四川省绵阳市盐亭中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

第 1 页，总 4 页 四川省盐亭中学 2023 级 2024 年秋季第一学月教学质量检测 数 学 试 题 出题人 王其林 何小刚 审题人 刘桂霞 一、单选题（每题 5分，共 40分） 1. 已知事件 𝐴, 𝐵互斥, 6 5 )( =BAP , 且𝑃(𝐴) = 2𝑃(𝐵), 则𝑃(?̅?) =( ) A. 5 9 B. 4 9 C. 5 18 D. 13 18 2. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%，现采用随机模拟的方式估计该 运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生 0 到 9 之间取整数值的 随机数，指定 1，2，3，4 表示命中，5，6，7，8，9，0 表示不命中；再以三 个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下 12 组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，据此估计，该运 动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. 1 4 B. 3 8 C. 5 12 D. 5 8 3. 为保证中小学生享有充足睡眠时间，促进学生身心健康发展，教育部办公厅 发布《关于进一步加强中小学睡眠管理工作的通知》，明确学生睡眠时间要求.已 知某地区有小学生 1200 人，初中生 900 人，高中生 900 人，教育部门为了了解 该地区中小学生每天睡眠时间，现用样本量比例分配的分层抽样从该地区抽取样 本，经计算样本中小学生、初中生、高中生每天的平均睡眠时间分别为 9.5 小时、 8 小时、7 小时，则估计该地区中小学生每天的平均睡眠时间为 ( )小时. A.7.5 B.8 C.8. 3 D.8.5 4. 设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为 1 3 与 2 3 ，两人约定如下投篮：每次由一 人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，则前 4 次中 甲恰好投篮 3 次的概率为（ ） A. 4 27 B. 8 27 C. 10 27 D. 20 27 5. 装有红球、白球和黑球各 2 个的口袋内一次取出 2 个球，有如下的一些事件： ①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件 “两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ） A.① B.①② C.②③ D.①②③ 第 2 页，总 4 页 6.某同学在一次数学测试中的成绩是班级第十名（假设测试的成绩两两不同）， 且该同学的成绩恰好是该班级成绩的第 80 百分位数，则该班级的人数可能为 （ ） A.36 B.41 C.46 D.51 7. 如图所示，在棱长为 2 的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 中,𝐸为 𝐵𝐶的中点,𝐶𝐹 = 1 3 𝐶𝐶1, 则异面直线𝐸𝐹与𝐵1𝐷1所成角的余弦 值为（ ） A. 2 3 B.√ 3 6 C. 3√26 26 D. 4√21 21 8. 已知 ?⃗? 1 = (−1,9,1), ?⃗? 2 = (𝑚,−3,2), ?⃗? 3 = (0,2,1)，若{?⃗? 1, ?⃗? 2, ?⃗? 3}不能构成空间 的一个基底，则𝑚 =（ ） A.3 B.1 C.5 D.7 二、多选题（每题 6分，共 18 分） 9. 设 𝐴, 𝐵为两个随机事件, 以下命题正确的是 （ ） A.若 𝐴与𝐵对立, 则𝑃(𝐴𝐵) = 1 B.若 𝐴与𝐵互斥,𝑃(𝐴) = 1 3 , 𝑃(𝐵) = 1 2 , 则𝑃(𝐴 + 𝐵) = 5 6 C.若 𝑃(?̅?) = 1 3 , 𝑃(?̅?) = 1 2 , 且𝑃(𝐴𝐵) = 1 6 , 则 A 与𝐵相互独立 D.若 𝐴与𝐵相互独立,𝑃(𝐴) = 1 3 , 𝑃(𝐵) = 2 3 , 则𝑃(𝐴?̅?) = 1 9 10.已知一组数据：3,3,4,4,4, 𝑥, 5,5,6,6的平均数为 5，则（ ） A.𝑥 = 10 B.这组数据的众数和中位数均为 4 C.这组数据的方差为 3.8 D.若将这组数据每一个都加上 0.3，则所有新数据的方差不变 11. 已知空间中三点 𝐴(−1,2,1)，𝐵(1,3,1)，𝐶(−2,4,2)，则（ ） A.向量 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗与 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗互相垂直 B.与 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗方向相反的单位向量的坐标是( 3√11 11 , − √11 11 , − √11 11 ) C.𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗与 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗夹角的余弦值是 √66 11 D.𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗在 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗上的投影向量的模为√6 第 3 页，总 4 页 三、填空题（每题 5分，共 15 分） 12.