1 生活中的变量关系-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（北师大版2019）

第二章 函数 §1生活中的变量关系 高事要求】学业标准·考情分析 一·考点分布 一学科素养· 一学法导引 1,能利用初中对函数的认识，了解依赖关系与 1,通过实例，进一步体会函 函数关系的联系与区别，并会判断变量之间 数是描述变量之间依赖关系的重 的函数关系 数学抽象 要数学模型。 数学建模 2.在观察事物的变量间关系 的过程中，培养发现问题、提出问 2.初步了解分段函数，并能进行简单应用. 题的能力，发展数学应用意识 考点分类考点设析·典例制析 考点1 常量与变量 ·核心总结： 布难点突娘… 1.常量 常量，变量是相对于某一 在某个变化过程中，始终保持不变的量叫作常量，常量有 个过程而言的，不是绝对的而 时也称为“常数”，是反映事物相对静止状态的量。 是相对的，当过程发生变化 2.变量 时，常量可能会变为变量，而 在某个变化过程中，可以取不同数值的量叫作变量，变量 变量也有可能变为常量。例 如，电彩院统计某电影的票房 有时也称为“未知数”“元”“变数”等，是反映事物运动变化状态 收入·对某一个场次而言，票 的量.例如，在电影院统计某电影票房收入的过程中，对某一个 价是常量：对多个场次而言， 场次而言，售出的票数和收入都是变量： 票价是变量 ⊙考题面(2024，衡水中学单元测试)在圆的周长公式C= 2πR中，常量和变量分别是(). 章视野拓展， 数学的研究对象从常量 A.2是常量，C,π，R是变量 B.2π是常量，C,R是变量 到变量的过程表明人们对数 C.C,2是常量，R是变量 D.2是常量，C,R是变量 量关系的研究已经从静止、孤 解析在圆的周长公式C=2πR中，C与R是改变的，2π是不 立的研究方向转变到运动、联 变的，所以变量是C,R,常量是2π 系的研究方向，这种数学思维 答案B 方式的改变加速了变量数学 91 考点同步解读〉高中效学必修第一滑SD② ⊙变式1(2024，湖南师大附中月考)一辆汽车由南京驶 的研究，也加快了变量数学在 往相距300千米的上海，它的平均速度是100千米/时，则汽车距 各个领域中的应用 上海的路程s与行驶时间t的关系是s=300一100，在这里，常量 是 ,变量是 考点2 两个变量之间的关系 卡A ·核心总结 章难点突很 1.依赖关系 1.对依赖关系的理解注 般地，如果在某个变化过程中有两个变量，其中一个变 意以下两点： 量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么 (1)研究对象是同一个变 就称这两个变量具有依赖关系例如，我们能感受到每天温度 化过程中的两个变量 的变化，温度的变化与时间有关，因此温度与时间这两个变量 (2)特点：一个变量会随 另一个变量的变化而变化. 第三章 具有依赖关系，再如，圆的周长与圆的半径这两个变量之间也 2.依赖关系与函数关系 具有依赖关系 的联系与区别 2.函数关系 (1)联系：①都是针对两 如果在一个变化过程中，有两个变量x和y,对于变量x 个变量而言的。 的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是 ②一个变量的变化会引 第五鱼 x的函数，其中x是自变量，y是因变量.这时变量x与y就建 起另一个变量的变化 (2)区别：依赖关系不一 立起了函数关系， 第六章 定是函数关系，函数关系一定 在现实生活中，凡是要确定两个变量具有函数关系，就要 是依赖关系。 判断“对于变量x的每一个值，变量y是否有唯一确定的值和 第 它对应”，即抓住函数特征的关键词“每一个”“唯一确定”“对应” ②方法梳理 1.判断两个变量间是否 ⊙考题2(2024，东北师大附中周测)下列变量间的关系中 存在依赖关系，只需分析当其 是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ 中一个变量变化时，另一个支 (1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计 量是否也发生变化即可，如果 放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计的示数，冷却时间与温度 发生变化，那么它们存在依赖 关系：如果不发生变化，那么 计示数的关系。 它们不存在依赖关系。 (2)商品销售过程中，商品的销售额与广告费之间的关系 2.判断两个存在依赖关 (3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系。 系的变量是否具有函数关系 (4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系， 时，可分以下两个步骤： 解析(1)冷却时间与温度计示数存在着依赖关系，由函数的 (1)确定因变量和自变量， (2)判断对于自变量的每 定义可知二者之间存在函数关系，且冷却时间是自变量，温度计 一个确定的值，因变量是否存 示数是因变量 在唯一确定的值与之对应。若 (2)商品的销售颜与广告费这两个变量在现实生活中存在着 存在，则是函数关系：否则，不 依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如商品的质 是函数关系 92 第二章)函数儿 量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是确定 ●规律总结： 性关系，即不是函数关系】 对函数关系的理解应注 (3)家庭的食品支出与电视机价格不存在依赖关系，更不具 意以下三点： 有函数关系。 1.两个变量x,y具有函 (4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存 数关系的前提是它们要具有 依赖关系，即变量y随变量x 在着依赖关系，且对于每一个时间的值，路程有唯一确定的值与 的变化而变化. 之对应，因此它们之间存在函数关系，且时间是自变量，路程是因 2.两个变量之间的函数 变量 关系是两个变量之间的一种 综上可知，(1)(4)中的两个变量间存在着依赖关系，且是函 确定性关系。在这种关系中， 数关系； 只要自变量x的值确定了，因 (2)中的两个变量间存在着依赖关系，但不是函数关系： 变量y的值就被唯一确定了， (3)中的两个变量间不存在依赖关系，也不具有函数关系 两个变量之间的函数关系不 ⊙变式2①(2024，宝鸡中学月考)将如图所示的葫芦放入 受其他因素影响。 3.研究函数关系时，通常 水中，直到全部没入水中 要指明自变量和因变量，因为 (1)葫芦所受的浮力与葫芦没入水中的深度是否具备函数关系？ 二者交换位置后可能会成为 (2)水面与葫芦相交处的圆的半径与葫芦没人水中的深度是 另一个函数关系，也可能不存 否具备函数关系？ 在函数关系 考点3 变量间关系的表示及应用 第 ·核心总结 难点突破… 1.表达两变量关系的常用方法是图象法和列表法 两个变量之间关系的表示方法 2.在解题过程中要尽可能地利用题目所提供的数据，充分 1图象法：它是一种常用 挖掘图象以及数据、表格中包含的信息，从而将问题解决 的表示两个变量关系的形式， 在解此类题时要能从图中找到 ⊙考题3(2024，启东中学单元测试)声音传播的速度简称 两个变量，并能判断它们之间 音速，实验测得在空气中音速与气温的一些数据如下表： 的依赖关系是如何变化的。 气温x/℃ 0 5 10 15 20 2.列表法：两变量之间的 音速y/(米/秒) 331 关系，体现在表格中就是要求 334 337 340 343 我们能从表格中找到因变量 (1)根据表内数据作图，由图可以看出变量 随 和自变量，并能判定因变量和 的变化而变化 自变量之间的对应关系，从而 (2)用x表示y的解析式为 说明因变量如何随自变量的 (3)气温为22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响 变化而变化 那么此人与燃放烟花的所在地相距约 米 3.解析法：用数学表达式 解(1)如图，此图反映的是音速随气温的变化而变化. 表示两个变量之间的对应关系。 93 夏考点同步解读>高中效学必修第一滑SD么 (2)由表中数据可知气温每升高5℃，音速加快3米/秒，所 ②方法梳理… 以音速y是气温x的一次画数，设画教关系式为)=十6 1.结合图象分析两个变 量之间的关系时，首先要清楚 因为函数图象过点(0,331)，所以 守准y(来秒) 344 横轴、纵轴的含义，明确单位： 所求函数关系式为y=昌十31 3 342 340 其次要注意观察、分析图象中 338 (3)由(2)可知气温为22℃时， 336 蓝含的数据信息，特别注意图 334 332 象中的特殊点，如图象与横 。×22+331,故此人与燃放烟花的 y= 330 轴、纵轴的交点，图象的最高 0510152025气温x℃ 所在地相距约为5× ×22+331 点、最低点等 国 5 2.由图象判断两个变量 1721(米). 是否具有品数关系时，首先要 图1)音速：气温.(2y=x+31. (3)1721. 区分好自变量和因变量：其次 要看对于自变量的每一个值， ⊙变式3(2024，瑞昌一中单元测试)小明某天上午9时 第三章 骑自行车从家出发，15时回到家，他用平面直角坐标系描绘了离 因变量是否都有唯一确定的 家的距离与时间的变化情况（如图） 值与之对应. 四 (1)图象表示了哪两个变量之间的函数关系？哪个是自变 3.利用表格分析两个变 量？哪个是因变量？ 量之间的关系时，首先要明确 第五鱼 (2)在10时和13时，小明离家分别有多远？ 自变量和因变量；其次要厘清 (3)小明在什么时间段离家距离最远？ 表格中给出的两个变量的各 (4)小明离家的时间是离家距离的函数吗？ 组数据间的对应关系，在此基 第六章 4距离千米 础上判断它们是否县有依赖 30 关系，是否具有函数关系。必 第七章 25 要时，可以将表格中的各组数 据转化为图象，结合图象分析 变量的特点及关系 910112131415时间时 考点4 分段函数 ·核心总结 海难点突破 在自变量的不同取值范围内，有不同的对应关系，需要用 对分段函数的理解应注 不同的解析式来表示的函数叫作分段函数， 意以下四点： 1.分段函数是一个函数， ⊙考题4(2024，湖南十二校联考)在实际生活中，上海至港 而不是几个函数，它是有多个 澳台地区信函部分资费如下表： 对应关系的一个函数 94 第二章>函数 质量级别 资费/元 2.分段函数在书写时要 用大括号把各段对应关系合 20克及20克以下 1.50 并写成一个函数的形式，并且 20克以上至50克 2.80 必须指明各段对应关系中自 50克以上至100克 4.00 变量的取值范围。 100克以上至250克 8.50 3.分段函数的图象耍根 250克以上至500克 16.70 据每段的对应关系分别作出 若设信函的质量为x(单位：克)，应支付的资费为y(单位： 各段上的图象，再将它们组合 元)，试问，y是否为x的函数？如果是，写出这个函数的解析式， 在一起 并判断这个函数是否为分段函数，并作出其图象 4.处理分段函数的问题 解析因为对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值 时，首先要确定自变量的取值 1.50,0x≤20. 属于哪个区间段，其次再选取 2.80,20x≤50， 相应的对应关系解决相应 问题. 和它对应，所以y是x的函数，解析式为y 4.00,502100, 8.50,100<x≤250. 16.70,250x≤500， 四 它是一个分段函数.函数的图象如图 4y元 ②方法梳理… 16.70 求分段函数的解析式 8.50 以及画图象的方法 400 求分段函数的解析式以 02050100 250 500x克 及画图象，一般应用“先分后 ⊙变式4某地燃气公司规定，居民每个月使用的燃气费 合”的解题策略，即根据自支 由基本月租费、保险费和超额费组成.每个月的保险费为3元，当 量的不同取值范固写出相应 每个月使用的燃气量不超过am3时，只缴纳基本月租费c元：如 的关系式或画出相应的图象， 果超过这个使用量，超出的部分按b元/m计费. 然后合并求得解析式或得到 图象 月份 燃气使用量/m 燃气费/元 7 4 8 25 14 9 35 19 (1)请写出每个月的燃气费y(单位：元)关于该月使用的燃气 量x(单位：m)的函数解析式. (2)如果某个居民7一9月使用燃气与收费情况如上表，求出 a,b,c,并画出函数图象（其中仅7月份燃气使用量未超过am) 95 考点同步解读〉高中效学必修第一册BSD色 对标演练分级洲评·限时待训 >基础通关测评 限时15分钟+ 行驶时间： 一、选择题 ③家庭收入越多，其消费支出也有增长的趋势： 1.考点了女儿在异地给老家的爸妈打电话，电 ④等边三角形的面积和它的边长。 话费随着时间的变化而变化，在这个过程中， 6.考点2(2024，大同一中月考)从市场中了解 因变量是( 到，饰用K金的含金量如下表。 A.时间 B.电话费 K数 含金量/% C.女儿 D.以上均不对 24K 99 2.考点2下列两个变量之间不存在依赖关系的 22K 91.7 第 是( 21K 87.5 A.一个人的身高与智力 18K 75 第三章 B.商品房的面积与总的价格 14K 58.5 C.人体温度的高低与穿衣服的多少 12K 50 D.树木的高度与周边土壤 四 10K 41.66 3.考点2下列关系是函数关系的是( ) 9K 37.5 第五鱼 A.三角形的面积S与周长C 8K 33.34 B.矩形的长a和宽b 6K 25 C.梯形的上底长a和下底长b 第六章 饰用K金的K数与含金量之间是 D.圆的周长C和面积S 关系，K数越大含金量 4.考点④国内快递1kg以内的包裹的邮资标准 第七章 如下表 >高考通关测评 限时30分钟 一、选择题 运送距离 0x≤ 500<x≤ 1000x x/km 500 1000 1500 1烤点3某同学家门前有一条公路直通某景 邮资y/元 5.00 6.00 7.00 点，星期天，他骑自行车匀速前往景点旅游， 如果某人在西安要寄0.8kg的包裹到距西 他先骑了akm,觉得有点累，就休息了一段 安1200km的某地，那么他应付的邮资是 时间，想想路途遥远，就沿原路返回骑了 (). bkm(b<a),后来又调转车头继续前进，则 A.5.00元 B.6.00元 整个过程中该同学离起点的距离s与时间1 C.7.00元 D.8.00元 的关系表示正确的为( 二、填空题 5.考点2下列各组中两个变量之间是函数关系 的是 (填序号). ①圆的面积和它的半径； 2.考点3(2024，长沙一中月考)一水池有2个 ②在速度不变的情况下，汽车行驶的路程与 进水口、1个出水口，进、出水速度如图甲、乙 96 第二章〉函数 所示.某天0时到6时，该水池的蓄水量如图 H PH 丙所示（至少打开一个水口） ↑进水资 ↑出水资 A B 5.考点2（多选）已知变量x,y满足y=x,则 时向/时 时阿/树 甲 下列说法正确的是( 蓄水量 A.x,y之间有依赖关系 B.x,y之间有函数关系 C.y是x的函数 0123456时间时 D.x是y的函数 两 6.考点3(2024，济南二中月考)（多选）如图为 给出以下3个结论： 某市某一天的温度随时间变化情况的图象，由 ①0时到3时只进水不出水： 图象可知，下列说法中正确的是( ②3时到4时不进水只出水； ↑温度/℃ ③4时到6时不进水不出水： 3 则正确结论的个数是( 34 30 A.3 B.2 C.1 D.0 26 3.考点3某同学骑自行车出行的图象如图，从 22 图中得到的正确信息是( 03691215182124时间时 ↑路程km A.这天15时的温度最高 B.这天3时的温度最低 C.这天的最高温度与最低温度相差13℃ D.这天21时的温度是30℃ 2 二、填空题 O102030405060时间mim 7考点④国家规定个人稿费的纳税方法是不超 A.整个出行过程中的平均速度为0km/h 7 过800元的不纳税，超过800元而不超过 4000元的按超过800元的14%纳税，超过 B.前20min的速度比后30min的速度慢 4000元的按全部稿费的11.2%纳税.若某 C.前20min的速度比后30min的速度快 人出版了一本书，共纳税420元，则这个人的 D.从起点到达终点，该同学共用了50min 稿费为 4.考点3我们知道，溶液的酸碱度由pH确定， 8考点3下列四个函数图象分别与其后所列的 当pH>7时，溶液呈碱性：当pH<7时，溶 一个现实情境大致相匹配. 液呈酸性.若将给定的盐酸溶液加水稀释，则 在下列图象中，能反映盐酸溶液的pH与所 14 加水的体积V的变化关系的是(). 97 夏考点同步解读〉商中效学必修第一滑SD台 情境A:一份30分钟前从冰箱里取出来，然 10.考点④某市“招手即停”公共汽车的票价按 后被放在微波炉里加热，最后放到餐桌上的 下列规则制定： 食物的温度变化（将0时刻确定为食物从冰 (1)5千米以内（含5千米），票价2元. 箱里被取出来的那一刻)， (2)5千米以上，每增加5千米，票价增加 情境B:一个1970年生产的留声机（它被一 1元（不足5千米的按5千米计算）. 个爱好者收藏，并且保存得很好)，从它刚开 如果某条线路的总里程为20千米，请 始的售价到现在的价格， 根据题意，写出票价与里程之间的函数 情境C:从刚开始放水准备洗澡，到洗完后把 解析式，并画出函数的图象 水排掉这段时间浴缸里水的高度 情境D:根据乘客人数，每辆公交车一趟营运 的利润。 则情境A,B,C,D分别对应的图象是 第三章 (填序号)， 三、解答题 >实验班选做题限时5分钟 第四章 9.考点3口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼 1.(2024,安师大附中期中考试)对于函数 口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污 f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动 第五鱼 染.为了研究口香糖的黏附力与温度的关系， 点”，若f(f(x))=x,则称x为f(x)的“稳定 一位同学通过实验测定了不同温度下除去糖 点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集 第六章 分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如 合分别记为A和B,即A={xf(x)=x},B= 表所示的一组数据 {xf(f(x))=x.如果f(x)=x2一2，那么： 第 次序 2 (1)函数f(x)=x2一2的“不动点”的集合为 温度/℃ 15 25 30 3537 40 45 50 黏附力/N2.03.13.33.64.64.02.51.4 (2)集合A与集合B的关系是 (1)请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F 2.动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点 随温度！变化的图象， A出发，顺次经过点B,C,D再回到点A,设 (2)根据上述数据以及得到的图象，你能得到 x表示点P移动的路程，f(x)表示线段PA 怎样的实验结论？ 的长，g(x)表示△ABP的面积，求f(x)和 g(x),并作出g(x)的简图 198考点同步解读)高中载学必修第-一SD色 范围是一致的.因为x+2x十m>0对于任意的x∈R 第二章函数 恒成立，所以相应方程根的判别式△=4一4m<0,所 §1生活中的变量关系 以m>1. 【变式训练】 7.(1)设大矩形的长为x,宽为y [变式1-1]300,100：s,k.提示：在这一变化过程中， 依题意有2(x+y)=160,即x十y=80, 两地距离和汽车平均速度没有发生变化，变化的是行驶 则S=x+2=160. 时间及汽车距离上海的路程 4 [变式2](1)具备函数关系.只是在葫芦完全没人水 当且仅当x=y=40时，底面面积最大. 中以前，葫芦所受的浮力随葫芦没人水中的深度的变大 (2)依题意有S=y-96000=240. 而变大.而到葫芦完全没人水中以后，葫芦所受的浮力 40 就是一个常量了 框架用料最少等价于底面用料为2x十3y最小即可， (2)若把水面与葫芦相交处的圆的半径作为因变量，葫 2x+3y≥2√/6.xy=240,当且仅当2x=3y,即y=40. 芦设人水中的深度作为自变量，则它们之间具备函数关 x=60时取等号， 系.而将以上两者互换，则不具备函数关系，因为在相同 故当长为60cm,宽为40cm时，框架用料最少， 的半径下，葫芦处于水中的深度可能不同. 8.(1)由题意知，x2十a.x十3一a≥0对任意x∈R恒成立， [变式31](1)图象表示了时间与离家的距离两个变 量之间的关系，时间是自变量，离家的距离是因变量 则△=a-4(3-a)≤0，解得-6≤a≤2， (2)在10时和13时，小明离家分别为10千米和30千米. 所以实数a的取值范围是{a一6≤a2, (3)小明在12时至13时这一时间段离家距离最远. (2)由题意知，当r<1时，x2+a.x+3一a≤0有解， (4)不是，因为对于某一个确定的离家距离，与之对应的 时间的值不是唯一的.例如，离家距离为30千米时，离 则 家的时间是12时至13时这一段，不唯一 a2-4(3-a)≥01+a+3-a<0, [变式+1](1)当0≤r≤a时，y=3+c: 解得a>2,即实数a的取值范周是{aa≥2). 当x>a时，y=3十c十(x-a)h=xb+3+c-ab. 【实验班选做题】 所以每个月的燃气费y(单位：元)关于该月使用的燃气 1.A提示：令b十3c=x,8c+4a=y,3a十2b=x, (3+c,0≤x≤a, 量，x(单位：m)的函数解析式为y= d+3+c-ab,xa. (2)因为仅7月份的燃气使用量未超过am,所以3+ 则6=是+ c=4,解得c=1. 因为仅7月份的燃气使用量未超过am,所以8,9月份 的燃气使用量超过了am. 9c 所以，十a十a十a2 1256+3+1-ab=14, 16=0.5 所以 解得 356+3+1-ab=19, a=5. =8+(+)+(器+)+（器+） 所以a=5,b=0.5,c=1, 14,0x5, ≥+2√层云+2√晨·+2√品 所以y 函数图象如图。 l0.5x+1.5.x>5. 4以元 当且仅当x:y:=1￥2：3，即a:b:c=10:21:1 时取“=” 18 儿参考答秦与提示>引 【基础通关测评】 8.①③④②.提示：分析情境A可知，其对应的函数图 1.B2.A3.D 象应满足函数值的初始值为负，然后不斯增大，后又 4.C提示：根据题意知x=1200, 稍微减小，故题图①符合要求： :1000<1200≤1500，∴.他应付的邮资为7.00元. 分析情境B可知，其对应的函数图象应满足函数值的 5.①②④.提示：①圆的面积S与它的半径r之间有 初始值为正，随后逐渐减小但一直为正，然后不断增 函数关系S=π：②在速度不变的情况下，汽车行驶 大，故题图③符合要求： 的路程s与行驶时间：之间是正比例关系，是函数关 分析情境C可知，其对应的函数图象应满足函数值的 系：③家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但 初始值为0，随后开始增大，达到最大值并持续一段后 不一定是函数关系：④等边三角形的面积S与它的边 开始减小到0，故题图④①符合要求： 长0之间有雨数关系S-。2.综上可知，①②①中的 分析情境D可知，其对应的函数图象应满足函数值的 初始值为负，随后不断增大，故题图②符合要求。 两个变量之间是函数关系。 9.(1)口香糖黏附力F随温度1变化的图象如图. 6.函数：越高。提示：通过题表可得出，K金的K数与 ↑FN 其含金量之间是函数关系，且K数越大含金量越高 5.0 【高考通关测评】 10 1C提示：“休息了一段时间”对应图象为水平线段，排 3.0 除A:“沿原路返回骑了bkm(<a)”对应图象s随1 2.0h 的增加而下降，排除B,D:“调转车头继续前进”对应 1.0i ■■■■■■■■■■ 图象继续上升，C正确： 01020304050t/元 2.C提示：由甲，乙两图可以看出，1个进水口1小时的 (2)实验结论（答案不唯一）： 进水量为1,1个出水口1小时的出水量为2.在丙图 ①随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小： 中，0时到3时的蓄水量从0变为6，应只打开2个进 ②当温度在37℃时，口香糖的黏附力最大 水口：3时到4时的蓄水量减少了1，应打开1个进水 10.设票价为y元，里程为x千米 口和1个出水口：4时到6时的蓄水量不变，可能不进 由题意可知，自变量x的取值范围是(0,20]. 水也不出水，也可能同时打开2个进水口和1个出水 由“招手即停”公共汽车 卡元 口，综上可知，正确的结论只有①. 票价的制定规则，可得函 3C提示：对于A,平均速度为子 数解析式如下： =7(km/h),故A不 2,0r5, 正确.对于B,前20min的速度为 5 =15(km/h),后 3,5<r≤10， y= 4.10<x≤15 05101520千米 2 30min的速度为 =4(km/h),15>4,故B不正确， 15,15<r20. 2 根据这个函数解析式可画出函数图象，如图。 C正确.D显然不正确， 【实验班选做题】 4.A提示：由题意知，pH随V的增大，先快后慢地增 1.(1){2,一1.(2)AB.提示：(1)设函数f(x)= 大，但不会超过7，比较四个选项可知A正确 x2一2的不动点为x。,由题意可得号一2=x0,即话一 5.ABC提示：当y取一个正值时，有两个x的值与它 x%一2=0，即(xo一2)（十1）=0，解得x=2或x0= 对应，故D错误。 -1.故A={2,-1 6.ABD提示：这天的最高温度与最低温度相差36一 (2)fx)=x-2,ffx))=(x2-2)2-2=x 22=14(℃)，故C错误. -4x2+2.由f(f(x)=x,可得x-4x2+2=x,整理 7.3800元.提示：因为(4000一800)×14%=448（元）， 得x一4x2一x十2=0，化简得(x一2)(x十1)(x2十x 所以稿费应小于4000元.设稿费为x元，由题意可得 1D=0,解得x=2或x=-1或x=1±5 ,.B= (x一800)×14%=420，解得x=3800. 2 19 考点同步解读)高中数学必修第-一D色 2,-1,15-1+5 整除的数在B中没有对应的值，所以不能确定y是x的 2 2 .结合(1)中A={2,-1 函数.②在对应关系∫下，A中的数在B中有两个数与 可知，AB. 之对应，所以不能确定y是x的函数.③在对应关系f 2.如图1，当点P在AB上运动时，PA=x:当点P在BC 下，A中的数（除去5与一5外）在B中有两个数或没有 上运动时，由Rt△ABP可得PA=√+(x-1)下：当 数与之对应，所以不能确定y是x的函数.⑤A不是数 点P在CD上运动时，由Rt△ADP易得PA= 集，所以不能确定y是x的函数.④⑥⑤显然满足函数的 √I十(3-x)了：当点P在DA上运动时，PA=4一x. 特征，故能确定y是x的函数. x,0x≤1， [变式1-2]AB提示：对于A,y=1+1与y=x十1虽 √T-2x+2,1<x≤2， 然表示自变量的字母不同，但定义域都为R,对应关系相 故f代x)的表达式为fx) √/F-6.+10,2<x3, 同，是同一个函数，A正确：对于B,y=(x+T)=x十 1的定义域为R,与y=x十1的定义域相同，对应关系相 4-r,3<4. 同，是同一个函数，B正确：对于Cy=(（上）十1的定 义域为{xx≠0，与y=x十1的定义域不同，不是同一 个函数，C错误：对于D,y=?+1=|x|+1与y= x十1的对应关系不同，不是同一个函数，D错误 [变式2-1](1)显然函数f(.x)-2x+3的定义域为R 图1 1x-120, (2)要使函数∫(x)有意义，需满足 解得1≤ 由于点P在正方形ABCD上不同位置时，△ABP的 4-x≥0. 面积也不同，因此必须对点P的位置进行分类讨论. x≤4. 如图1.当点P在AB上，即0≤x≤1时，△ABP的面 所以函数f(x)=√一1·√4一x十2的定义域为(x 积S△M=0:当点P在BC上，即1<x≤2时，S△P 1≤r≤4. =2AB·BP=(x-1):当点P在CD上，即2< (3)要使函数f代x)有意义，需满足1+x≠0，解得x≠一1. ≤3时，Sm=号×1X1=名：当点P在DA上.即 所以函数)-号的定文线为(-，-1DU(-1 十0o). 3K<时.Sm=号AB,PA=号4-， 5-x≥0， (4)要使函数f(x)有意义，需满足 即 |x-3≠0. 0.0≤r≤1 15, 1 (x-10,1<xr2. 在数轴上表示出来，如图1所示，故函数f(x) x≠士3， 故g(x)= 2,2<≤3， 1 的定义域为(-o∞，-3)U(-3,3)U(3,5]. 4-x0.3Kr< g(.x)的简图如图2所示. 图1 图2 1lx-1>0, (5)要使函数∫(x)有意义，需满足 即 2x-3≥0. x一1或x>1, 3 在数轴上表示出来，如图2所示，故函 图2 §2函数 数)的定义城为[是+) 【变式训练】 [变式2-2]{xx=0.提示：因为函数f(x+1)中 [变式1-1]D提示：①在对应关系∫下，A中不能被3 的x2+1相当于函数f(x)中的x,所以0≤x+1≤1，即 20