精品解析：广东省佛山市顺德区容山中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

容山中学2024-2025学年第一学期期中考试高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分150分） 命题人：汪良清 审题人：杨金宝 注意事项： 1．答卷前，考生务必填涂答题卷上的班级、姓名、考号、试室号、座位号等有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，不正确的命题是（ ） A. 空间中任意两个向量一定共面 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D. 若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底 3. 从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 4. ，分别为直线与上任意一点，则最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 设向量，，当数与满足下列哪种关系时，向量与轴垂直（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则 ②若向量，满足，且，则在方向上的投影向量为 ③若，则，的夹角是钝角 ④已知正四面体的棱长为1，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 体积为的圆锥底面圆周上有三点A，B，C，其中M为圆锥顶点，O为底面圆圆心，且圆锥的轴截面为正三角形．若空间中一点N满足（其中），则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件A与B是对立事件 B. 设A，B是两个随机事件，且，，若，则A，B是相互独立事件 C. A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 D. 若，，则“事件A，B相互独立”与“事件A，B互斥”一定不能同时成立 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为 11. 在棱长为2的正方体中，M，N两点在线段上运动，且，则（ ） A. 在M，N两点的运动过程中，平面； B. 在平面上存在一点P，使得平面； C. 三棱锥的体积为定值； D. 以点D为球心作半径为的球面，则球面被正方体表面所截得的所有弧长和为． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知直线过两条直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为(结果用一般式表示)________． 13. 已知直线的方向向量为，点在直线上，若点到直线的距离为，则________． 14. 已知球的半径为是球的直径，点在球的球面上.若空间中一点与点间的距离为，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 16. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求 （1）分别求甲在两轮活动中共猜对1个，2个成语的概率； （2）分别求乙在两轮活动中共猜对1个，2个成语的概率； （3）求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率． 17. 在平行六面体中，，，，E为与的交点． （1）用向量，，表示； （2）求线段的长； （3）求异面直线与所成的角． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 容山中学2024-2025学年第一学期期中考试高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分150分） 命题人：汪良清 审题人：杨金宝 注意事项： 1．答卷前，考生务必填涂答题卷上的班级、姓名、考号、试室号、座位号等有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中不重合的三点共线的条件，逐一考查所给的选项是否正确即可. 【详解】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误； 若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误； ，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项C错误； ，则A、B、C三点共线，选项D正确； 故选：D. 2. 下列命题中，不正确的命题是（ ） A. 空间中任意两个向量一定共面 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D. 若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量、向量平行、四点共面、基底等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，空间中任意两个向量可以通过平移的方法平移到同一个平面， 所以空间中任意两个向量一定共面，A选项正确. B选项，若，可能是非零向量，是零向量， 此时不存在，使，所以B选项错误. C选项，对于，有，所以四点共面， 所以C选项正确. D选项，若是空间的一个基底，， 假设，， 则共面，与已知矛盾，所以不共面， 所以是基底，所以D选项正确. 故选：B 3. 从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】记2名男生为，2名女生为， 任意选出两人的样本空间，共6个样本点， 恰好一男一女生的事件，共4个样本点， 所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是. 故选：A 4. ，分别为直线与上任意一点，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式可求出的最小值. 【详解】由，可得两条直线相互平行， 所以最小值为平行线之间的距离，可化为， 所以，. 故选：A 5. 