第3章 指数运算与指数函数单元知识整合-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（北师大版2019）

考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 BSD & 单元知识整合 一、微专题妙总结 内涵阐释 知识融汇·方法总结 微专题1 #()#{→o(){→0 指数式大小比较的常用方法 比较两个数(式)或几个数(式)的大小问题 ·-#(){#{一(1)# 期] 是本节的一个重要题型,主要考查幕函数、指数 函数的图象与性质的灵活运用及差值比较法与 方法二(单调性法) ·暴函数y-x^}在(0,十oo)上单调递增, 商值比较法的应用,常用的方法有单调性法、图 #-()#一()# 象法、中间量搭桥法、作差法、作商法等 料 1.中间量搭桥法 #()#}一(1)## 。例题1(2024,西南大学附中月考)设 a-2,6一0.3,则a与b的大小关系是 3.分类比较法 将()#,2.(一)},()#用 。例题3 解析 由指数函数v-2与-0.3的图 “<”连接起来: 象与性质可知,2+1,0.3>1, 解析先将这四个数分成三类: .2-0.3+. (1)数:.(一){)}。 答案 a. (2)大于1的数:(4){}2^,且(4){< 方法忘结比较两数的大小时,不是直接去 比较这两个数的大小,而是借助第三个数,即 22. 中间量来搭桥传递比较二者的大小,这就是中 (3)大于0且小于1的数:(3){。 间量搭桥法,常用的中间量有0或1,有时可根 据具体情况灵活选择中间量, '.以上四个数的排列顺序为(一){}< 2.作商法 (3#){#一()# 例题2 (2024,兰州一中月考)()与 智霸(-)#}#(3){#(){③} 2 (#1){} 的大小关系是 方法总结对于三个以上的数的大小比较, 解析方法一(作商法) 一般是先对其进行分类,根据实际问题常分成 三类:一类是负数,一类是大于0且小于1的 数,一类是大于1的数,再对这三类数分别进 行比较. 170 第三章> 指数运算与指数品数/ r0,使2(x-a)<1,则有-a<1,即a>-1 微专题 指数运算与指数函数中典型问 答军D 题的求解策略 方法总结解决不等式的“能成立”与“恒成 1.指数型函数图象的识别问题 立”问题,主要有两种思想:一是转化为最值问 例题4 题,常“分离参数”处理;二是转化为函数图象 2.71828...)的图象大致为( ). 问题,利用数形结合思想解题 3.与指数函数有关的综合问题 。例题已知函数/(x)=ar十(其中 a,b为常数,a>0且a去1,b>0且b去1)的图 2 象经过点A(1.6),B(1-1.3). B C 一] 解析 当x0时,因为e一e0,所以此时 (1)求函数/(x)的解析式 2 (2)若a6,函数g(x)-()*-() +2, 12,故排除C. 。 求函数g(x)在-1,2上的值域 答 B 解析(1):函数f(x)=a*十(其中a,b 按 长期 册 方法总结 (1)根据图象“上升”或“下降”确 为常数,a>0且a去1,b>0且b去1)的图象经 定底数a>1或0~a~1. 过点A(1,6),B(-1.3). (2)在y轴右侧,指数函数的图象从下到 上相应的底数由小到大;在v轴左侧,指数函 $f(1)-a+b=6,且f(-1)-11 # 数的图象从下到上相应的底数由大到小 (3)根据“左加右减,上加下减”的原则,确 定图象的平移变换,从而确定指数型函数的图 ..a-2,b-4或a-4,b-2. 象与两坐标轴的交点位置. 故f(x)-2+4. 2.指数型函数图象的应用问题 (2)若a>b,则a=4,b=2,则函数g(x) 。例题5若存在正数x使2(x-a)<1 () -() +2-()-()*+2 成立,则a的取值范围是( ). 令(-(),当x[-1.2]时,[1,2], A.(一.十) B.(-2,十) C.(0,十o) D.(-1,十。) 则g(x)-h(t)→^# +2-(#-)}+. 解析 因为2>0,所 /()--a 则 g(x)-p()-( )-7). 以由2(x-a)<1得x- 2” ,) g(x)max-h(t)m-h(2)-4. 故函数g(x)在[一1,2]上的值域为 作出函数/(x)一x-a,g(x)一2的图象(如 [7. 图).当x>0时,g(x)-21,所以如果存在 171 考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 BSD & 方法总结 解决与指数函数有关的综合问 题的方法: 设x,x。R,x>x,则f(x)-f(x。)= (1)性质法 利用指数函数的性质可以解决有关定义 域,值域,单调性,不等式,方程等问题 2(a-a) _ (a+1)(a+1) (2)隐含性质法 在利用指数函数的性质解决问题时,要善 当al时,y=a在R上单调递增,由 于挖掘函数所隐含的性质,以利于解题 r x,得a之a,所以a-a 0 又+1>0,a:+1>0. (3)图象法 所以f(x)-f(x)<0,即f(x) 期] 利用指数函数来解决有关综合问题时,应 充分利用其图象,利用图象的形象、直观,可降 f(x),即此时f(x)在R上单调递增; 同理,当0<a 1时,f(x)>f(x),即此 低思维难度,简化解题过程。 时f(x)在R上单调递减. (4)构造法 综上,当a1时,函数f(x)在R上单调 利用指数函数解决有关综合问题时,关键 递增, 在于构造函数,这就需要观察分析题目的结构 当0 a 1时,函数f(x)在R上单调递减 田料 册 特征,以便构造相关函数。 (3)令a-1,则10. 对函数(c)--1 1(0且 微专题 3 a;1)的性质的研究 在指数函数中,函数/(c)--1(a0 易知y=1-2 1 在区间(0,十o)上单调 a十1 且a去1)有着极其特殊的地位,我们经常会遇 到形式各异的与指数函数有关的问题,都与这 (-1,1). 个函数有一定的联系. 1.性质研究 已知函数/(c)-1(a>0. 式的解析式研究上述函数的奇偶性; 。例题7 1 a子1). a十1 (1)判断函数/(x)的奇偶性 研究上述函数的单调性; (2)讨论/(x)的单调性 (3)由于定义域为R,仅考虑函数单调性不 (3)求/(x)的值域 能求出值域,因此通过换元,从复合函数的角 解析(1)易知函数f(x)的定义域为R, 度求解,当然同学们也可尝试结合内层与外层 函数的图象性质求解, 2.性质应用 D例题8 一一f(x),所以f(x)是奇函数 (2023,赣州一中期中考试)函数 (2)因为函数/(x)-+1-2-1- 2+2 f(.x)- 2-2的大致图象为( ). a+l 172 第三章> 指数运算与指数晶数 #1# 移伸缩变换得到,且g(x)的图象关于(n,n)中 心对称.对函数g(x)的解析式变形,可得g(x) {^r_十1 。 a{^-{)+1 C ar-_-” 解析要使函数式有意义,则2一2:0. #(g740).# -(q十n)- 即x0,故其定义域为x|x:0). a-)+1 由于所有选项中的图象都具有对称性,因 根据上式结构特点,可利用待定系数法求 此可考虑函数f(x)的奇偶性: 一些与指数函数有关的复合函数的对称中心, 进一步研究其函数的图象和性质 。例题9 函数/(x)-(a>o,且a a十a 所以函数f(x)为奇函数, 所以函数f(文)的图象关于原点对称. 关D图象的对称中心是 一. 再考虑单调性:/(x)一 21 a十-+1 a十1 故符合条件的函数图象只有A. 十1 答案A 对函数f(x)化简可得f(x)一 方法总结 其图象关于点(0,0)对称,故函数y= ##的图象关于点(1},0)对称,从而f(x)一 十1 a-十1 {:容关与是)对。 >0,a关1)的形式大致一样了,因此能快速得 出f(x)是奇函数,又当a1时,函数f(x) 2 a-1 方法二/(x)- 在其定义域上单调递增,因此f(x)一 ~是} 十1 a+v-+1' 4十1 在其定义域上单调递减,碰到此类问题 设函数f(x)=· 4-1 a十1 (q+n)-t-(q-n) 向着/()--1 十1 的方向化简即可利用已研究 +1 过的性质快速解决问题 {_# 3.性质拓展 [十n-1, 对比系数得 解得 前面已经研究过函数/(x)-g-1(a>o, q-n-0. +1 a关1)的性质和值域,下面再研究f(x)变换后 ##(下同方法一) 的性质. 所以函数f(x)图象的对称中心是(,). 若a>0,a去1,易知函数g(x)=q 答(). 17 考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 BSD & 二、高频考点整合 高频考点 真题剖析·能力提升 高频考点1 比较大小问题 向下,对称轴为x一1, ##一1(1一})0# 真题1(2023,天津卷)若a-1.01*5. b-1.01*,c-0.6,则a,,c的大小关系为 ). (V6+3)-4-9+6②-16-6②-70. ( ###11### A.c>a>b B.c>b>a C.a>bc D.b>a>c 期] 由二次画数性质知(#{#)< 8(^}), 分析根据对应幕、指数函数的单调性判断 大小关系即可. 解析由y-1.01*在R上单调递增,则 a=1.01b-1.01,由=在[0,+) 而(6+/②)-4-8+4③-16-4 3- 材 上单调递增,则a-1.01c-0.6,所以 bac.故选D. 答案D ##).# 学科素养研析 综上,#(^})<#()<#^})# 知识要点 指数函数的图象与性质 核心素养 直观想象、逻辑推理,数学运算 又y一e为增函数,故acb,即b>c>a 考查利用指数函数的图象与性质解决问 命题意图 答案A 题的能力 考查级别 水平一 学科素养研析 指数函数的图象与性质、复合函数的单 知识要点 与指数函数相关的复合函数 调性 高频考点 2 核心素养 的比较大小问题 数学抽象、逻辑推理、数学运算 。真题2 命题意图 考查综合运用指数型复合函数性质的能力 (2023,全国甲卷)已知函数 考查级别 水平二 #(x)--(-v},记a-#(^),-/(3), c一 高频考点 3 指数函数的单调性及其应用 ,则 ). 问题 A.bc>a B.b>a>c 。真题3 (2023,新高考全国I卷)设函 C.c>b>a D.c>a>b 数f(x)-2-*在区间(0,1)上单调递减,则a 分析利用作差法比较自变量的大小,再根 的取值范围是( ). A.(-,-2] 据指数函数的单调性及二次函数的性质判断 B.[-2.0) 即可。 C.(0,2] D.[2,十) 令g(x)=-(x-1)②,则g(x)开口 令t=x(x一a),要使得f(x)= 174 第三章> 指数运算与指数品数/ 2x(-*在区间(0,1)上单调递减,需要满足1 分析 根据偶函数的定义运算求解 解析因为f(x)-xe -1 为偶函数, 所以a的取值范围是[2,十c),故选D 则f(c)-f(-x)-re(-x)e -1 er-1 学科素养研析 c[e-ea-D 1-0. {-1 知识要点 指数函数与二次函数的复合函数的性质 又因为x不恒为0,可得e-e(a-1)r-0. 核心素养 数学抽象、逻辑推理、数学运算 即e-e(u-1), 命题意图 考查复合函数单调性的运用 考查级别 水平二 则x-(a-1)x,即1-a-1,解得a-2 答D &11 指数函数的奇偶性及其应用 高频考点 文 学科素养研析 问题 知识要点 指数型函数奇偶性的判断 D真题4 (2023,全国乙卷)已知f(x)= 核心素养 数学抽象、逻辑推理、数学运算 .xer ). 命题意图 长 畔 是偶函数,则a一( *-1 考查复合函数奇偶性的应用 考查级别 A.-2 C.1 D.2 B.-1 水平二 三、易错考点归纳 纠错笔记 答卷统计·误区诊斩 忽略n的范围导致式子a”(a 求与指数函数有关的复合函数的 易错点 易错点 2 R化简出错 值域时忽略指数函数自身的值域 。典例1(失分率:20%)计算: 。典例2 (失分率;20%)函数y一2的 (1+②)+(1-②) 定义域为 __,值域为 错解2. 错解(xx1);(yly1》. 错因对于根式a”的化简一定要注意” 因错误答案中值域不正确,其错误原因 是正奇数还是正偶数,因为a”一a(aR)成 是忽略了y-2的值域为(0,+o),不可能出 立的条件是”为正奇数,如果”为正偶数,那 现y-20的情况. 正解 么Va“一a,而出现错解“2”的原因是没有注 易知函数的定义域为xx1. 意(1-②)0,而1-2~0,从而不能得出 -170,所以y1. (1-2)-1-v2. 又指数函数y-2的值域为(0,十). 正解 (1+②)+(1-②)-(1+2) 所以所求函数的值域为{v v0且 +1-②=1+②+②-1-2②. y1. 175