有理数的乘方（提升练）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 乘方 1．对于式子 −2 3，下列说法错误的是（ ） A．表示 3个 2相乘 B．指数是 3 C．底数是−2 D．幂为−8 2．− 24的底数、指数、结果分别是（ ） A．−2，4，− 16 B．−2，4，16 C．2，4，16 D．2，4，− 16 1.下列各组数中，数值相等的是（ ） A．− 22和 −2 2 B．− 1 2 2 和 − 1 2 2 C．− 2 和 −2 D． −2 2和22 考点 1：乘方的概念 考点 2：乘方的运算 考点 3：符号的判断 考点 4：程序框图 考点 5：含乘方的混合运算 素养提升：探究数字规律 考点 1 乘方的概念 模块导航 考点 2 乘方的运算 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【变式】下列各组数中，两数不相等的是（ ） A． −3 2与− 32 B． −3 2与32 C． −2 3与− 23 D． −2 3与 − 23 2．计算 −2 11+ −2 10的值是（ ） A．−210 B． −2 21 C．0 D．−2 1．计算( − 1)2020的结果是（ ） A．−1 B．1 C．−2020 D．2020 2．有下列各数：①− 12；②− ( − 1)2；③− 13；④− ( − 1)4，其中结果等于−1的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．当�＜0时，下列式子：①�2023 < 0；②�2023 = − ( − �)2023；③�2024 = ( − �)2024；④�2023 = − �2023中，成立的有（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式】计算−1+ −1 2+ −1 3+···+ −1 2021的值，结果正确的是（ ） A．1 B．−1 C．0 D．−1或 0 1.按如图所示的运算程序，输入�的值为 1时，则输出�值为 ． 考点 3 符号的判断 考点 4 程序框图 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【变式】按照如图所示的操作步骤，若输入�的值为−3，则输出的值为 ． 2．定义一种对正整数�的“�运算”：①当�为奇数时，结果为 3� + 5；②当�为偶数时，结果 为 � 2� （其中�是使 � 2� 为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取� = 26，则： 若� = 449，则第 449次“�运算”的结果是 ． 1．计算： 2 × −3 2 − 4 ÷ −4 − 12． 【变式】计算：22 − 1 2 × 8 − −5 ． 2．计算：− 12 − 2 − 1 − 1 3 × 0.5 × 32 − ( − 2)2 【变式】计算：− 42 ÷ −3 3 × 3 2 3 − 1 3 − 3 ． 1．观察下列各式：21 − 20 = 20；22 − 21 = 21；23 − 22 = 22；24 − 23 = 23；⋯； (1)探索式子的规律，试写出第�个等式； 考点 5 含乘方的混合运算 素养提升 含探究数字规律 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 (2)运用上面的规律，计算22020 − 22019 − 22018 −⋅⋅⋅− 2； (3)计算：27 + 28 + 29 + 210 +⋅⋅⋅+ 2100． 2．观察下列算式： 3 + 4 = 7，32 + 42 = 25，33 + 43 =①，34 + 44 =②， 35 + 45 = 1267，36 + 46 = 4825，37 + 47 = 18571 ⋯ (1)①________，②________； (2)求 3 + 32 + 33 +⋅⋅⋅+ 399 + 4 + 42 + 43 +⋅⋅⋅+ 499的个位数字． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 乘方 1.【答案】A 【分析】本题考查有理数幂的定义，根据有理数幂的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、表示 3 个−2相乘，原说法错误，符合题意； B、指数是 3，原说法正确，不符合题意； C、底数是−2，原说法正确，不符合题意； D、幂为−8，原说法正确，不符合题意； 故选 A． 2.【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数幂的概念，有理数的乘方计算，对于式子am a ≠ 0 ，其中 a 叫做底数，m 叫做指数，据此结合有理数乘方计算法则求解即可． 【详解】解：− 24的底数是 2，指数是 4，其结果为−16， 故选：D． 考点 1：乘方的概念 考点 2：乘方的运算 考点 3：符号的判断 考点 4：程序框图 考点 5：含乘方的混合运算 素养提升：探究数字规律 考点 1 乘方的概念 模块导航 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 1.【答案】D 【分析】此题考查了有理数的乘方和绝对值，熟练掌握有理数的乘方法则和绝对值的性质是解题的关键． 根据有理数的乘方法则和绝对值的性质分别求出两式的结果即可． 【详解】解：A、− 22 =− 4, −2 2 = 4，数值不相等，不符合题意； B、− 1 2 2 =− 1 2 , − 1 2 2 = 1 4 ，数值不相等，不符合题意； C、− 2 =− 2, −2 = 2，数值不相等，不符合题意； D、 −2 2 = 4, 22 = 4；数值相等，符合题意； 故选：D． 【变式】 【答案】A 【分析】此题考查的是有理数乘方的运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键．根据有理数乘方的 意义逐一计算并判断即可． 【详解】解：A． −3 2 = 9，− 32 =− 9，所以 −3 2 ≠− 32，故本选项符合题意； B． −3 2 = 9，32 = 9，所以 −3 2 = 32，故本选项不符合题意； C． −2 3 =− 8，− 23 =− 8，所以 −2 3 =− 23，故本选项不符合题意； D． −2 3 = 8， − 23 = 8，所以 −2 3 = − 23 ，故本选项不符合题意． 故选：A． 2.【答案】A 【分析】乘方的运算可以利用乘法的运算来进行，运用乘法的分配律简便计算． 【详解】解：原式= −2 10× −2+1 = −2 10× −1 =−210． 故选：A． 【点睛】本题考查了乘法分配律的逆用．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．本 题运用乘法的分配律计算． 考点 2 乘方的运算 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 1.【答案】B 【分析】根据负数的偶次方结果为正，从而可得答案． 【详解】解：( − 1)2020 = 1， 故选 B 【点睛】本题考查的是负数的乘方运算的符号确定，熟记负数的奇次方结果为负，负数的偶次方结果为正 是解本题的关键． 2.【答案】D 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①− 12 =− 1， ②− ( − 1)2 =− 1， ③− 13 =− 1， ④− ( − 1)4 =− 1， ∴其中结果等于−1的是：①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前 边添加“−”． 3.【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当 a＜0时， a2023是负数，故①正确； − ( − a)2023 = a2023， −a 2023 =− a2023故②正确，④错误； a2024 = ( − a)2024，故③正确； 综上所述，①②③正确． 考点 3 符号的判断 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数， 一个负数的偶次幂是正数． 【变式】 【答案】B 【分析】由运算式中的加数一共 2021个数，其中偶次方有 1010个，奇次方有 1011个，从而可得答案． 【详解】解：−1+ −1 2+ −1 3+···+ −1 2021 =−1+1+ −1 +···+1+ −1 =−1. 故选 B． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，掌握“乘方运算的符号规律的确定”是解本题的关键． 1.【答案】11 【分析】本题考查了程序流程图及代数式求值，根据流程图把 x = 1代入 y = x2 − 5计算，当 y ≥ 0时即可 求解，掌握运算程序的规则和有理数运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当 x = 1 时，y = 12 − 5 =− 4 < 0， 当 x =− 4时，y = −4 2 − 5 = 11 > 0， ∴输出 y值为 11， 故答案为：11． 【变式】 【答案】22 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据程序框图列出代数式，把 x =− 3代入计算即可求出值，熟练 掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得 3x2 − 5 = 3 × ( − 3)2 − 5 = 27 − 5 = 22， 考点 4 程序框图 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 故答案为：22． 2.【答案】8 【分析】本题考查的是整数的奇偶性，能根据所给条件得出 n = 449时六次的运算结果，找出规律是解答 此题的关键．先分别计算出 n = 449时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即 可． 【详解】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数 n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于 n = 449为奇 数应先进行 F①运算， 即 3 × 449 + 5 = 1352（偶数）， 需再进行 F②运算， 即 1352 ÷ 23 = 169（奇数）， 再进行 F①运算，得到 3 × 169 + 5 = 512（偶数）， 再进行 F②运算，即 512 ÷ 29 = 1（奇数）， 再进行 F①运算，得到 3 × 1 + 5 = 8（偶数）， 再进行 F②运算，即 8 ÷ 23 = 1， 再进行 F①运算，得到 3 × 1 + 5 = 8（偶数），…， 即第 1次运算结果为 1352， 第 2次运算结果为 169， 第 3次运算结果为 512， 第 4次运算结果为 1，第 5次运算结果为 8，…， 可以发现第 6次运算结果为 1，第 7次运算结果为 8， 从第 6次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为 8，偶数次为 1，而第 449次是奇数， 这样循环计算一直到第 449次“F运算”，得到的结果为 8． 故本题答案为：8． 1.【答案】7 考点 5 含乘方的混合运算 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解：原式= 2 × 9 + 1 − 12 = 18 + 1 − 12 = 7． 【变式】 【答案】5 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先计算乘方，再计算乘法，最 后计算加减运算即可． 【详解】解：原式= 4 − 4+ 5 = 5． 2.【答案】− 41 6 【分析】此题考查了有理数的混合运算，先计算乘方和括号内的运算，最后进行四则混合运算即可. 【详解】解：− 12 − 2 − 1 − 1 3 × 0.5 × 32 − ( − 2)2 =− 1 − 2 − 1 − 1 6 × 9 − 4 =− 1 − 2 − 5 6 × 5 =− 1 − 7 6 × 5 =− 1 − 35 6 =− 41 6 【变式】 【答案】− 2 3 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，灵活运用运算法则成为解题的关键． 先算乘方和绝对值，然后根据有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：− 42 ÷ −3 3 × 3 2 3 − 1 3 − 3 =− 16 ÷ −27 × 27 8 − − 8 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 = 16 × 1 27 × 27 8 − 8 3 = 2 − 8 3 =− 2 3 ． 1.【答案】(1)2n − 2n−1 = 2n−1 (2)2 (3)2101 − 27 【分析】（1）根据式子的规律，可得2n − 2n−1 = 2n−1； （2）利用（1）的结论递推，得出答案即可； （3）把式子乘 2 − 1 递推得出答案即可； 本题考查了数字类变化规律，得出数字次数的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵21 − 20 = 20；22 − 21 = 21；23 − 22 = 22；24 − 23 = 23；⋯， ∴第 n个等式为2n − 2n−1 = 2n−1； （2）解：22020 − 22019 − 22018 −⋅⋅⋅− 2 = 22019 − 22018 −⋅⋅⋅− 2， = 22018 −⋅⋅⋅− 2， = 2； （3）解：27 + 28 + 29 + 210 +⋅⋅⋅+ 2100 = 2 − 1 27 + 28 + 29 + 210 +⋅⋅⋅+ 2100 ， = 28 + 29 + 210 + 211 +⋅⋅⋅+ 2101 − 27 + 28 + 29 + 210 +⋅⋅⋅+ 2100 ， = 2101 − 27． 2.【答案】(1)① 91；② 337； (2)3． 【分析】（1）根据乘方的定义计算即可求解； 素养提升 含探究数字规律 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 （2）由题意找到个位数字的规律，求出所求算式的个位数字之和，即可求解； 本题考查了有理数的运算，根据算式的结果找到个位数字的规律是解题的关键． 【详解】（1）解：① 33 + 43 = 27 + 64 = 91， 故答案为：91； ② 34 + 44 = 81 + 256 = 337， 故答案为：337； （2）解：∵3 + 4 = 7，32 + 42 = 25，33 + 43 = 91，34 + 44 = 337，35 + 45 = 1267，36 + 46 = 4825，37 + 47 = 18571 ⋯， ∴个位数字按照 7，5，1，7的规律循环， 又∵99 ÷ 4 = 24⋯3， ∴3 + 32 + 33 +⋅⋅⋅+ 399 + 4 + 42 + 43 +⋅⋅⋅+ 499的个位数字之和为： 7 + 5 + 1 + 7 × 24 + 7 + 5 + 1 = 493， ∴3 + 32 + 33 +⋅⋅⋅+ 399 + 4 + 42 + 43 +⋅⋅⋅+ 499为 3．