抛掷两个质地均匀的骰子，则"抛掷的两个骰子的点数之和是 6 "的概率为 ___________. 13. 某学校高一年级在校人数为 600 人，其中男生 320 人，女生 280 人，为了解 学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取 50 名男生身高为一个样本，其 样本平均数为170.2cm，抽取 50 名女生身高为一个样本，其样本平均数为 162.0cm，则该校高一学生的平均身高的估计值为 ． 14. 如图，60∘的二面角的棱上有𝐴，𝐵两点，直线𝐴𝐶，𝐵𝐷分 别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于𝐴𝐵.已知𝐴𝐵 = 2, 𝐴𝐶 = 3, 𝐵𝐷 = 4，则𝐶𝐷长度为 . 四、解答题 15.（13 分） 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去 200 天的日 销售量（单位：kg），将全部数据按区间[50,60), [60,70), ⋯ , [90,100]分成 5 组， 得到图所示的频率分布直方图 （1）求图中𝑎的值；并估计该水果店过去 200 天苹果日销售量的平均数（同一组 中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希 望每天的苹果尽量新鲜，又能 85%地满足顾客的需要（在 100 天中，大约有 85 天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果? （3）在日销售量为[70,90]kg苹果中用分层抽样方式随机抽 6 个苹果，再从这 6 苹果中随机抽取 2 个苹果，求抽取 2 个苹果都来自日销售量在[80,90]的概率 16.（15 分）在正四棱柱 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中,𝐴𝐴1 = 2𝐴𝐵 = 2𝐵𝐶 = 2,𝑀是棱𝐶𝐶1 上的中点. (1) 求证: 𝐴𝑀 ⊥ 𝐵𝐷; (2) 异面直线𝐴𝑀与𝐵𝐶所成角的余弦值. 第 4 页，总 4 页 17. （15 分）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础 学科拔尖的学生，教育部启动了"强基计划"的招生改革工作.某校强基招生面试有 两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有 甲、乙、丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是 1 3 ， 1 2 ， 1 4 ，答对第二题的概率分别是 1 2 ， 1 3 ， 2 3 . (1) 求甲考生通过某校强基招生面试的概率; (2) 求甲、乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率; (3) 求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 18. （17 分）已知甲、乙两袋中各装有 4 个质地和大小完全相同的小球，甲袋 中有红球 2 个、白球 1 个、蓝球 1 个，乙袋中有红球 1 个、白球 1 个、蓝 球 2 个。 (1) 从两袋中随机各取一球, 求取到的两球颜色相同的概率; (2) 从甲袋中随机取两球, 从乙袋中随机取一球, 求取到至少一个红球的概率. 19.（17 分）如图, 在四面体𝐴𝐵𝐶𝐷中,𝐴𝐵 = 3, 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷 = 2, ∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐶𝐴𝐷 = 2𝜋 3 , ∠𝐵𝐴𝐶 = 𝜋 2 , 点𝑀,𝑁分别在棱𝐴𝐵, 𝐵𝐶上, 且𝐴𝑀 = 𝐵𝑀, 𝐶𝑁 = 2𝐵𝑁. (1) 用 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗表示𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐷𝑀⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ; (2) 求异面直线 𝐴𝑁,𝐷𝑀所成角的余弦值. 四川省盐亭中学2023级2024年秋季第一学月教学质量检测 数学参答 1-4 DACD 5-8.BCCB 9.BD 10.ACD 11.ABC 12.5 13.166.4cm 14.v17 36 15.解：(1)由直方图可得，样本落在[50,60)，[60,70)，，[90,100]的频率分别为 10a,10a,0.2,0.4,0.3 由10a+10a+0.2+0.4+0.3=1,解得a=0.005 则样本落在[50,60).