两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量求解 【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点， 且两平面的一个法向量， ∴两平面间的距离． 故选：A 6. 设向量，，当数与满足下列哪种关系时，向量与轴垂直（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直满足的坐标运算即可求解. 【详解】∵，， ∴， 取x轴的方向向量为， 若向量与x轴垂直， 则，解得：， 故选：A． 7. 下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则 ②若向量，满足，且，则在方向上的投影向量为 ③若，则，的夹角是钝角 ④已知正四面体的棱长为1，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算判断直线与平面的位置关系，即可判断①；利用投影向量的计算公式判断②；根据向量夹角与数量积的关系判断③；利用正四面体的几何性质结合空间向量的运算转化求解即可判断④，从而得结论. 【详解】对于①，若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是， 则，所以或，故①不正确； 对于②，若向量，满足，且， 则在方向上的投影向量为，故②正确； 对于③，若，，的夹角是钝角或平角，故③不正确； 对于④，已知正四面体的棱长为1， 则 ， 故④正确； 综上，正确命题的个数为2个. 故选：C. 8. 体积为的圆锥底面圆周上有三点A，B，C，其中M为圆锥顶点，O为底面圆圆心，且圆锥的轴截面为正三角形．若空间中一点N满足（其中），则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共面的推论判断N的位置，进而得到最小时N的位置，设圆锥MO底面圆的半径为r，结合已知及圆锥体积公式求半径，即可得结果. 【详解】因为N满足（其中），即N在圆O所在的平面内． 所以的最小值是顶点M到圆O所在的平面的距离，即为圆锥MO的高． 设圆锥MO底面圆的半径为r，因为圆锥的轴截面为正三角形， 所以圆锥MO的高为，则圆锥的体积为，解得． 所以的最小值为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件A与B是对立事件 B. 设A，B是两个随机事件，且，，若，则A，B是相互独立事件 C. A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 D. 若，，则“事件A，B相互独立”与“事件A，B互斥”一定不能同时成立 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AC：举反例说明即可；对于BD：根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件的概念分析判断. 【详解】对于选项A：例如样本空间为，事件，， 可得，满足， 但，即事件不对立，故A错误； 对于选项B：因为，，， 满足，所以A，B是相互独立事件，故B正确； 对于选项C：例如样本空间为，事件，， 则A，B同时发生为事件，则； A，B中恰有一个发生为事件，则； 显然，故C错误； 对于选项D：因为，， 若事件A，B相互独立，则，可知事件A，B不互斥； 若事件A，B互斥，则，即，可知事件A，B不相互独立， 所以“事件A，B相互独立”与“事件A，B互斥”一定不能同时成立，故D正确； 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】由两直线的平行与垂直，即可判断AB，由直线倾斜角的定义即可判断C，分直线过原点以及不过原点，即可判断D 【详解】对于A，由可得直线与直线互相垂直，故充分性满足， 由直线与直线互相垂直， 可得，解得或，，则必要性不满足， 所以“”不是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故A错误； 对于B，由可得直线与直线互相平行，故充分性满足， 由直线与直线互相平行 可得，解得，则必要性满足， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确； 对于C，设直线的倾斜角，则， 又，所以，故C正确； 对于D，直线在两坐标轴上的截距相等，若直线过原点，则直线方程为； 若直线不过原点，则直线斜率为，在坐标轴上的截距为， 所以直线方程为，即； 所以直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为或，故D错误； 故选：BC 11. 在棱长为2的正方体中，M，N两点在线段上运动，且，则（ ） A. 在M，N两点的运动过程中，平面； B. 在平面上存在一点P，使得平面； C. 三棱锥的体积为定值； D. 以点D为球心作半径为的球面，则球面被正方体表面所截得的所有弧长和为． 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线面垂直、线面平行、三棱锥体积、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】平面也即平面， A选项，由于三角形是等边三角形，所以与所成角为， 也即与不垂直，从而与平面不垂直， 也即与平面不垂直，所以A选项错误. B选项，根据正方体的性质可知， 由于平面，平面，所以平面， 同理可得平面，由于平面， ，所以平面平面， 由于平面，所以平面， 所以在平面上存在一点，， 使得平面，也即使得平面，B选项正确. C选项，，所以到的距离为， 所以， 所以C选项正确. D选项，由于，而球的半径为， 以为圆心，为半径作四分之一的圆弧，如图所示， 则弧是球面被正方体表面所截得的弧， 且弧长为， 同理画出弧如图所示，这两段弧长都为， 所以截得的弧长总和为，所以D选项正确. 故选：BCD 【点睛】本题通过对立体几何中正方体和球的组合关系进行考查，要求学生分析平面与平面的位置关系、三棱锥体积是否为定值，以及球面截弧的计算．解题过程中，通过几何对称性和体积公式的应用来确定各选项的正确性，充分体现了立体几何的综合性和数形结合的思想． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知直线过两条直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为(结果用一般式表示)________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得直线过点，且斜率为，由点斜式求解即可. 【详解】解：由，可得， 即所求直线过点， 又因为所求直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即. 故答案为： 13. 已知直线的方向向量为，点在直线上，若点到直线的距离为，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，由空间中点到直线的距离公式代入计算，即可求解. 【详解】由题意得，又， 所以，， 所以点到直线的距离为， 解得或. 故选：或. 14. 已知球的半径为是球的直径，点在球的球面上.若空间中一点与点间的距离为，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的四则运算可得，再根据数量积的公式和运算律求解即可. 【详解】由题意可得点在以为球心，为半径的球上， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以的最小值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据直线与垂直，求直线的方程，再与直线方程联立，解方程组可得点坐标. （2）根据点在直线上，设出点坐标，利用为中点，表示点坐标，再根据点在直线上，可求的值，可确定点坐标，进而得直线的方程. 【小问1详解】 如图： 因为边上的高所在直线方程为， ，且， 的顶点， 直线的方程：，即. 联立方程 ，解得. 顶点的坐标为. 【小问2详解】 因为所在直线方程为， 故设点的坐标为， 是的中点，， . 在所在直线上， ，解得， 点坐标为， 由知点的坐标为， 故直线的方程为，即. 16. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求 （1）分别求甲在两轮活动中共猜对1个，2个成语的概率； （2）分别求乙在两轮活动中共猜对1个，2个成语的概率； （3）求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率． 【答案】（1）甲在两轮活动中共猜对1个成语的概率为，2个成语的概率为； （2）乙在两轮活动中共猜对1个成语的概率为，2个成语的概率为； （3）“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为． 【解析】 【分析】（1）由互斥事件的和事件的概率公式与独立事件概率的乘法公式可求解； （2）由互斥事件的和事件的概率公式与独立事件概率的乘法公式可求解； （3）两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率求法即可得解. 【小问1详解】 设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件， 根据独立事件的性质，可得， 所以甲在两轮活动中共猜对1个成语的概率为，2个成语的概率； 【小问2详解】 设分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件. 根据独立事件的性质，可得， 所以乙在两轮活动中共猜对1个成语的概率为，2个成语的概率； 【小问3详解】 设表示“两轮活动‘星队’猜对3个成语”， 由（1）（2）可得，且与互斥，与，与分别相互独立， 所以， 因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是. 17. 在平行六面体中，，，，E为与的交点． （1）用向量，，表示； （2）求线段的长； （3）求异面直线与所成的角． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意根据向量加法的三角形法则和平行四边形法则即可求解； （2）由（1）的结论，结合向量的数量积公式及模长定义进行运算即可. （3）利用向量的减法运算及数量积公式运算即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 即. 【小问2详解】 由（1）得 ， 所以线段的长为. 【小问3详解】 ， 所以异面直线与所成的角为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1） 因为底面，，底面， 所以，， 又底面是正方形，所以， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设． 依题意得，，，． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则有 即取，则， 因为平面，因此平面． （2） 依题意得， 因为， 所以． 由已知，且，平面， 所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，由证明； （2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明； （3）求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意得，且，． 设平面的一个法向量为， 则 即，取． 易知平面的一个法向量为， 所以． 所以平面与平面的夹角为． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO. （1）求证：平面ABCD； （2）求面APB与面PBC所成角的正弦值； （3）在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长. 【答案】（1） 因为，，， 所以四边形为矩形， 在中，，，， 则， 所以，则， 且平面平面，平面，平面平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理的值，再由勾股定理可得，根据面面垂直的性质定理即可证明线面垂直； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解面APB与面PBC的法向量，从而可得面面夹角的余弦值，利用平方公式得正弦值； （3）设，确定的坐标，利用空间向量线面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，可得， 则，，，，， 设平面的法向量为，，， 由，取， 设平面的法向量为，， 由，取， ， 又由图可知二面角是钝角， 所以二面角的正弦值为； 【小问3详解】 设，则， 又平面的法向量为， 直线与平面所成的角的正弦值为，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $