精品解析：安徽省蚌埠市五河第一中学2024-2025学年高二上学期第二次月考检测数学试题

五河一中2024-2025学年度高二第一学期第二次月考检测卷 数学试题 一、单选题 1. 点在函数的图象上，当时，可能等于（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 0 2. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. 1或 B. 1 C. 3 D. 或3 3. 已知二次函数交轴于两点(不重合)，交轴于点. 圆过三点.下列说法正确的是 ① 圆心在直线上； ② 的取值范围是； ③ 圆半径的最小值为； ④ 存在定点，使得圆恒过点. A. ①②③ B. ①③④ C. ②③ D. ①④ 4. 过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 直线与曲线有2个交点，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若圆与圆交于两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 点P在圆上，点Q在圆上，则（ ） A. 的最小值为0 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在直线的斜率为 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为 10. 已知圆，直线，则以下命题正确的有（ ） A. 直线l恒过定点 B. 直线l与圆恒相交 C. y轴被圆C截得的弦长为 D. 直线l被圆C截得的弦长最短时，的方程为 11. 若直线与圆交于两点，则（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. 圆的半径为3 C. 当时，直线的倾斜角为 D. 的取值范围是 三、填空题 12. 若，则经过两点，的直线的倾斜角为______． 13. 若过点与圆 相切的两条直线的夹角为，则 _____ 14. 已知实数，则的取值范围是______. 四、解答题 15. 已知圆过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程. 16. 已知直线过定点P. （1）求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程； （2）若直线过点且交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，记的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程. 17. 已知两直线和的交点为． （1）若直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程； （2）若圆过点且与相切于点，求圆的标准方程． 18. 已知圆经过三点． （1）求圆的方程． （2）已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 19. 已知直线，圆. （1）证明：直线l与圆C相交； （2）设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程； （3）在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五河一中2024-2025学年度高二第一学期第二次月考检测卷 数学试题 一、单选题 1. 点在函数的图象上，当时，可能等于（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】先画出指数函数图象再结合斜率公式数形结合得出范围. 【详解】表示点与点所成直线的斜率k， 又是在部分图象上的动点， 如图，当接近时， 当为时，，则，只有C满足. 故选：C. 2. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. 1或 B. 1 C. 3 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆方程可得，确定或，再根据圆关于直线对称可得圆心在直线上即可求解. 【详解】因为是圆的方程， 所以，解得或， 又因为圆的圆心为， 且圆关于直线对称，所以， 即，解得，（舍）或， 故选：C. 3. 已知二次函数交轴于两点(不重合)，交轴于点. 圆过三点.下列说法正确的是 ① 圆心在直线上； ② 的取值范围是； ③ 圆半径的最小值为； ④ 存在定点，使得圆恒过点. A. ①②③ B. ①③④ C. ②③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的性质得圆心横坐标为1；根据二次函数的性质与二次函数与轴有两个焦点可得的取值范围；假设圆方程为，用待定系数法求解，根据二次函数的性质和的取值范围求圆半径的取值范围，再根据圆方程的判断是否过定点. 【详解】二次函数的对称轴为， 因为对称轴为线段的中垂线， 所以圆心在直线上，故①正确； 因为二次函数与轴有两点不同交点， 所以，即，故②错误； 不妨设在的左边，则， 设圆方程为 ，则 ，解得， ， 因为，所以即，故③错误； 由上得圆方程为， 即，恒过点，故④正确. 故选D. 【点睛】本题考查直线与圆的应用，关键在于结合图形用待定系数法求圆方程，曲线方程恒过定点问题要分离方程参数求解. 4. 过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，先求出动直线经过定点，再结合垂直条件应用基本不等式求出面积的最大值. 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点， 有， 故,当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为 故选: 5. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出动点和动点的坐标，找到动点和动点坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可. 【详解】设，，由中点坐标公式得， 所以，故， 因为A在圆上运动， 所以， 化简得，故B正确. 故选：B 6. 直线与曲线有2个交点，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作图，表示出边界线，根据所过点以及切线性质，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 当直线位于直线时，交点一定有两个， 由，则，易知， 设直线，由图可知为切线，则，解得， 由图可得：. 故选：C. 7. 已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若圆上有4个点到直线的距离等于1，则到直线的距离小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】圆心为，半径为， 若圆上有四个点到直线的距离等于1， 所以到直线的距离小于， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 8. 若圆与圆交于两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析出圆M与圆N的公共弦，满足，当的坐标为时，，利用余弦定理计算可得,由余弦函数的单调性确定最大，即为最大，计算即可得出结果. 【详解】可化为， 故圆N的圆心为，半径为， 由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1， 所以且，故， 当的坐标为时，， 在中，， 又，在上单调递减， 故为锐角，且当时，最大， 又在上单调递增， 所以当最大时，取得最大值，且最大值为. 故选：D 二、多选题 9. 点P在圆上，点Q在圆上，则（ ） A. 的最小值为0 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在直线的斜率为 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】求两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距求的最值判断AB选项；由斜率公式计算两个圆心所在直线的斜率，判断选项C；由两圆位置关系判断选项D. 【详解】圆，圆心，半径. 圆的一般方程化成标准方程，得，则圆心，半径， 两圆圆心距，，， A选项错误，B选项正确. 两个圆心所在直线的斜率， C选项正确. 又，所以两圆外离，不相交，没有公共弦， D选项错误. 故选：BC. 10. 已知圆，直线，则以下命题正确的有（ ） A. 直线l恒过定点 B. 直线l与圆恒相交 C. y轴被圆C截得的弦长为 D. 直线l被圆C截得的弦长最短时，的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，整理直线方程，分离出参数，建立方程组，可得答案；对于B，由圆的标准方程可得圆心与半径，计算定点与圆心的距离，并与半径比较，可得答案；对于C，由圆的方程，求得与轴的交点纵坐标，可得答案；对于D，由题意可得直线与直线垂直，利用两点求斜率，结合点斜式公式，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 令，解得，所以直线恒过定点，故A错误； 对于B，由，则圆心，半径， ，故B正确； 对于C，令，整理圆的方程为，解得， 轴被圆截得的弦长为，故C正确； 对于D，当时，直线被圆截得的弦长最短， 由直线的斜率，直线的斜率，且， 则，所以直线的方程为，化简可得，故D正确. 故选：BCD. 11. 若直线与圆交于两点，则（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. 圆的半径为3 C. 当时，直线的倾斜角为 D. 的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】将圆化成标准方程，算出圆心坐标与半径大小，从而判断出A、B两项的正误；当时，求出直线的斜率，得到倾斜角，从而判断出C项的正误；求出圆心到直线的距离的表达式，结合，求出的取值范围，进而判断出的取值范围，可得D项的正误． 【详解】对于A、B，圆的标准方程为：，圆心，半径，故A项不正确，B正确； 对于C，当时，直线的方程为，所以直线的斜率，倾斜角，故C项正确； 对于D，圆心，到直线的距离， 由,，得，所以，故D项错误． 故选：BC． 三、填空题 12. 若，则经过两点，的直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两点求出斜率，再结合斜率和倾斜角的关系可解. 【详解】因为， 所以 又因为， 且， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 13. 若过点与圆 相切的两条直线的夹角为，则 _____ 【答案】或 【解析】 【分析】由圆的方程可确定圆心与半径，再结合三角函数值可得圆的半径，进而可得参数 【详解】 如图所示， 圆化为标准方程为， 圆心，半径， 过点与圆相切的两条直线的夹角为， 所以或， 又点到圆心的距离为，则或， 即或， 解得或， 故答案为：或. 14. 已知实数，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设直线：，则的几何意义为，点到直线的距离，即可求出取值范围. 【详解】根据题意，设直线：，设点 那么点到直线的距离为：， 因为，所以，且直线的斜率， 当直线的斜率不存在时，，所以， 当时， ， 所以，即， 因为，所以， 故答案为：. 四、解答题 15. 已知圆过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据点，可知线段中垂线，圆心在中垂线上，联立两直线，可知点坐标，进而可得圆方程； （2）当切线斜率不存在时直线方程为成立，当切线斜率存在时，设点斜式，根据点到直线距离，即可得解. 【小问1详解】 由已知，， 则其中点为，， 所以中垂线的斜率， 则中垂线为，所以点在上， 又点在直线， 联立，解得，即， 半径， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）得，， 当过点的切线斜率不存在时，直线为，与圆相切； 当过点的斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到切线的距离， 解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，切线方程为或. 16. 已知直线过定点P. （1）求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程； （2）若直线过点且交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，记的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】（1）或或 （2）24， 【解析】 【分析】（1）求出直线过原点和直线不过原点两种情况讨论求解即可； （2）由题意可知，直线的斜率存在，且，设直线，求出直线交轴的正半轴的点，交轴的负半轴的点，求出的面积，进而根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 直线，即， 令，即，即. 若直线过原点，且过点， 所以直线的方程为，即. 若直线不过原点，可设直线方程为， 因为点在直线上，所以， 若，则， 所以直线的方程为， 若，则， 所以直线的方程为. 综上所述，所求直线的方程为或或. 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率存在，且， 设直线， 令，则；令，则， 则 ， 当且仅当时，即时取等号， 故的最小值为24，此时， 所以直线. 17. 已知两直线和的交点为． （1）若直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程； （2）若圆过点且与相切于点，求圆的标准方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）通过解二元一次方程组求解的坐标，再结合互相平行两直线方程的特征运用代入法进行求解即可； （2）根据圆的切线的性质，结合待定系数法进行求解即可. 【小问1详解】 联立方程组，解得， 所以直线和的交点． 因为直线与直线平行，故可设直线． 又直线过点，则，解得， 即直线的方程为． 【小问2详解】 设所求圆的标准方程为， 直线的斜率为，故直线CP的斜率为， 由题意可得，解得， 故所求圆的标准方程为． 18. 已知圆经过三点． （1）求圆的方程． （2）已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 【答案】（1） （2）直线经过定点，该定点的坐标为 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程，代入的坐标，由此求得正确答案. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线的斜率之积列方程，化简求得定点坐标. 【小问1详解】 设圆W的方程为， 则，解得 则圆W的方程为． 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则设直线的方程为， 则，整理得． 又，解得，所以直线的方程为，此时经过点，不符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则． ， 则， 整理得， 解得或． 当时，直线的方程为， 此时直线经过点，不符合题意，故舍去． 所以， 故直线的方程为，即，经过定点． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为． 【点睛】求圆的方程的方法有两种思路，一种思路是根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；另一种思路是设圆的一般方程，然后根据已知条件求得，从而求得圆的一般方程. 19. 已知直线，圆. （1）证明：直线l与圆C相交； （2）设l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，求点M的轨迹方程； （3）在（2）的条件下，设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由. 【答案】（1）证明：直线过定点，代入得：，故在圆内，故直线l与圆C相交； （2）； （3）是,点Q恒在直线上 【解析】 【分析】（1）求出直线过定点，得到在圆内部，故证明直线l与圆C相交；（2）设出点，利用垂直得到等量关系，整理后即为轨迹方程；（3）利用Q、A、B、C四点共圆，得到此圆的方程，联立，求出相交弦的方程，即直线的方程，根据直线过的定点，得到，从而得到点Q恒在直线上. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 圆的圆心为，设点，由垂径定理得：，即，化简得：，点M的轨迹方程为： 【小问3详解】 设点，由题意得：Q、A、B、C四点共圆，且圆的方程为：，即，与圆C的方程联立，消去二次项得：，即为直线的方程，因为直线过定点，所以，解得：，所以当m变化时，点Q恒在直线上. 【点睛】本题的第三问是稍有难度的，处理方法是根据四点共圆，直径的端点坐标，求出此圆的方程，与曲线联立后得到相交弦的方程，是处理此类问题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $