第4章 实数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

第4章 实数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一．近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点二．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点三．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 知识点四．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 知识点五．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点六．计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 知识点七．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 　　比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 知识点八．实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 知识点九．实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 知识点十．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点十一．实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点十二．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 知识点十三．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 考点1：三个概念 概念1：平方根与算术平方根 【例题1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）64的算术平方根是（   ） A． B． C．8 D． 【变式2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）4的平方根的值为 【变式3】（23-24七年级下·全国·期末）的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 概念2：立方根 【例题2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）的立方根等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）如图是小枫家的一块正方体积木，现测得它的体积为，那么64的立方根为（    ） A．8 B． C．4 D． 【变式2】（24-25八年级上·西藏日喀则·期中）0.64的平方根是 ，的立方根是 ． 【变式3】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）4的平方根是 ，的立方根是 ． 概念3：实数 【例题3】（24-25八年级上·四川达州·期中）下列各数：，3.141592，，0.16，，，3.010010001…（相邻两个 1 之间 0  的个数逐次加 1），是无理数的有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6∴无理数一共有4个， 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）在，，，，，，，（相邻两个2之间1不断增加）中，无理数的个数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在实数，，，，中有理数的个数是 ． 【变式3】（23-24八年级上·辽宁阜新·期中）下列各数，，……（相邻两个1之间2的个数逐次加1），，，，中，有理数有 个． 考点2：一个关系——实数与数轴的关系 【例题4】（24-25八年级上·河南焦作·阶段练习）在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，，，在数轴上，且点O、C对应的实数分别是0，，以点O为圆心，的长为半径画弧，与数轴的负半轴交于点A，设点A所对应的实数为x，则的立方根为（   ） A． B． C．2 D． 【变式2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在数轴上点和点之间的所有整数之和等于 ． 【变式3】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1) ； (2)求的值； (3)在数轴上还有点C表示实数c，且A与C的距离比A与B的距离多，求点C表示的实数c． 考点3：三个性质 性质1：算术平方根和平方根的性质 【例题5】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知．则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）已知a， b， c满足则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）若， ，则 的值为 ． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知x，y满足，求的平方根． 性质2：立方根的性质 【例题6】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）若实数的立方根与的立方根互为相反数，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·河南新乡·期中）下列说法正确的是（　　） A．64的平方根是8 B．的立方根是 C．的立方根是 D．只有非负数才有立方根 【变式2】（22-23八年级上·河南南阳·期中）若一个数的立方根就是它本身，则这个数是 ． 【变式3】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）若与互为相反数，求的值． 性质3：实数的性质 【例题7】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．正数的算术平方根一定比它本身小 B．负数没有平方根 C．的相反数是 D．立方根是本身的数只有，0，1 【变式2】（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）的相反数是 ，的倒数是 ， ． 【变式3】（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）已知，求的值． 考点4：一种运算——实数的运算 【例题8】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨）下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）的值 ． 【变式2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式3】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）计算 (1)； (2)． 考点5：一个技巧——比较实数大小的技巧 【例题9】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【变式2】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）通过估算，你能比较与的大小吗？说说你的理由． 【变式3】（23-24八年级上·全国·单元测试）通过估算，比较下列各组数中两个数的大小． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 考点6：两种思想 思想1：数形结合思想 【例题10】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为（    ）    A．0.414 B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，，数轴上点表示的数为，则的立方根是 ．    【变式2】（22-23八年级上·江苏无锡·期中）实数在数轴上对应点的位置如图所示，若． (1)求的值； (2)求的平方根． 【变式3】（23-24八年级上·广东佛山·期末）由5个边长为1的小正方形组成的图形如图所示．通过剪贴，可以将图中的5个小正方形拼成一个大正方形． (1)拼成的大正方形的边长为________； (2)将剪贴示意图画在网格图中． 思想2：分类讨论思想 【例题11】（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（    ） A． B． C．或 D． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）和是一个正数的两个平方根，则这个正数的值为（   ） A．4 B．64 C．4或8 D．4或64 【变式2】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）定义：如果一个三角形两边的平方和等于第三边平方的2倍，则称这个三角形为奇异三角形．例如等边三角形就是一种奇异三角形．在中，，，，，且，若是奇异三角形，则的值为 ． 【变式3】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知和分别是实数的平方根，求的值． 一、单选题 1．（2024·甘肃临夏·中考真题） 下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．0.13133 2．（2024·四川巴中·中考真题）在0，1，，中最小的实数是（    ） A．0 B． C．1 D． 3．（2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 4．（2024·四川资阳·中考真题）若，则整数m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 5．（2024·四川广安·中考真题） ． 6．（2023·四川甘孜·中考真题）比较大小： 2．（填“”“”或“”） 7．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 8．（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是 ．（写出一个答案即可） 三、解答题 9．（2024·广东·中考真题）计算：． 10． （2024·浙江·中考真题）计算： 11．（2023·山西·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）在实数 ， 0 ， ， π ， ，（每相邻两个 2 之间依次增一个1） 中，无理数有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．（24-25八年级上·全国·期中）的立方根是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）估计的值在整数（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 4．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·全国·期中）下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若，则（    ） A．1 B． C．0 D．2022 7．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）下列各式中运算正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 12．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）与比较大小， ． 13．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 14．（23-24八年级上·四川成都·期中）的立方根是 ． 15．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，且，则 ． 16．（24-25八年级上·全国·期中）的相反数是 ，的倒数是 ，3的平方根是 ． 17．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习） ， ， ． 18．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）若，则 ． 三、解答题 19．（24-25八年级上·全国·期中）计算：． 20．（22-23八年级上·四川眉山·期中）计算：． 21．（24-25八年级上·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 22．（24-25八年级上·全国·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3， (1)分别求出a，b的值； (2)求的平方根． 23．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 24．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的立方根． 25．（22-23八年级上·山西忻州·期末）如图，是张大爷的一块小菜地，已知CD是中AB边上的高，，求BD的长．（结果保留根号） 26．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，已知． (1)说出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较点A所表示的数与的大小：______； (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 实数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一．近似数和有效数字 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 知识点二．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点三．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 知识点四．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 知识点五．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点六．计算器—数的开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 知识点七．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 　　比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 知识点八．实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 知识点九．实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 知识点十．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点十一．实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 知识点十二．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法． 思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 知识点十三．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 考点1：三个概念 概念1：平方根与算术平方根 【例题1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根与算术平方根，解题的关键是掌握：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的平方根（或二次方根）；一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根（或二次方根）．据此解答即可． 【详解】解：∵，的平方根为， ∴的平方根是． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）64的算术平方根是（   ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据算术平方根的定义，判断即可． 【详解】解：因为 64的算术平方根是8 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）4的平方根的值为 【答案】 【分析】本题考查了平方根的知识．由平方根的定义计算即可． 【详解】解：4的平方根的值为：． 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·全国·期末）的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵，而的算术平方根是， ∴的算术平方根是2， ∵，而的算术平方根是， ∴的算术平方根是， 故答案为：2；． 概念2：立方根 【例题2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）的立方根等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是掌握立方根的定义．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）如图是小枫家的一块正方体积木，现测得它的体积为，那么64的立方根为（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的定义解答即可． 【详解】∵， ∴64的立方根是4． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·西藏日喀则·期中）0.64的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根以及立方根，根据平方根以及立方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 【变式3】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）4的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念和求法，理解、记忆平方根和立方根的概念是解题关键．平方根：如果，则x叫做a的平方根，记作“”(a称为被开方数)，立方根：如果，则x叫做a的立方根，记作“”(a称为被开方数)．根据平方根和立方根的概念直接求解． 【详解】解：，， 的平方根为； ， 的立方根是． 故答案为．；． 概念3：实数 【例题3】（24-25八年级上·四川达州·期中）下列各数：，3.141592，，0.16，，，3.010010001…（相邻两个 1 之间 0  的个数逐次加 1），是无理数的有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，无理数就是无限不循环小数．初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0）． 【详解】解：，3.141592， 0.16，是有理数； ，，，3.010010001…（相邻两个 1 之间 0  的个数逐次加 1），是无理数； ∴无理数一共有4个， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）在，，，，，，，（相邻两个2之间1不断增加）中，无理数的个数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的概念，求一个数的立方根，根据无理数的概念“无限不循环小数”及常见的无理数有：含有的最简式子；开不尽方的数；特殊结构的数，如（相邻两个2之间1的个数逐渐增加），由此即可求解． 【详解】解：， ∴无理数有：（相邻两个2之间1不断增加），共4个， 故选：D ． 【变式2】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在实数，，，，中有理数的个数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了实数的分类；先利用立方根的性质化简，再根据实数的概念进行判断． 【详解】解：因为， 所以有理数为，，，，，，有6个， 故答案为：6． 【变式3】（23-24八年级上·辽宁阜新·期中）下列各数，，……（相邻两个1之间2的个数逐次加1），，，，中，有理数有 个． 【答案】4 【分析】根据实数的分类进行判定即可得出答案，有理数包括整数和分数，其中有限小数和无限循环小数都属于分数． 【详解】解：有理数有，，，共4个． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了实数，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键． 考点2：一个关系——实数与数轴的关系 【例题4】（24-25八年级上·河南焦作·阶段练习）在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴、数轴上两点的距离、轴对称，熟练掌握数轴的性质是解题关键．设点所对应的实数是，根据和数轴的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设点所对应的实数是， 由题意得：， 解得， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，，，在数轴上，且点O、C对应的实数分别是0，，以点O为圆心，的长为半径画弧，与数轴的负半轴交于点A，设点A所对应的实数为x，则的立方根为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理得到，进而得到，据此求出，再根据立方根的定义可得答案． 【详解】解：在中，由勾股定理得， ∴， ∴点A表示的数为，即， ∴， ∵的立方根为， ∴的立方根为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，实数的运算，求一个数的立方根，实数与数轴，正确利用勾股定理求出是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在数轴上点和点之间的所有整数之和等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，根据无理数的估算方法得到，进而得到，据此确定在数轴上点和点之间的所有整数有，再把这些整数求和即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴在数轴上点和点之间的所有整数有， ∴在数轴上点和点之间的所有整数之和等于， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1) ； (2)求的值； (3)在数轴上还有点C表示实数c，且A与C的距离比A与B的距离多，求点C表示的实数c． 【答案】(1) (2)2 (3)或2 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据（1）所求推出，再化简绝对值后计算求解即可； （3）先求出A与C的距离为，再分当点C在点A右边时， 当点C在点A左边时，两种情况根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：由题意得，点A到点B的距离为2， ∵A与C的距离比A与B的距离多， ∴A与C的距离为， 当点C在点A右边时，点C表示的数为， 当点C在点A左边时，点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数为或2，即或． 考点3：三个性质 性质1：算术平方根和平方根的性质 【例题5】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）已知．则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值及算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）已知a， b， c满足则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式、算术平方根，熟记完全平方公式是解题关键． 先将已知等式利用完全平方公式变形为，再根据偶次方的非负性、绝对值的非负性，算术平方根的性质可求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【变式2】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）若， ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，代入求值，先根据算术平方根的非负性得到，然后计算出m，n的值，代入计算即可． 【详解】解：由题可得，解得， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知x，y满足，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，平方根等知识．熟练掌握算术平方根的非负性，绝对值的非负性，平方根是解题的关键． 由题意知，，可求，根据的平方根为，代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴的平方根为， ∴的平方根为． 性质2：立方根的性质 【例题6】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）若实数的立方根与的立方根互为相反数，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，相反数，立方根，根据题意列出，移项，再两边同时进行3次方，即可判断． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 【变式1】（23-24八年级上·河南新乡·期中）下列说法正确的是（　　） A．64的平方根是8 B．的立方根是 C．的立方根是 D．只有非负数才有立方根 【答案】C 【分析】根据平方根、立方根的定义并逐项进行判断即可． 【详解】解：A．64的平方根是；故本选项不符合题意； B．的立方根是，故本选项不符合题意； C．的立方根是，故本选项符合题意； D．所有实数都有立方根，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（22-23八年级上·河南南阳·期中）若一个数的立方根就是它本身，则这个数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查立方根的概念和性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 【详解】立方根是它本身的数有个，分别是或或 故答案为：或或 【变式3】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）若与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】由立方根的性质及相反数的定义可得，据此即可求解； 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 解得； 性质3：实数的性质 【例题7】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）实数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的性质，相反数的定义，根据相反数的定义，即可求解． 【详解】解：实数的相反数是， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）下列说法错误的是（   ） A．正数的算术平方根一定比它本身小 B．负数没有平方根 C．的相反数是 D．立方根是本身的数只有，0，1 【答案】A 【分析】此题考查了算术平方根、平方根、相反数、立方根等知识，根据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 正数的算术平方根不一定比它本身小，例如，故选项错误，符合题意； B. 负数没有平方根，故选项正确，不符合题意； C. 的相反数是，故选项正确，不符合题意；     D. 立方根是本身的数只有，0，1，故选项正确，不符合题意． 故选：A 【变式2】（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）的相反数是 ，的倒数是 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了实数的性质，无理数的估算；根据相反数的定义“正负号相反的两个数互为相反数”确定的相反数；两个乘积是1的数互为倒数，据此计算的倒数；首先比较与的大小，然后化简绝对值即可． 【详解】解：的相反数是， ∵， ∴的倒数是， ∵， ∴． 故答案为：，，． 【变式3】（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】根据完全平方公式，得即，结合实数的非负性性质解答即可． 本题考查了完全平方公式的应用，非负性的应用，求代数式的值，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点4：一种运算——实数的运算 【例题8】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨）下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的意义、实数的运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】解：A、，原计算错误，因此选项A符合题意； B、，计算正确，因此选项B不符合题意； C、，计算正确，因此选项C不符合题意； D、，计算正确，因此选项D不符合题意； 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）的值 ． 【答案】5 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、有理数的加减运算，掌握算术平方根的定义、立方根的定义是解决此题的关键．本题先依次计算36的算术平方根、27的立方根、的算术平方根，再将结果加减即可. 【详解】解：原式 ； 故答案为：5 ． 【变式2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算及整式的混合运算， （1）根据绝对值，算术平方根，立方根，有理数的乘方将原式化简，然后进行乘法运算，最后进行加减运算即可； （2）根据同底数的幂的乘法，幂的乘方和积的乘方将原式化简，再合并同类项即可； 解题的关键是掌握相应的运算法则和性质． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据零指数幂、绝对值的性质、乘方的定义计算即可； （）根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方计算即可； 本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，掌握实数和整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解：原式 ， ． 考点5：一个技巧——比较实数大小的技巧 【例题9】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴可得，据此逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴四个选项中，只有C选项结论正确，符合题意， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查实数比较大小．比较的方法是：两个负数，绝对值大的，其值反而小． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）通过估算，你能比较与的大小吗？说说你的理由． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 因为与的分母相同，所以只需比较分子的大小，由，得，即可得出结果． 【详解】解：，理由如下： 因为， 即， 所以， 所以. ∴． 【变式3】（23-24八年级上·全国·单元测试）通过估算，比较下列各组数中两个数的大小． (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数大小比较，熟练掌握利用无理数的估算比较大小的方法是解题的关键． （1）两数平方，然后比较大小即可； （2）对和求立方，然后比较大小即可； （3）两数平方，然后估算无理数即可得解； （4）比较分子的大小即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ， ； （2）解：∵， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：∵， ， ， ． 考点6：两种思想 思想1：数形结合思想 【例题10】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为（    ）    A．0.414 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的应用、实数与数轴、数轴上两点之间的距离，由题意得出，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：面积为2的正方形的顶点在数轴上， ， ， 点在数轴上，且表示的数为， 数轴上的点所表示的数为， 故选：D． 【变式1】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，，数轴上点表示的数为，则的立方根是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查的就是数轴上点所表示的数，求一个数的立方根，解答本题的关键是求出点A在数轴上所表示的数． 首先得到点A表示的数为，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴点A表示的数为 ∴， ∴的立方根是． 故答案为：． 【变式2】（22-23八年级上·江苏无锡·期中）实数在数轴上对应点的位置如图所示，若． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是实数与数轴，求平方根； （1）根据数轴可得，进而化简绝对值，即可求解； （2）根据（1）得出，再求平方根，即可求解． 【详解】（1）解：由所给数轴可知，， 所以，， 则． （2）由（1）知， 所以的平方根是． 【变式3】（23-24八年级上·广东佛山·期末）由5个边长为1的小正方形组成的图形如图所示．通过剪贴，可以将图中的5个小正方形拼成一个大正方形． (1)拼成的大正方形的边长为________； (2)将剪贴示意图画在网格图中． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查了网格的基本作图以及算术平方根的应用． （1）先求出一个小正方的面积，再求出5个正方形的面积，然后根据算术平方根的定义即可求的大正方形的边长； （2）根据大正方形边长截得四个三角形和一个正方形即可拼接为大正方形． 【详解】（1）解：∵小正形的边长为1， ∴小正方形的面积为1， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故答案为：． （2）剪贴示意图如图所示： 剪贴后拼接示意图如图所示： 思想2：分类讨论思想 【例题11】（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值非负性、算术平方根的非负性以及三角形三边关系，由题意得；分类讨论若等腰三角形的三边长为：，若等腰三角形的三边长为：，利用三角形三边关系加以验证即可； 【详解】解：∵，， ∴； 若等腰三角形的三边长为：， ∵，不能构成三角形， ∴此种情况不存在； 若等腰三角形的三边长为：， 则等腰三角形的周长为：, 故选：A 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）和是一个正数的两个平方根，则这个正数的值为（   ） A．4 B．64 C．4或8 D．4或64 【答案】D 【分析】本题考查了平方根．根据平方根的定义得出或，求出，进一步计算即可求出个正数． 【详解】解：∵与是一个正数的平方根， ∴或， 解得：或， ∴或8， ∴这个正数是4或64， 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）定义：如果一个三角形两边的平方和等于第三边平方的2倍，则称这个三角形为奇异三角形．例如等边三角形就是一种奇异三角形．在中，，，，，且，若是奇异三角形，则的值为 ． 【答案】 【分析】由三角形为直角三角形，利用勾股定理列出关系式①，再由新定义两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，列出关系式②，或③，联立①②或①③，即可求出． 【详解】解：∵中，，，，， ∴根据勾股定理得： ①， 又是奇异三角形， ∴②或③， 将①代入②得：， ， 不符合题意舍去， 将①代入③得：， ， ， 把代入①中得： ， ． 故答案为： ． 【点睛】此题考查了勾股定理，以及新定义，弄清题中的新定义，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 【变式3】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知和分别是实数的平方根，求的值． 【答案】或． 【分析】此题考查了平方根．根据题意得到两个平方根相等或两个平方根互为相反数列方程，解方程即可得到的值，再根据平方根的意义求出的值即可． 【详解】解：依题意得：或， 解得：或， 当时， 当时，． 综上可知，的值为或． 一、单选题 1．（2024·甘肃临夏·中考真题） 下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D．0.13133 【答案】A 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数结合立方根的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、是无理数，符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、0.13133是有理数，不符合题意； 故选A． 2．（2024·四川巴中·中考真题）在0，1，，中最小的实数是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据正数负数，负数绝对值大的反而小，即可比较． 【详解】解：∵， ∴最小的实数是， 故选：B． 3．（2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可． 【详解】解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100， ∴一个正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故选：B． 4．（2024·四川资阳·中考真题）若，则整数m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法．首先确定和的范围，然后求出整数m的值的值即可． 【详解】解：∵，即，，即， 又∵， ∴整数m的值为：3， 故选：B． 二、填空题 5．（2024·四川广安·中考真题） ． 【答案】0 【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算算术平方根，再计算减法运算即可. 【详解】解：， 故答案为： 6．（2023·四川甘孜·中考真题）比较大小： 2．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较，对于含有算术平方根的两个实数大小的比较，先比较两个被开方数的大小，则被开方数大的其算术平方根也大；或者先比较这两个数的平方，则平方数大的这个数也大．根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为：． 7．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】> 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 8．（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是 ．（写出一个答案即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算．利用算术平方根的性质求得，，再根据无理数的估算结合，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴正方形的边长，即， ∴正方形的边长可以是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 三、解答题 9．（2024·广东·中考真题）计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 10．（2024·浙江·中考真题）计算： 【答案】7 【分析】此题考查了负整数指数幂，立方根和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算负整数指数幂，立方根和绝对值，然后计算加减． 【详解】 ． 11．（2023·山西·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）分别计算绝对值、乘方、加法及负整数指数幂，再计算有理数的乘法与减法即可； （2）分别利用单项式乘多项式、完全平方公式展开后，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及负整数指数幂、绝对值、多项式的乘法、完全平方公式等知识，掌握运算顺序、多项式的乘法法则是解题的关键 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）在实数 ， 0 ， ， π ， ，（每相邻两个 2 之间依次增一个1） 中，无理数有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及象，等有特定规律的数． 【详解】解：， 无理数有 ， π ，（每相邻两个 2 之间依次增一个1）， 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·期中）的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了立方根概念的运用能力，解题的关键是能准确理解相关知识，并能进行正确计算．根据立方根的定义可得结果． 【详解】解：， 的立方根是， 故选：C． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）估计的值在整数（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】B 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数的大小用夹逼法是解答此题的关键． 根据夹逼法得出的范围，继而得出的范围． 【详解】， ， ， 的值在整数4到5之间． 故选：B． 4．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了实数的分类．无限不循环小数是无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：A. 是有限小数，属于有理数，选项不符合题意； B. 是分数，属于有理数，选项不符合题意； C. 是无理数，选项符合题意； D. 是负整数，属于有理数，选项不符合题意； 故选：C 5．（24-25八年级上·全国·期中）下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的概念，平方根、立方根的化简，根据无理数的定义“无理数是无限不循环小数”及常见的无理数有“含的最简式子；开不尽方的数；特殊结构的数，如（相邻两个2之间1的个数逐渐增加）”，由此即可求解． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是开不尽方的数，是无理数，符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选：B ． 6．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若，则（    ） A．1 B． C．0 D．2022 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质、算术平方根等知识点，根据非负数的性质求出与的值，再代入进行计算即可，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ 故选：A． 7．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行计算和求算术平方根，根据计算即可得解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的值为， 故选：C． 8．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）下列各式中运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法、负整数指数次幂、算术平方根和绝对值，运用同底数幂的乘法、负整数指数次幂、算术平方根和绝对值运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、应为，故本选项错误； B、应为，故本选项错误； C、应为，故本选项错误； D、，正确． 故选：D． 9．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是立方根的定义，二次根式的性质和算术平方根的定义，掌握它们的定义及性质是解决此题的关键．根据立方根的定义、二次根式的性质和算术平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故，C错误； D、，故D正确； 故选：D． 10．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 二、填空题 11．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的计算，实数的绝对值． （1）利用算术平方根的定义计算即可； （2）利用立方根的定义计算即可； （3）利用乘方的性质计算即可； （4）利用实数的绝对值计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：3； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）， 故答案为：4； （4）， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）与比较大小， ． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，当两个带根号的无理数进行比较大小时，首选的方法是比较被开方数．也可采用近似求值的方法来比较大小．也考查了不等式的性质． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，算术平方根，掌握是解题的关键． 由数轴得，则，可化为，再去绝对值即可． 【详解】解：由数轴得， ∴ ∴ ， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·四川成都·期中）的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根，利用立方根的意义求解是解题的关键． 利用立方根的意义，求得的立方根，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴的立方根是 ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】此题考查算术平方根的定义及绝对值的定义，比较简单根据，求出a、b的值，又，说明a、b异号，确定最终a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】∵，， ∴，， ∵， ∴a、b异号， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·全国·期中）的相反数是 ，的倒数是 ，3的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、倒数、平方根的定义．分别根据相反数、倒数、平方根的定义解题即可． 【详解】解：的相反数是； 的倒数是； 3的平方根是． 故答案为：，，． 17．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习） ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值、无理数的大小比较、去括号法则，先确定出，从而确定，，再根据绝对值的代数意义进行化简；解题的关键是确定，理解：绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值是它的相反数；去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同：如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相反． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ， ． 故答案为：；；． 18．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）算术平方根．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：1． 三、解答题 19．（24-25八年级上·全国·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，先计算零指数幂和立方根，再计算乘方和去绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 20．（22-23八年级上·四川眉山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值、平方根及立方根的定义是解题的关键，原式利用平方根和立方根定义及绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【详解】解： ． 21．（24-25八年级上·全国·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）直接开平方，得出，然后再解一元一次方程即可； （2）先将方程两边同除以8，然后再移项合并同类项，最后再开立方即可． 【详解】（1）解：， 开平方得：， 解得：，． （2）解：， 方程两边同除以8得：， 移项，合并同类项得：， 开立方得：． 22．（24-25八年级上·全国·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3， (1)分别求出a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根据立方根和算术平方根求原数，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握相关的定义． （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此列式求出a、b的值即可； （2）根据（1）所求得到的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵的算术平方根是3， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 23．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】6 【分析】本题考查立方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求出、、的值，再将、、的值代入求出结果，再根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解： 的立方根是3，的算术平方根是，是的整数部分， ，， ，， 又， ∴， 的整数部分， 当，，时，， 的算术平方根为6． 24．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的立方根． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键．首先根据平方根和算术平方根的性质得到，，然后代入求解立方根即可． 【详解】解：根据题意可知，的平方根是， 所以， 解得：，     因为的算术平方根是4， 所以，     解得：，     所以， 故的立方根为2． 25．（22-23八年级上·山西忻州·期末）如图，是张大爷的一块小菜地，已知CD是中AB边上的高，，求BD的长．（结果保留根号） 【答案】 【分析】先在Rt△ACD中根据勾股定理求出AD的长，进而可知BC的长，再在Rt△BCD中，根据勾股定理求出BD的长即可. 【详解】∵CD是中AB边上的高， ∴△ACD和△BCD都是直角三角形. 在Rt△ACD中 ∴， ∵, ∴， 在Rt△BCD中， . 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理并能正确的计算是解题的关键. 26．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，已知． (1)说出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较点A所表示的数与的大小：______； (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题为考查勾股定理、实数与数轴，实数大小比较，体现了“数形结合”的思想，解题的关键构造恰当的直角三角形． （1）根据勾股定理即可求得的长度，从而得出的长度，再考虑点A位于原点的左侧，为负数，即可得解； （2）先比较两数的绝对值的平方值大小，然后再比较两数的大小，考虑到绝对值越大的负数，实际值越小，即可得出结果； （3）过表示数3的点作数轴的垂线，取，以为圆心，为半径画弧与数轴相交于点，则点G就是表示的点． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴点A所表示的数为； （2）解：∵，， 又∵， ∴ （3）解：如图，点G表示的数为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$