[60,70)，…，[90,100]频率分别为0.05,0.05,0.2,0,4,0.3， 所以，该苹果日销售量的平均值为：005×50生60+005×60生70+02×70生80+04× 2 80+90+0.3×90+100=83.50kg 2 2 (2)为了能85%地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的85%分位数 依题意，日销售量不超过90kg的频率为1-0.03×10=0.7，则该店苹果日销售量的85%分 位数在[90,100]， 所以日销售量的85%分位数为90+10×0,8502=95kg) 1-0.7 所以，每天应该进95kg苹果 (3)由日销售量为[70,80)，[80,90]的频率分别为0.2,0.4知 抽取的苹果来自日销售量[70,80)中的有2个，不妨记为a1,a2 来自日销售量为[80,90]的苹果有4个，不妨记为b1,b2,b3,b4 任意抽取2个苹果，有 (a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1.b4),(a2b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2) ,(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3b4), 共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售[80,90]中的有6个基本事件，由古典概 型可得P=名-号 16.解：(I)证明：以A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴y轴，z轴，建立空间直角坐标 系， 因为AA1=2AB=2BC=2, 所以A(0,0,0).B(1,0,0).D(0,1,0),M(1,1,1) 第1页 AM=(1,1,1),BD=(-1,1,0) AM.BD=(1,1,1)(-1,1,0)=-1+1=0, 所以AM⊥BD: (2)AM=(1,1,1).BC=(0,1,0) 设异面直线AM与BC所成角的大小为8， 则cos9=Icos<AM,BC>|= AMBCL=l(11,1)(0,1,0= AMIIBCI √3 3 故异面直线AM与BC所成角的余弦值为Y区 17.解：（①）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是二，答对第二题的概率分 1 3 别是 ,甲考生通过某校强基招生面试的概率为P=方×互=6 111 (②)乙考生通过某校强基招生面试的概率为P,=立×亏=石 111 “甲、乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：P=名×(1-)+ (1-君)×名=品 (Θ)丙考生通过某校强基招生面试的概率为乃=×号-名 甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：p=1-（1-)×(1-)× (1-动)=品 18.解：设甲袋中的红球为1,2，白球为w,篮球为b, 乙袋中的红球为R,白球W,篮球为B1,B2, 则从两袋中各取一球，所有基本事件如下： {,R,{1,W){m,B,{1,B2,w,R3,{w,W{w1,B1{w,B2, {r2,R3,{2,W{r2,B1,{r2,B2{b,R{b,W{b,B1,{b,B2: 故基本事件的总数为16， 设A为"取到的两球颜色相同"，则A含有的基本事件如下： {1,R3,{r2,R,{w,W3{b,B,{b,B2, 共5个基本事件，则P(A=4×4=6 5 5 (2)如(1)中所设，从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，总的基本事件如下： {,2,R,{1,T2,W,{T1,2,B1,{1,T2,B2},{,w,R,{w,W3,{1,w,B1},{,w,B2, {,b,R,{,b,W,{ri,b,B1,{n,b,B2,{r2,b,R,{r2,bW3,{2,b,B1,{2,b,B2, 第2页 {r2,w,R,{r2,w,W,{r2,w,B1,{r2,w,B2}{b,w,R}{b,w,W,{b,w,B1},{b,w,B2} 基本事件的总数为24， 设B为"取到至少一个红球"，其对立事件设为C,则C为"没有取到红球"， C含有的基本事件如下：他，w,w,私，w,Bb,w,B共有3个，故P(C)==君故 PB)=1-pO=1-日-君 19.解：(1)因为点M,N分别在棱AB,BC上， 所以AM=2AB,BN=-专BC, 所以AN=AB+丽=A丽+号B配=号A丽+写AC,DM=Di+AM=A丽-AD. (②)因为AB=3,AC=AD=2,∠BAD=∠CAD=,∠BAC=交 所以丽C=3x2×c0s7=0,丽.币=3×2×c0s=-3,AC.而= 2x2x0s9=-2 所以=、G丽+C=、号1郦+考丽C+专c平=2平 网1=店丽-而-、得廊-丽而+面郦=受 N·DM=(传A6+3AC)(侵A丽-AD)=3AP-号AB-AD+名A·AC-3ACAD= 号 17 所以cos(AN,DM= AN·DM 17370 1o受 370 即异面直线AN,DM所成角的余弦值为17V37四 370 第3页姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3．主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 4．必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 正确填涂 错误填涂 贴码区 （正面朝上，切勿贴出方框） 条码尺寸：50×20毫米 条码编码：code128 缺考标记 扫描二维码 查询成绩 四川省盐亭中学2023级2024年秋季第一学月教学质量检测 数 学 答 题 卡 一、单项选择题：本题共8小题 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D 二、多选题：本大题共3小题. 9 10 11A B C D A B C D A B C D 三、填空题：本题共3小题 12. 13. 14. 四、解答题： 15. (13分) 第1页 共4页 16. (15分) 第2页 共4页 四川省盐亭中学2023级2024年秋季第一学月教学质量检测 数 学 答 题 卡 【背面】 17. (15分) 18. (17分) 第3页 共4页 19. (17分) 第4页 共4页