纯虚数， 可得，即， 所以. 故选：B 3. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，排除两个选项，再利用函数在上的值的正负得解. 【详解】，，则是奇函数，选项C，D是不正确的； 时，，即，选项B是不正确的，选项A符合要求. 故选：A 4. 在中，若为边上的中线，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形法则和平行四边形法则表示向量. 【详解】如图所示，在中， 因为为边上的中线， 所以为的中点， 所以由平行四边形法则有： ， 又点在上，且 所以， 所以 ， 故选：A. 5. 若，则的最小值是． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由对数的换底公式可得,则，整理可得，再利用均值不等式求解即可. 【详解】由题,， 所以,即， 所以， 因为，，所以,， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 【点睛】本题考查利用均值定理求最值,考查对数的运算,考查运算能力. 6. 已知函数的周期为2，当时，．如果，那么的零点个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先将问题的零点问题转化为函数与的交点，分析出的值域，由此判断出零点个数． 【详解】函数的零点个数为函数与的图象的交点的个数， 因为函数的定义域为， 所以当时，函数与的图象没有交点， 当时，， 所以当时，． 又函数的周期为2，所以． 当时，， 所以当时，函数与的图象没有交点， 作函数和函数在区间上的图象， 观察图象可得两函数图象有5个交点, 所以函数的零点个数为5. 故选：C. 7. 已知圆：与双曲线：的渐近线相切，则的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得圆心到渐近线的距离为半径，可解得，即可求出离心率. 【详解】由得， 所以圆心，半径， 双曲线：的一条渐近线为， 由题意得圆心到渐近线的距离，所以， 所以，所以. 故答案为：. 8. 已知在三棱锥中，平面，，，且三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给数据和条件可得为等腰直角三角形，根据图形可得为圆的直径，计算即可得解. 【详解】 已知，所以， 设的边上的高为，，， 由，所以为中点， 所以为等腰三角形且，所以， 可得的外接圆直径为， 所以三棱锥的外接球直径为， 设三棱锥的外接球半径为， 则，得． 故三棱锥外接球的体积． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下述四个结论正确的是（ ） A. 过点与圆相切的直线方程为 B. 直线与圆相交的充分不必要条件是 C. 直线表示过点的所有直线 D. 过点且在坐标轴上截距相等的直线方程是 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项设过点与圆的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率即可，选项B利用充分不必要条件进行判断即可,选项C利用反例即可验证，选项D分截距为0，或不为0的情况讨论求出即可. 【详解】对于选项A，设过点与圆相切的直线方程为： ， 由题设得：，即，解得， 所以过点与圆相切的直线方程为，故A正确， 选项B，若直线与圆相交，则， 所以是直线与圆相交的充分不必要条件，故B正确， 选项C，点在轴上，但是无论取何值，直线不能表示轴上的直线，故C不正确， 选项D，若截距为0时，设直线方程为， 将点代入得：，所以方程为：， 若截距不为0时，设在坐标轴上的截距为， 则设直线方程为：，将点代入得：， 所以所求方程为：.故选项D不正确， 故选：AB. 10. 设为正实数，已知函数，则下列结论正确的是（    ） A. 当时，函数的图象的一条对称轴为 B. 已知，，且的最小值为，则 C. 当时,函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数 D. 若在区间上单调递增，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称轴公式计算判断A，根据函数最值结合函数的图象特征得出参数判断B,应用平移化简结合诱导公式得出函数判断C,结合正弦函数的单调性列出不等式计算判断D. 【详解】A选项，当时，函数的图象的对称轴为,即,不能取到,A错误； B选项，为的最小值点，为的最大值点，则，即，且，所以，B正确； C选项，当时,函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数，故C正确； D选项，∵，则， 若在区间上单调递增，则，解得，D正确； 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的值域是 B. 的图象关于直线对称 C. 当时，有 D. 方程有四个不同的根 【答案】CD 【解析】 【分析】作出函数与的图像，根据图像对选项一一验证即可. 【详解】函数与如下： 对于选项A：根据图像可得的值域是或，故A错误； 对于选项B：根据图像可得的图象不关于直线对称，故B错误； 对于选项C：根据图像可得当时，，故C正确； 对于选项D：根据与的图像可得，两图像有四个交点，即方程有四个不同的根，故D正确； 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式、二倍角公式求得正确结果. 【详解】， 所以. 故答案为： 13. 已知且，则______． 【答案】64 【解析】 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 14. 已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于两个不同的点A，B．如果，2，成等差数列，那么______. 【答案】## 【解析】 【分析】联立抛物线和直线方程，得到，再由等差中项的性质得到，结合抛物线的定义可得，结合可得到满足的方程，求解即得结果. 【详解】设，， 联立，整理得：， 由，得， 由韦达定理，得， 由，2，成等差数列，可得， 由抛物线的定义得， 所以，故，解得或（舍）. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明步骤或演算步骤 15. 已知是各项均为正数的等比数列，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果； (2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果． 【详解】(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，， 所以令数列的公比为，，， 所以，解得(舍去)或， 所以数列是首项为、公比为的等比数列，． (2)因为，所以，，， 所以数列是首项为、公差为的等差数列，． 【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题． 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若的面积是，，求b． 【答案】（1）；（2）2. 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理、正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】解：（1）由，得， 得， 得， 由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 因为，所以． （2）若的面积是， 则，解得， 所以． 由余弦定理，可得， 所以． 17. 如图，在直三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）因为，分别是，的中点， 所以. 如图，取的中点，连接，， 则，. 因为四边形为正方形， 所以，. 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 因为平面， 平面， 所以平面 （2）. 【解析】 【分析】(1) 取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形即可证明； （2）连接， 可得，进而以的中点为坐标原点，在平面内过点作垂直于的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接.因为，所以. 又为的中点，所以，且由勾股定理可得. 以的中点为坐标原点，在平面内过点作垂直于的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则令，则，， 所以. 设平面的法向量为， 则令，则，， 所以. 所以. 由图可知二面角的平面角是锐角， 所以二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查线面平行的证明，二面角的计算，考查运算求解能力，空间想象能力，是中档题. 常见的线面平行的证明方法有：①通过面面平行得线面平行；②通过线线平行得线面平行，再证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形性质； 常见的二面角的求解方法有：①几何法——即找出二面角的平面角，再根据几何关系求解；②利用空间向量求解. 18. 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过的部分按0.5元收费，超过但不超过的部分按0.8元收费，超过的部分按1.0元收费. （1）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：）的函数解析式 （2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率直方图.若这100户居民中，今年1月份电费不超过260元的占80%，求，的值； （3）在（2）的条件下，计算月用电量的75%分位数. 【答案】（1）；（2），；（3）375千瓦时. 【解析】 【分析】（1）根据题意以及分段函数的知识，求得与之间的函数解析式. （2）先求得用电量低于400千瓦时的占80%，利用频率之和列方程组，解方程组求得的值. （3）根据百分位数的计算方法，计算出分位数. 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，. 所以与之间的函数解析式为 （2）由（1）可知，当时，，即用电量低于400千瓦时的占80%， 结合频率分布直方图可知 解得，. （3）设75%分位数为， 因为用电量低于300千瓦时的所占比例为， 用电量低于400千瓦时的占80%，所以75%分位数在内， 所以，解得， 即用电量的75%分位数为375千瓦时. 19. 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为. （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程. 【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ），或. 【解析】 【详解】试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是. 所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为. （Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以. 所以，直线的方程为，或. 【考点】直线与椭圆综合问题 【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $