第1章 预备知识单元知识整合-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（北师大版2019）

考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 BSD & 单元知识整合 一、微专题妙总结 内涵阐释 知识融汇·方法总结 (2)当AB时,如图2,此时B 求解集合问题的两个重要工 m+1-2 微专题 52m-1- 具--数轴与Venn图 图2 1 2m-1>m+1,m>2. 1.利用数轴判断集合间的关系 .m+1<-2. 即n一3,此时无解 。例题1已知集合A-{x x-2,集 2m-1>5. m3. 合B-x -2<x8 ,则集合A与B的关系 'm不存在. 是 即不存在实数n,使A二B 解析 在数轴上表示出集合A,B,如图,易 方法总结 B一表示集合B中没有元素, 知BA. 即集合B中的不等式无解,如B一xa xb 或B-{xa<x<b}或B=(xla<x<b},若$ B$=,则a>b;若B-{xla<x<b}=,则$$ 答案 BCA. a>b. 2.利用数轴处理集合间关系中的求参问题 3.利用数轴进行集合的运算 D例题2 已知集合A-(xl-2<x<5). 。例题3设全集为R,集合A-{x|3< B-xm+1<x<2m-1. $x 7 ,B=2 <6 ,求;AB,AUB (1)若B二A.求实数的取值范围 CA.fB,C(AUB).f(AOB).(A)OB (2)若ACB,求实数n的取值范围 AU(CB). 解析 (1)①当B去时,如图1. 解析将集合A.B表示在数轴上,如图. ~ -2m+12m-15 23 图1 则AOB=3 6 ,AUB- 2 [m+1-2n+1-2. $7),A-3或x>7,B=x2 :2m-1<5.或2m-1<5. 或x6. 2m-1>m+1 2m-1m+1 '.f(AUB)=xx2或x7 解得2m3. C(AOB)={xlx3或x6 . ②当B-时,由m+1>2m-1得m 2$ (A)OB-x2 x3 综上可得,的取值范围是n之3 AU(CB)-xx2或x3. 180 第一章> 须备知识 4.利用Venn图判断集合间的关系 理较为方便,解题时,先利用Venn图表示集合 。例题4(2024,天津耀华中学月考)给 的交、并、补的运算结果,确定该部分区域表示 出下列两个集合:A=(1,2,4,B-xx是8 的集合与已知中的哪些集合有关,是在已知集 的约数.则A与B之间的关系是 合内还是在已知集合外,如果在已知集合外, 解析.A-1,2,4,B-1,2,4.8),如图, 则与该集合的补集有关,然后利用集合间的交 ..A二B(ACB亦可,但A二B更准确). 集、并集运算确定所求的集合. 。例题6 (2024,襄阳四中月考)某班参 加数学、物理、化学竞赛时,有24名学生参加 数学竞赛,28名学生参加物理竞赛,19名学生 A二B. 参加化学竞赛,其中三科竞赛都参加的有7人. 5.利用Venn图进行具体数集的运算 只参加数学、物理两科的有5人,只参加物理、 Venn图有助于我们加深对集合关系的理 化学两科的有3人,只参加数学、化学两科的 解以及直观认识,在解决集合的交、并、补问题 有4人.若该班学生共50人,则没有参加任何 一科竞赛的学生有 时,充分利用Venn图可以使复杂的运算相对 人. 简单、直观. 解析设A,B,C分别代表参加数学、物 。例题5 (2024,黄冈中学质量检测)若 理、化学竞赛的学生,用Venn图表示(如图). 全集U-x 10.xEN ).ACU.BCU.(B) 参加数学、物理、化学三科竞赛的有7人,只参 OA-1,9.AB-3 .(A)(B)-4. 加数学、物理两科的有5人,只参加数学、化学 6.7,则集合A=___,B 两科的有4人,只参加物理、化学两科的有3 人,分别填入Venn图中. 解析Venn图如图,由AOB-3,将3 因为有24名学生参加数学竞赛,28名学 填入A,B两区域的交会处,由(CuB)OA= 生参加物理竞赛,19名学生参加化学竞赛,故 (1.9),将1,9填入A区域的左半边.由(A) 只参加数学竞赛的有8人,只参加物理竞赛的 (B)-4,6,7可知4,6,7既不在A内又不 有13人,只参加化学竞赛的有5人,则没有参 在B内,将4,6,7填入A,B区域外,剩下2,5. 加任何一科竞赛的学生有50一8-5-7-4- 8填入B区域的右半边,检查可知符合题意,因 3-13-5-5(人). 此A-1,3,9),B-(2,3,5,8. 答案 5. 答案(1,3,9);(2,3,5,8. 6.利用Venn图求解与集合运算有关的实 从集合的角度理解充分条件与 微专题 D 际问题 必要条件 解决有关集合运算的实际应用题时,要学 设A一xx满足条件,B一xx满足 会将文字语言转化为集合语言,涉及有交叉的 条件9:若x具有性质,则xEA;若x具有 有限集的元素个数问题时往往用Venn图法处 性质。,则xCB.我们有下表中的关系 81 考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 BSD& 记法 A-{xlx满足条件p),B-{xlx满足条件q (2)集合法 AB且 关系 写出集合A=x (x))及B=x q(x) AB BA A-B BCA 利用集合之间的包含关系加以判断 A B A(B) 图示 用集合法判断时,要尽可能用图示、数轴 A 等几何方法,图形形象、直观,能简化解题过 p是q的充,是q的必 b是q的既 p互为 程,降低思维难度。 结论分不必要要不充分 不充分也不 充要条件 。例题9 必要条件 (2024,即墨实验高中期中考试) 条件 条件 设xER,则“0 x5”是“:-2<3”的 。. 。例题7 (2024,唐县一中月考)设力: A.充分不必要条件 <3.q:-1<x3,则p是q的( ). B.必要不充分条件 期] A.充要条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 畔 C.必要不充分条件 解析由x-2<3,解得-1 x 5, D.既不充分也不必要条件 $ <5 {x|-1<x<5),故“0<<5”是 解析因为(x-1<x3{x|x<3),所 “-23”的充分不必要条件 以力是o的必要不充分条件 答案A 签案C (3)特殊值法 1.充分条件与必要条件的判断 。例题10(2024,北京四中月考)设a,b (1)定义法 是实数,则“a十0”是“a0”的 ). ①分清条件和结论,即分清哪个是条件, A.充分不必要条件 哪个是结论;②找推式,即判断“→q”及“q→p” B.必要不充分条件 的真假;③下结论,即根据推式及定义下结论. C.充要条件 。例题8指出下列命题中,,是q的什么 D.既不充分也不必要条件 条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件” 解析若a+b>0,取a=3,b--2,则ab> “充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出 0不成立;若ab>0,取a--2,b-一3,则a+ 一种). 0也不成立,因此“a十b0”是“ab→0”的既 (1):x-3.q:|x -3. 不充分也不必要条件. (2):a是无理数,q:a十5是无理数 答D (3):△ABC是锐角三角形,g:△ABC是 方法总结 对于此类题,可以取一些特殊值 等腰三角形. 或特殊情况,用来说明由条件(结论)不能推出 解析(1)*:x-3→x-3,即→;但xl= 结论(条件). 3x-3,即qp, 力是q的充分不必要 (4)传递性法 条件。 。例题11(2024,安康中学月考)若)是 (2)显然/q: '是q的充要条件 r的充分不必要条件,,是9的必要条件,,是 (③):,且q: '是q的既不充 的充要条件,9是s的必要条件,则s是?的 置( 分也不必要条件. . 182 第一章) 须备知识 A.充分不必要条件 ②证必要性,把力当作已知条件,结合命 B.必要不充分条件 题的前提条件,推出q. C.充要条件 解题的关键是分清哪个是条件,哪个是结 D.既不充分也不必要条件 论,然后确定推出方向,至于是先证明充分性 解析 ,q,r,s之间的关系如图? 还是先证明必要性则无硬性要求 所示,由图可知力s,但s→力,故 (2)在证明过程中,若能保证每一步推理 是的必要不充分条件 都有等价性(一),也可以直接证明充要性. 答B 3.利用充分、必要、充要条件求参数范围 方法总纳 用图形来反映条件之间的关系 。例题13(1)(2024,平顶山期末考试) 有三个地方易出错:(1)“翻译”不准确,(2)标 已知a0,设p:-a<x<3a,q:-1<x<6.若 了 1 注箭头有误,(3)读图错误,因此解决此类问题 力是q的充分不必要条件,则实数a的取值范 时,一定要细心,避免弄巧成拙. 围是( ). 2.充要条件的证明 A.(1,2) B.[1,2] 。例题12已知ab0,求证:a+b+ab C.(0,1) D.(0,1] - ^{--0成立的充要条件是a十b-1 (2)(2024.彬州教研联盟期末考试)设力: 点拨先分清命题的条件和结论,条件是 r+x-6-0,q:ax十1-0,若p是q的必要不 $a+b=l,结论是a+b+ab-a^}--0$ 用 游 充分条件,则实数a的值为 证明先证充分性:·'a十b-1. 解析(1)因为p是q的充分不必要条件, .'a+-1-0. -a-1. .,a+b+ab-a^2-b-(a+b)(a2-ab+ 所以3a~6. 解得0<a<1 $*)-(a}+b-ab)-(a+b-1)(a^}-ab+b a0. -0. 所以实数a的取值范围是(0,1) 再证必要性:a}+b+ab-a^②}-b-0 ..(a+b-1)(a-ab+b)-0. (2)由x②+x-6-0,可得x-2或x--3 对于ax+1-0,当a-0时,方程无解 又ab0..a:0且b0. 当a-0时,r--1. .,a+b-1-0,即a+b-1. 由题意知q,→,则可得a去0,此时应 综上可知,当ab:o时,a十十ab-a^{}- 一0成立的充要条件是a十b-1. 方法总结 综上可知,a-一 充要条件的证明思路 (1)C (1)根据充要条件的定义,证明充要条件 时要从充分性和必要性两个方面分别证明,一 方法总结 般地,证明“,成立的充要条件是?”; 根据充分、必要、充要条件求参数的 ①证充分性,把o当作已知条件,结合命 取值范围的步骤 题的前提条件,推出力; (1)记集合M-(x|p(x)),N-xlg(x) 83 考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 BSD & (2)根据题中条件将问题转化为集合之间 的关系: x-1 答案8. ①力是9的充分不必要条件一M二N; 点评 ②p是o的必要不充分条件一N二M; 对于本题,还有如下解法:令x一1-1 (>0),则-+8(+1)2+82+2+9 ③是o的充要条件一M-N 2-1 7 , (3)根据集合间的关系列关于参数的不等 式(组). (4)解不等式(组)即可得参数的取值范围. 时,取等号. 2.并--分组并项 利用基本不等式求最值的常见 微专题 分组并项的目的是分组后各组可以单独 题型及求解技巧 应用基本不等式,或分组后先部分应用基本不 用基本不等式求函数的最值是高中数学 等式,部分与部分之间又可以应用基本不等式 的重点,也是近几年高考的一个热点,三个必 求出最值. 要条件“一正、二定、三相等”更是相关考题瞄 若x,y为正数,则(+){} 。例题15 准的焦点,在具体的题目中,“正数”条件往往 易从题设中获得,“相等”条件也易确定,而如 (#)}# 的最小值为 料 包料 何获得“定值”条件却常常被设计为一个难点 ##(+)}#()} 需要一定的灵活性和变形技巧,因此,“定值” 条件决定了基本不等式应用的可行性,这是解 ##)+(32#)+() 题成败的关键 ### 常用的变形技巧有: 1.拆--裂项拆项 裂项是指对分子的次数不低于分母次数 的分式进行整式分离--分离成整式与“真分 式”的和,再根据分式分母的情况对整式进行 拆项,为应用基本不等式凑定积创造条件 。 例题14 --1 为4. (x>1)的最小值为 答案 4. 令-2十8 解析 3.配凑--配式配系数,凑出定值 -1 有时为了挖掘出积或和为定值,常常需要 (2-1)十9 则- -(r-1) 2-1 根据题设条件采取合理配式配系数的方法,使 2-1 配好的代换式与待求值式相乘后可以应用基 -1+2=2x3+ 本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,使 积式中的各项之和为定值 2-8,当且仅当x-1--9 ,即x-4时,等号 。例题16已知0<x2,则x(5-2x)的 成立. 最大值为 184 第一章> 预备知识 解析 答案 因为0 x<2,所以0<2x<4,5- 116. 2x>0. 微专题4 思想方法归纳 1.数形结合思想 [2-+(5-202-2当且当2-一 数与形是数学中的两个最古老,也是最基 本的研究对象,它们在一定条件下可以互相较 化,数形结合包括两个方面:第一种情形是“以 数解形”,第二种情形是“以形助数”,本章集合 内容中借助数轴和Venn图表示、基本不等式 的几何意义、利用一元二次函数的图象解一元 答案 二次不等式等均应用了数形结合思想 门 4.“1”的代换与消元法 。例题18如图,已知R是实数集,集合 。例题17已知x0.0,且1+0-1, A-(xl1<<2>,B一{=<}),则阴影 二y 则x十v的最小值为 部分表示的集合是( ). .191. 解析方法一(“1”的代换) A.x0x1) B x0x1 C.xl0x1) D.(x01) 解析全集R与集合A,B均为无限数集, 当且仅当-9,即y-3.时,取等号. 可利用数轴表示,先求lA,再求B(A). .集合A-x1x2. '.lnA-{xx1或x2,如图1所示 Bn( GuA)- {x<3}(xl<<1# '当x-4,y-12时,(x十y)i-16. .191. 方法二(消元法) 或x>2-xl0 x1,如图2所示. 2) __ 图1 '.9. .x0,y0. 图2 答 D -9 -y 方法总结 本题运用数形结合的思想方法 9 -9+1--99 比较形象、直观地解决了集合问题,从而取得 事半功倍的效果,因此我们要加强“数形结合” /(-9)×9 一6. 的思维训练,增强解题的准确性、有效性、简捷 性,另外,在解答过程中一定要注意边界问题 当且仅当y-9-9 9,即y=12时,取等 2.分类讨论思想 号,此时x-4. 分类讨论思想是当问题所给的对象不能 .当x-4.y-12时,(x+y)-16 进行统一研究时,对研究对象按某个标准进行 85 考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 BSD & 分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结 象,抽象其数学特征,建立各变量之间固有的 论,最后综合各类结果得到整个问题的解答思 函数关系,通过函数形式,利用函数的有关性 想,本章中集合是否非空、一元二次函数图象 质,使问题得到解决 开口方向或对称轴位置、二次项系数是否为0、 方程思想的实质就是将所求的量设成未 一元二次方程判别式A等经常涉及分类讨论 知数,根据题中的等量关系,列方程(组),通过 。例题19已知集合A-{x|x2-3x+2 解方程(组)或对方程(组)进行研究,以求得问 = ,B-{xl*+2(a+1)x+(a-5)=0).若 题的解决. AUB一A,求实数a的取值范围 本章“三个二次”之间的关系、求一元二次 解析A-{xlx-3x+2-0-1,2. 不等式的解集等均涉及了函数与方程的思想 B-{xlr+2(a+1)x+(a-5)-0 . 。例题20(2024,黄梅一中调研)若关于 1 对应的△-4(a十1)-4(a^*-5)-8(a+3). r的方程x^②}十(a^②}-1)x十a-2-0的一个根比 .AB-A...BCA. 1大且另一个根比1小,则a的取值范围是 (1)当B-时,方程x^十2(a+1)x+(a} ( 。 -5)-0无解, A.-1<<1 B.a<-1或a>1 即△~0,解得a一3,满足题意 C.a-2或a>1D.-2<a<1 (2)当B关时, 解析 方程十(-1) ①若方程x^*+2(a+1)x+(a{-5)-0有 十a一2一0对应的一元二次 两个相等的实数根, 函数为y-x十(a-1)x+a 则△-0,解得a--3, 一2,其图象是开口向上的抛 .B-2,满足题意; 物线,要使方程x^*十(a②-1)x十a-2-0的一 ②若方程x^*+2(a十1)x+(a{-5)-0有 两个不相等的实数根,即△0,解得a-3. 个根比1大且另一个根比1小,如图所示,则抛 .只有B一1,2),才能满足题意, 物线与x轴的两个交点分别在直线x一1的两 心.由一元二次方程根与系数的关系,得 侧,故x-1对应的函数值小于0,所以1十a^{}- 1+2--2(a+1),且1x2-a?-5. $+a-2<0,即^{}+a-2<0,解得-2<a $1.$ 答案D . 方法总结本题通过函数思想解决了一元 .a-3不满足题意. 二次方程根的分布问题,运用函数思想解决本 综上所述,实数a的取值范围是aa一3 题比应用方程知识求解更简单直观,取得了事 方法总结本题涉及了B一区、B关以及 半功倍的效果 方程解的情况的讨论,通过讨论有条不素地解 4.转化与化归思想 决了AB一A这个条件,因此在平常解题时, 要熟记一些常见的分类讨论点,强化分类讨论 转化与化归思想,就是在研究和解决有关 意识,养成分类讨论习惯 数学问题时采用某种手段将问题诵过变换街 3.函数与方程思想 到转化,进而得以解决的一种思想方法 。例题21(2024,通山一中月考)若命题 函数思想的实质是抛开所研究对象的非 数学特征,用联系和变化的观点提出数学对 “xR,使(m+1)-mx十m-1<0”是假 186 第一章) 须备知识 命题,则实数n的取值范围为 则 m+10. 解析若命题“xR,使(m l(-m){-4(m+1)(m-1)<0, +1)r^-mx+m-1<0”是假命 [m-1. . 题,则命题“VxCR,使(m+1)^* .23 n23 或m2③ 3。 一mx+m-1>0”是真命题 3{) '不等式(m+1)x*-mx+m-1>0对任 意实数:恒成立. 当m+1=0,即m=-1时,(m+1)r^$ 答 mx+m-1>0转化为x-2>0,不是对任意的 xR恒成立,不符合题意,舍去; 方法总结本题由存在量词命题转化为全 称量词命题,进而转化为不等式的恒成立问 接1 1) 腻 腻 当m+1字0时,函数y-(m+1)r?-mx 十m一1的大致图象如图所示. 题,最后转化为函数图象问题均应用了转化与 要使(m+1)r-mx+m-1>0恒成立, 化归思想. 二、高频考点整合 高频考点 真题剖析·能力提升 高频考点1 集合的含义及表示 综上所述,a-1. 答B 。真题1(2023,上海卷)已知P一{1, 学科素养研析 2 .Q-2,3,若M-xxP.xQ.则M 知识要点 一( 元素与集合的关系、集合与集合的关系 ). 核心素养 A.(1) B.(2 C.(3) D.(1,2,3) 数学抽象、数学运算 命题意图 解析因为P-1.2),Q-(2,3,M-x 考查集合的含义、集合的基本关系 考查级别 水平一 xP,xQ,所以M-1. 签案A 高频考点2 集合间的基本运算 。真题2 (2023,新高考全国II卷)设集 。真题3(2023,北京卷)已知集合M一 合A-0.-a ,B-1,a-2,2a-2 ,若A xx+20.N-x|x-10,则MON= ). 。 B,则a-( ). A.x|-2x1 C.2 D.-1 B.(x|-2x1 A.2 B.1 C.xlx二-2) D.(xx<1 解析因为A二B,则有: 解析由题意,M-{x|x+2>0-{xx 若a-2-0,解得a-2,此时A-(0,-2 , -2 .N={xlx-1<0=xlx<1,根据交集 B-(1,0,2,不符合题意; 的运算可知,MN-x-2 x 1. 若2a-2-0,解得a-1,此时A-0.-1. 答案 A B-/1,-1,0,符合题意; 。真题4 (2023,全国甲卷)设集合A一 87 考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 BSD & $ $-3k +1, ,B -x -3k+2, $ D.既不充分也不必要条件 Z .U为整数集,C(AUB)=( ). 解析 充分性:因为xy0,且x十y-0,所 A.{xx-3,Z 以x--y. B xx-3-1, 所以+--→+_--1-1--2. yX C.xx-3-2, - D. 所以充分性成立; 解析因为整数集Z-{x lx=3k,k乙 必要性:因为xy-0,且+--2. x $ -3k+1, Uxl-3k+2,,= 所以x2+--2xy,即r++2xy= Z.所以,C(AUB)-xx-3,E. 答案A 0.即(x十y)②-0,所以x十y=0. 1 所以必要性成立, 学科素养研析 知识要点 所以“x十y-0”是“---2”的充要条件. 集合的基本运算:交集、并集、补集 )) 核心素养 数学抽象、直观想象、数学运算 答案 C 命题意图考查集合的交、并、补运算,提升运算能力 学科素养研析 考查级别 水平一 知识要点 充分、必要、充要条件的概念,条件关系 高频考点3 常用逻辑用语 的判定 核心素养 。真题5(2023,天津卷)“a2-6””是“a{ 数学抽象,逻辑推理 命题意图 士-2ab”的( ). 考查条件关系的判定 考查级别 A.充分不必要条件 水平二 B.必要不充分条件 高频考点 基本不等式及其应用问题 C.充分必要条件 真题7 (2020,天津卷)已知a>0,6 D.既不充分又不必要条件 1+1+ 解析由a^{}-b^r,则a=士b,当a=-b0$$ 0.且ab-1,则 2+ 十6 的最小值为 时a^②}十一2ab不成立,充分性不成立; 由{}+b-2ab,则(a-b)}-0,即a-b,显$ 解析 由已知得 2 20+6= 然a{}一成立,必要性成立; 2a 所以a^{}-b是a{}十-2ab的必要不充分$ 条件。 a十6 2 答案B #仅当8# a-2十③, 或 真题6 (2023,北京卷)若xy字0,则“x 2 b-2-3 十y-0”是“改+--2”的( [a-2-/3, ). # 文) 时,取等号,故 A.充分不必要条件 b-2十③ B.必要不充分条件 小值为4. 答案 C.充要条件 x 188 第一章) 须备知识 学科素养研析 (1)要使生产该产品2小时获得的利润不 理解基本不等式,会利用基本不等式求 低于3000元,求x的取值范围 知识要点 最值 (2)要使生产900千克该产品获得的利润 核心素养 数学抽象、数学运算、逻辑推理 最大,甲广应该选取何种生产速度?并求出最 命题意图 考查利用基本不等式求最值的能力 大利润. 考查级别 水平二 解析 (1)根据题意得200(5x+1-3)二 高频考点5 一元二次不等式的解法 3000,则5.x-14-30.5 5.^-14x-30. 。真题8(2020,全国I卷)已知集合A一 $ -3x-4 0 ,B--4.1,3,5,则AB$ 又1<x<10. 二(). 接1 目 腻 旧 长 畔 所以5r-14x-3>0 A.-4.1 B./1,5 C.(3,5) D.(1,3) 解析由x*-3x-4<0,解得-1<x<4, 综上,3<x10. .A-x-1<r4. (2)设利润为v元,则 又.B-(-4,1,3,5. .A0B-1,3. 答案D 学科素养研析 =9$10-3(1-1)2}61# 知识要点 一元二次不等式的解法、集合的运算 故x-6时,yx-457500,即甲厂应选取 核心素养 数学运算、逻辑推理 6千克/小时的生产速度,最大利润为457500元 命题意图 考查集合的运算与一元二次不等式的 解法 学科素养研析 考查级别 水平一 知识要点 运用一元二次不等式构造数学模型求解 实际问题 高考点6 不等式的实际应用问题 核心素养 数学建模、直观想象、数学运算 。真题9(经典,上海卷)甲厂以x千克/小时 考查从实际情境中抽象出数学模型的能 的速度生产某种产品(生产条件要求1 10). 命题意图 力及一元二次不等式的解法 每小时可获得的利润是100(5-x+1-3)元. 考查级别 水平二 三、易错考点归纳 纠错笔记 答卷统计·误区诊斯 、。 易错点 忽视元素的互异性 素的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 典例1 (失分率;25%)由实数x,一文 错解 B或C或D 至,x,一所组成的集合中,最多含有元 因没有注意到元素的互异性,并且对 89