精品解析：云南省红河州开远市第一中学校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

开远市第一中学校2024年秋季学期高一年级10月月考考试 数学 2024.10 考生注意： 1.本试满分150分，考试时间120分钟. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. “，” B. “，” C. “，” D. “，” 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称命题的否定形式判定即可. 【详解】命题“，”的否定为:“，”. 故选:D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集运算求解. 【详解】 故选：C 3. 若，，，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数和的单调性即可比较. 【详解】因为在上单调递增，所以，即 又在R上单调递减，所以，即， 综上，. 故选：A 4. 人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据指数函数定义求解即可. 【详解】由题意，经过一个半衰期（8天）后，剩留的质量， 经过两个半衰期（16天）后，剩留的质量， 经过三个半衰期（24天）后，剩留的质量， ， 经过天后，剩留的质量，. 故选：A. 5. 已知函数则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合幂函数知识，画出的图象，将该图象沿轴对称即可. 【详解】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增； 当时，易知为幂函数，在单调递增. 故函数,图象如图所示: 要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到. 故选：C. 6. 已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】根据题意，由①得， 因为为奇函数，为偶函数，所以，， 所以②， 由①②得，所以， 则. 故选：A. 7. 一元二次不等式的解为，那么的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可. 【详解】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 8. 若函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用指数函数、二次函数的单调性，以及分段函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数在上为单调递减函数， 则满足，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. “关于的不等式在上恒成立”成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先求出“关于不等式在上恒成立”是真命题的的范围，再结合充分条件和必要条件的定义得到结果. 【详解】若“关于的不等式在上恒成立”是真命题， ①当时，不等式化为，显然恒成立，故满足条件； ②当时，需满足，解得：， 综上，. A和B选项是“关于不等式在上恒成立”成立的充分不必要条件， C选项是“关于不等式在上恒成立”成立的充要条件， D选项是“关于不等式在上恒成立”成立的既不充分也不必要条件. 故选：AB. 10. 对于实数，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若， 【答案】ABC 【解析】 【分析】AB选项，可利用不等式性质进行判断；CD选项，利用作差法比较出大小. 【详解】A选项，若，则，不等式两边同除以得，A正确； B选项，若，则，故，不等式两边同除以得，B正确； C选项，， 因为，，所以，故，所以，C正确； D选项，，因为，所以，，， 但的正负不确定，故无法判断的正负，从而无法判断与的大小关系，D错误. 故选：ABC. 11. 对任意两个实数，定义,若，，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 方程有三个解 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数有4个单调区间 【答案】BD 【解析】 【分析】根据新定义的函数及函数的单调性与奇偶性结合函数的图象一一分析选项即可. 【详解】令，解得， 所以当时，；当或时，； 所以, 作出函数的图象，如图所示， 对于A，由图象可得关于轴对称，所以为偶函数，故A错误； 对于B，因为的图象与轴有3个交点， 所以方程有三个解，故B正确； 对于C，由图象可知函数在上不单调递减，故C错误； 对于D，由图象可知函数在和上单调递增， 在和上单调递减，所以函数有4个单调区间，故D正确， 故选:BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则a的值是______． 【答案】或4 【解析】 【分析】利用分类讨论，分和两种情况，分别表示出，求解即可． 【详解】因为函数， 当时，，解得， 当时，，解得． 综上所述，a的值是或4． 故答案为：或4. 13. 已知非负数满足，则的最小值是___________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，再构造等式利用基本不等式求解即可. 【详解】由，可得，当且仅当，即时取等号. 故答案为：4 14. 已知是定义在上的奇函数，且对任意且，都有，若，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数为奇函数又已知得函数在上单调递减，可得函数在上单调递减，又，可得函数大致图象，结合图象解不等式即可得解集. 【详解】解：已知是定义在上的奇函数，则，且 又对任意且，都有，不妨设，则，所以，即， 所以函数在上单调递减，则函数在上单调递减， 又，所以， 则函数的大致图象如下图： 根据图象可得不等式的解集为：. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求值： （1）； （2）已知，，求：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂以及根式的运算，即可求得答案； （2）由题意可求出的值，结合指数幂的运算，即可求得答案. 【小问1详解】 【小问2详解】 ， 由和，可得， 则. 16. 已知函数. （1）在所给坐标系中作出的简图； （2）解不等式. 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】（1）直接画出对应二次函数和反比例函数的图像即可； （2）分段函数分段解不等式即可. 【小问1详解】 的简图如下： ； 【小问2详解】 由已知得或， 解得或， 即不等式的解集为． 17. 杭州亚运会以“绿色，智能，节俭，文明”为办赛理念，展示杭州生态之美，文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需要另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当年产量为万台时，该公司获得年利润最大为万元 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据的解析式计算可得； （2）利用二次函数的性质、基本不等式分别求出、上的最值，进而确定年利润最大时对应生产的台数及最大利润值. 【小问1详解】 依题意可得， 又， 当时； 当时， 所以； 【小问2详解】 当时，， 由函数图象开口向下，对称轴方程为可知函数在上单调递增， 所以当时，， 当时， ， 当且仅当时，即时等号成立， 因为，所以当年产量为万台时，该公司获得年利润最大为万元. 18. （1）已知函数的定义域为，求函数的定义域. （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式； 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据复合函数定义域的定义可知：且，即可求解； （2）利用待定系数法求解，设，然后根据已知条件列方程求出即可； （3）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解. 【详解】（1）由题意得：，解得：， 由，解得：， 故函数的定义域是. （2）因为是二次函数，所以设，由，得， 由，得， 整理得， 所以，所以，所以. （3）设，则，所以， 又为奇函数，所以， 所以当时，， 故. 19. 已知函数. （1）当时，求在上的最值； （2）设函数，若存在最小值，求实数的值. 【答案】（1）最小值为，最大值为8 （2）6 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，令，结合二次函数的最值，分类讨论，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，， 设，则，开口向上，对称轴， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 所以，， 所以在上的最小值为，最大值为8. 【小问2详解】 ， 设，当且仅当，即时取得等号， 所以，，对称轴. 当，即时，，在上单调递增， 则当时，，解得，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增， 所以时，，解得或（舍去）， 综上，实数的值为6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开远市第一中学校2024年秋季学期高一年级10月月考考试 数学 2024.10 考生注意： 1.本试满分150分，考试时间120分钟. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. “，” B. “，” C. “，” D. “，” 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为的碘-131经过天后剩留的质量为，则关于的函数解析式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知函数则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 一元二次不等式的解为，那么的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数是上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. “关于的不等式在上恒成立”成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 10. 对于实数，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若， 11. 对任意两个实数，定义,若，，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 方程有三个解 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数有4个单调区间 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则a的值是______． 13. 已知非负数满足，则的最小值是___________. 14. 已知是定义在上的奇函数，且对任意且，都有，若，则不等式的解集为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求值： （1）； （2）已知，，求：. 16. 已知函数. （1）在所给坐标系中作出的简图； （2）解不等式. 17. 杭州亚运会以“绿色，智能，节俭，文明”为办赛理念，展示杭州生态之美，文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需要另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润. 18. （1）已知函数的定义域为，求函数的定义域. （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式； 19. 已知函数. （1）当时，求在上的最值； （2）设函数，若存在最小值，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $